Theorem phplem4dom 6918

Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem4dom	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem phplem4dom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4627	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ∈ ω)
3		brdomg 6802	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵))
5	4	biimpa 296	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵)
6		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵)
7	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → suc 𝐵 ∈ ω)
8		sssucid 4446	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ suc 𝐴
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
10		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
11		f1imaen2g 6847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑓 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
12	6, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1250	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
13	12	ensymd 6837	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝑓 “ 𝐴))
14		difexg 4170	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V)
15	7, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V)
16		nnord 4644	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
17		orddif 4579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
19	18	imaeq2d 5005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑓 “ 𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
20	10, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
21		f1fn 5461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → 𝑓 Fn suc 𝐴)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓 Fn suc 𝐴)
23		sucidg 4447	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
24	10, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
25		fnsnfv 5616	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 Fn suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → {(𝑓‘𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → {(𝑓‘𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
27	26	difeq2d 3277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
28		df-f1 5259	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 ↔ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 ∧ Fun ◡𝑓))
29	28	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → Fun ◡𝑓)
30		imadif 5334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡𝑓 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
32	31	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
33	27, 32	eqtr4d 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
34		f1f 5459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → 𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
36		imassrn 5016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ ran 𝑓
37		frn 5412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → ran 𝑓 ⊆ suc 𝐵)
38	36, 37	sstrid 3190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
40	39	ssdifd 3295	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
41	33, 40	eqsstrrd 3216	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
42	20, 41	eqsstrd 3215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
43		ssdomg 6832	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V → ((𝑓 “ 𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) → (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)})))
44	15, 42, 43	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
45		endomtr 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝑓 “ 𝐴) ∧ (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)})) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
46	13, 44, 45	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
47		simpllr 534	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
48	35, 24	ffvelcdmd 5694	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓‘𝐴) ∈ suc 𝐵)
49		phplem3g 6912	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ (𝑓‘𝐴) ∈ suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
51	50	ensymd 6837	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ≈ 𝐵)
52		domentr 6845	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∧ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
53	46, 51, 52	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
54	5, 53	exlimddv 1910	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
55	54	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364  ∃wex 1503   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∖ cdif 3150   ⊆ wss 3153  {csn 3618   class class class wbr 4029  Ord word 4393  suc csuc 4396  ωcom 4622  ^◡ccnv 4658  ran crn 4660   “ cima 4662  Fun wfun 5248   Fn wfn 5249  ⟶wf 5250  –1-1→wf1 5251  ‘cfv 5254   ≈ cen 6792   ≼ cdom 6793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796

This theorem is referenced by:  php5dom  6919