Theorem phplem4dom 7053

Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem4dom	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem phplem4dom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4695	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
2	1	adantl 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ∈ ω)
3		brdomg 6924	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵))
5	4	biimpa 296	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵)
6		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵)
7	2	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → suc 𝐵 ∈ ω)
8		sssucid 4514	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ suc 𝐴
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
10		simplll 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
11		f1imaen2g 6972	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑓 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
12	6, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1274	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
13	12	ensymd 6962	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝑓 “ 𝐴))
14		difexg 4232	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V)
15	7, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V)
16		nnord 4712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
17		orddif 4647	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
19	18	imaeq2d 5078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑓 “ 𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
20	10, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
21		f1fn 5547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → 𝑓 Fn suc 𝐴)
22	21	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓 Fn suc 𝐴)
23		sucidg 4515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
24	10, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
25		fnsnfv 5708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 Fn suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → {(𝑓‘𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
26	22, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → {(𝑓‘𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
27	26	difeq2d 3324	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
28		df-f1 5333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 ↔ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 ∧ Fun ◡𝑓))
29	28	simprbi 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → Fun ◡𝑓)
30		imadif 5412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡𝑓 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
32	31	adantl 277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
33	27, 32	eqtr4d 2266	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
34		f1f 5545	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → 𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
35	34	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
36		imassrn 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ ran 𝑓
37		frn 5493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → ran 𝑓 ⊆ suc 𝐵)
38	36, 37	sstrid 3237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
40	39	ssdifd 3342	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
41	33, 40	eqsstrrd 3263	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
42	20, 41	eqsstrd 3262	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
43		ssdomg 6957	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V → ((𝑓 “ 𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) → (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)})))
44	15, 42, 43	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
45		endomtr 6969	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝑓 “ 𝐴) ∧ (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)})) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
46	13, 44, 45	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
47		simpllr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
48	35, 24	ffvelcdmd 5786	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓‘𝐴) ∈ suc 𝐵)
49		phplem3g 7047	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ (𝑓‘𝐴) ∈ suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
51	50	ensymd 6962	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ≈ 𝐵)
52		domentr 6970	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∧ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
53	46, 51, 52	syl2anc 411	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
54	5, 53	exlimddv 1946	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
55	54	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ∖ cdif 3196   ⊆ wss 3199  {csn 3670   class class class wbr 4089  Ord word 4461  suc csuc 4464  ωcom 4690  ^◡ccnv 4726  ran crn 4728   “ cima 4730  Fun wfun 5322   Fn wfn 5323  ⟶wf 5324  –1-1→wf1 5325  ‘cfv 5328   ≈ cen 6912   ≼ cdom 6913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-br 4090  df-opab 4152  df-tr 4189  df-id 4392  df-iord 4465  df-on 4467  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-er 6707  df-en 6915  df-dom 6916

This theorem is referenced by:  php5dom  7054