Theorem phplem4dom 6749

Description: Dominance of successors implies dominance of the original natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
phplem4dom	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Proof of Theorem phplem4dom

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4504	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → suc 𝐵 ∈ ω)
2	1	adantl 275	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → suc 𝐵 ∈ ω)
3		brdomg 6635	. . . . 5 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵))
4	2, 3	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵))
5	4	biimpa 294	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → ∃𝑓 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵)
6		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵)
7	2	ad2antrr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → suc 𝐵 ∈ ω)
8		sssucid 4332	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 ⊆ suc 𝐴
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ⊆ suc 𝐴)
10		simplll 522	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ ω)
11		f1imaen2g 6680	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 ∧ suc 𝐵 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω)) → (𝑓 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
12	6, 7, 9, 10, 11	syl22anc 1217	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ≈ 𝐴)
13	12	ensymd 6670	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≈ (𝑓 “ 𝐴))
14		difexg 4064	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝐵 ∈ ω → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V)
15	7, 14	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V)
16		nnord 4520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ω → Ord 𝐴)
17		orddif 4457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Ord 𝐴 → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 = (suc 𝐴 ∖ {𝐴}))
19	18	imaeq2d 4876	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑓 “ 𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
20	10, 19	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
21		f1fn 5325	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → 𝑓 Fn suc 𝐴)
22	21	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓 Fn suc 𝐴)
23		sucidg 4333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
24	10, 23	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ∈ suc 𝐴)
25		fnsnfv 5473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑓 Fn suc 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ suc 𝐴) → {(𝑓‘𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
26	22, 24, 25	syl2anc 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → {(𝑓‘𝐴)} = (𝑓 “ {𝐴}))
27	26	difeq2d 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
28		df-f1 5123	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 ↔ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 ∧ Fun ◡𝑓))
29	28	simprbi 273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → Fun ◡𝑓)
30		imadif 5198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun ◡𝑓 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
32	31	adantl 275	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) = ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ (𝑓 “ {𝐴})))
33	27, 32	eqtr4d 2173	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) = (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})))
34		f1f 5323	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵 → 𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
35	34	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵)
36		imassrn 4887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ ran 𝑓
37		frn 5276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → ran 𝑓 ⊆ suc 𝐵)
38	36, 37	sstrid 3103	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓:suc 𝐴⟶suc 𝐵 → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
39	35, 38	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ suc 𝐴) ⊆ suc 𝐵)
40	39	ssdifd 3207	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → ((𝑓 “ suc 𝐴) ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
41	33, 40	eqsstrrd 3129	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ (suc 𝐴 ∖ {𝐴})) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
42	20, 41	eqsstrd 3128	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
43		ssdomg 6665	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∈ V → ((𝑓 “ 𝐴) ⊆ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) → (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)})))
44	15, 42, 43	sylc 62	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
45		endomtr 6677	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝑓 “ 𝐴) ∧ (𝑓 “ 𝐴) ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)})) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
46	13, 44, 45	syl2anc 408	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
47		simpllr 523	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ∈ ω)
48	35, 24	ffvelrnd 5549	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (𝑓‘𝐴) ∈ suc 𝐵)
49		phplem3g 6743	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ (𝑓‘𝐴) ∈ suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
50	47, 48, 49	syl2anc 408	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐵 ≈ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}))
51	50	ensymd 6670	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ≈ 𝐵)
52		domentr 6678	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ∧ (suc 𝐵 ∖ {(𝑓‘𝐴)}) ≈ 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
53	46, 51, 52	syl2anc 408	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) ∧ 𝑓:suc 𝐴–1-1→suc 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
54	5, 53	exlimddv 1870	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) ∧ suc 𝐴 ≼ suc 𝐵) → 𝐴 ≼ 𝐵)
55	54	ex 114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (suc 𝐴 ≼ suc 𝐵 → 𝐴 ≼ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  Vcvv 2681   ∖ cdif 3063   ⊆ wss 3066  {csn 3522   class class class wbr 3924  Ord word 4279  suc csuc 4282  ωcom 4499  ^◡ccnv 4533  ran crn 4535   “ cima 4537  Fun wfun 5112   Fn wfn 5113  ⟶wf 5114  –1-1→wf1 5115  ‘cfv 5118   ≈ cen 6625   ≼ cdom 6626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-er 6422  df-en 6628  df-dom 6629

This theorem is referenced by:  php5dom  6750