ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  phplem4dom GIF version

Theorem phplem4dom 6532
Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
phplem4dom ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem phplem4dom
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2 4385 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
21adantl 271 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ∈ ω)
3 brdomg 6419 . . . . 5 (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵))
42, 3syl 14 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵))
54biimpa 290 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵)
6 simpr 108 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵)
72ad2antrr 472 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → suc 𝐵 ∈ ω)
8 sssucid 4218 . . . . . . . 8 𝐴 ⊆ suc 𝐴
98a1i 9 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
10 simplll 500 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
11 f1imaen2g 6464 . . . . . . 7 (((𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ suc 𝐴𝐴 ∈ ω)) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
126, 7, 9, 10, 11syl22anc 1173 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ≈ 𝐴)
1312ensymd 6454 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝑓𝐴))
14 difexg 3957 . . . . . . 7 (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∈ V)
157, 14syl 14 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∈ V)
16 nnord 4401 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
17 orddif 4338 . . . . . . . . . 10 (Ord 𝐴𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
1816, 17syl 14 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
1918imaeq2d 4743 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ω → (𝑓𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
2010, 19syl 14 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
21 f1fn 5183 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵𝑓 Fn suc 𝐴)
2221adantl 271 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝑓 Fn suc 𝐴)
23 sucidg 4219 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
2410, 23syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
25 fnsnfv 5328 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn suc 𝐴𝐴 ∈ suc 𝐴) → {(𝑓𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
2622, 24, 25syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → {(𝑓𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
2726difeq2d 3107 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
28 df-f1 4988 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 ↔ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 ∧ Fun 𝑓))
2928simprbi 269 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 → Fun 𝑓)
30 imadif 5061 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3231adantl 271 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
3327, 32eqtr4d 2120 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
34 f1f 5181 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
3534adantl 271 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
36 imassrn 4754 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ ran 𝑓
37 frn 5136 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → ran 𝑓 ⊆ suc 𝐵)
3836, 37syl5ss 3025 . . . . . . . . . 10 (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
3935, 38syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
4039ssdifd 3125 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓𝐴)}) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4133, 40eqsstr3d 3050 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4220, 41eqsstrd 3049 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
43 ssdomg 6449 . . . . . 6 ((suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∈ V → ((𝑓𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) → (𝑓𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)})))
4415, 42, 43sylc 61 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
45 endomtr 6461 . . . . 5 ((𝐴 ≈ (𝑓𝐴) ∧ (𝑓𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)})) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
4613, 44, 45syl2anc 403 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
47 simpllr 501 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
4835, 24ffvelrnd 5400 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵)
49 phplem3g 6526 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ω ∧ (𝑓𝐴) ∈ suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
5047, 48, 49syl2anc 403 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}))
5150ensymd 6454 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐵)
52 domentr 6462 . . . 4 ((𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ∧ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓𝐴)}) ≈ 𝐵) → 𝐴𝐵)
5346, 51, 52syl2anc 403 . . 3 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴1-1→suc 𝐵) → 𝐴𝐵)
545, 53exlimddv 1823 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → 𝐴𝐵)
5554ex 113 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1287  wex 1424  wcel 1436  Vcvv 2615  cdif 2985  wss 2988  {csn 3431   class class class wbr 3822  Ord word 4165  suc csuc 4168  ωcom 4380  ccnv 4412  ran crn 4414  cima 4416  Fun wfun 4977   Fn wfn 4978  wf 4979  1-1wf1 4980  cfv 4983  cen 6409  cdom 6410
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3934  ax-nul 3942  ax-pow 3986  ax-pr 4012  ax-un 4236  ax-setind 4328  ax-iinf 4378
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-rab 2364  df-v 2617  df-sbc 2830  df-dif 2990  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-nul 3276  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3639  df-int 3674  df-br 3823  df-opab 3877  df-tr 3914  df-id 4096  df-iord 4169  df-on 4171  df-suc 4174  df-iom 4381  df-xp 4419  df-rel 4420  df-cnv 4421  df-co 4422  df-dm 4423  df-rn 4424  df-res 4425  df-ima 4426  df-iota 4948  df-fun 4985  df-fn 4986  df-f 4987  df-f1 4988  df-fo 4989  df-f1o 4990  df-fv 4991  df-er 6246  df-en 6412  df-dom 6413
This theorem is referenced by:  php5dom  6533
  Copyright terms: Public domain W3C validator