ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem4dom GIF version

Theorem phplem4dom 6861
Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phplem4dom ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem phplem4dom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 4594 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
21adantl 277 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ∈ ω)
3 brdomg 6747 . . . . 5 (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵))
42, 3syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵))
54biimpa 296 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵)
6 simpr 110 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵)
72ad2antrr 488 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → suc 𝐵 ∈ ω)
8 sssucid 4415 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ suc 𝐴
98a1i 9 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
10 simplll 533 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
11 f1imaen2g 6792 . . . . . . 7 (((𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ suc 𝐴𝐴 ∈ ω)) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
126, 7, 9, 10, 11syl22anc 1239 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
1312ensymd 6782 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝑓𝐴))
14 difexg 4144 . . . . . . 7 (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∈ V)
157, 14syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∈ V)
16 nnord 4611 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
17 orddif 4546 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
1918imaeq2d 4970 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑓𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
2010, 19syl 14 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
21 f1fn 5423 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵𝑓 Fn suc 𝐴)
2221adantl 277 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝑓 Fn suc 𝐴)
23 sucidg 4416 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2410, 23syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
25 fnsnfv 5575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → {(𝑓𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
2622, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → {(𝑓𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
2726difeq2d 3253 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
28 df-f1 5221 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 ↔ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 ∧ Fun 𝑓))
2928simprbi 275 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 → Fun 𝑓)
30 imadif 5296 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3231adantl 277 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3327, 32eqtr4d 2213 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
34 f1f 5421 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
3534adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
36 imassrn 4981 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ ran 𝑓
37 frn 5374 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → ran 𝑓 ⊆ suc 𝐵)
3836, 37sstrid 3166 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
3935, 38syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
4039ssdifd 3271 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4133, 40eqsstrrd 3192 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4220, 41eqsstrd 3191 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
43 ssdomg 6777 . . . . . 6 ((suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∈ V → ((𝑓𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) → (𝑓𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)})))
4415, 42, 43sylc 62 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
45 endomtr 6789 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (𝑓𝐴) ∧ (𝑓𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)})) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4613, 44, 45syl2anc 411 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
47 simpllr 534 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
4835, 24ffvelcdmd 5652 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵)
49 phplem3g 6855 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ω ∧ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
5150ensymd 6782 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐵)
52 domentr 6790 . . . 4 ((𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∧ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐵) → 𝐴𝐵)
5346, 51, 52syl2anc 411 . . 3 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴𝐵)
545, 53exlimddv 1898 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → 𝐴𝐵)
5554ex 115 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wex 1492  wcel 2148  Vcvv 2737  cdif 3126  wss 3129  {csn 3592   class class class wbr 4003  Ord word 4362  suc csuc 4365  ωcom 4589  ccnv 4625  ran crn 4627  cima 4629  Fun wfun 5210   Fn wfn 5211  wf 5212  1-1wf1 5213  cfv 5216  cen 6737  cdom 6738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-tr 4102  df-id 4293  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-er 6534  df-en 6740  df-dom 6741
This theorem is referenced by:  php5dom  6862
  Copyright terms: Public domain W3C validator