Theorem phplem4dom 6840

Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem4dom	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem phplem4dom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4579	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
2	1	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ∈ ω)
3		brdomg 6726	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵))
5	4	biimpa 294	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵)
6		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵)
7	2	ad2antrr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → suc 𝐵 ∈ ω)
8		sssucid 4400	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ suc 𝐴
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
10		simplll 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
11		f1imaen2g 6771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑓 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
12	6, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
13	12	ensymd 6761	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝑓 “ 𝐴))
14		difexg 4130	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V)
15	7, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V)
16		nnord 4596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
17		orddif 4531	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
19	18	imaeq2d 4953	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑓 “ 𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
20	10, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
21		f1fn 5405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → 𝑓 Fn suc 𝐴)
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓 Fn suc 𝐴)
23		sucidg 4401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
24	10, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
25		fnsnfv 5555	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 Fn suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → {(𝑓‘𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
26	22, 24, 25	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → {(𝑓‘𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
27	26	difeq2d 3245	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
28		df-f1 5203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 ↔ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 ∧ Fun ◡𝑓))
29	28	simprbi 273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → Fun ◡𝑓)
30		imadif 5278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡𝑓 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
32	31	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
33	27, 32	eqtr4d 2206	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
34		f1f 5403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → 𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
36		imassrn 4964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ ran 𝑓
37		frn 5356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → ran 𝑓 ⊆ suc 𝐵)
38	36, 37	sstrid 3158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
40	39	ssdifd 3263	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
41	33, 40	eqsstrrd 3184	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
42	20, 41	eqsstrd 3183	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
43		ssdomg 6756	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V → ((𝑓 “ 𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) → (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)})))
44	15, 42, 43	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
45		endomtr 6768	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝑓 “ 𝐴) ∧ (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)})) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
46	13, 44, 45	syl2anc 409	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
47		simpllr 529	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
48	35, 24	ffvelrnd 5632	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓‘𝐴) ∈ suc 𝐵)
49		phplem3g 6834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ (𝑓‘𝐴) ∈ suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
50	47, 48, 49	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
51	50	ensymd 6761	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ≈ 𝐵)
52		domentr 6769	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∧ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
53	46, 51, 52	syl2anc 409	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
54	5, 53	exlimddv 1891	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
55	54	ex 114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348  ∃wex 1485   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118   ⊆ wss 3121  {csn 3583   class class class wbr 3989  Ord word 4347  suc csuc 4350  ωcom 4574  ^◡ccnv 4610  ran crn 4612   “ cima 4614  Fun wfun 5192   Fn wfn 5193  ⟶wf 5194  –1-1→wf1 5195  ‘cfv 5198   ≈ cen 6716   ≼ cdom 6717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720

This theorem is referenced by:  php5dom  6841