Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2other2 GIF version

Theorem en2other2 7114
 Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2other2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Proof of Theorem en2other2
StepHypRef Expression
1 en2eleq 7113 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
2 prcom 3635 . . . . . . 7 {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = { (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋}
31, 2eqtrdi 2206 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = { (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋})
43difeq1d 3224 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ({ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
5 difprsnss 3694 . . . . 5 ({ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋}
64, 5eqsstrdi 3180 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋})
7 simpl 108 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋𝑃)
8 1onn 6460 . . . . . . . . . 10 1o ∈ ω
98a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 1o ∈ ω)
10 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
11 df-2o 6358 . . . . . . . . . 10 2o = suc 1o
1210, 11breqtrdi 4005 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
13 dif1en 6817 . . . . . . . . 9 ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
149, 12, 7, 13syl3anc 1220 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
15 en1uniel 6742 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16 eldifsni 3688 . . . . . . . 8 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1714, 15, 163syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1817necomd 2413 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
19 eldifsn 3686 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ↔ (𝑋𝑃𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋})))
207, 18, 19sylanbrc 414 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
2120snssd 3701 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋} ⊆ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
226, 21eqssd 3145 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
2322unieqd 3783 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
24 unisng 3789 . . 3 (𝑋𝑃 {𝑋} = 𝑋)
2524adantr 274 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → {𝑋} = 𝑋)
2623, 25eqtrd 2190 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128   ≠ wne 2327   ∖ cdif 3099  {csn 3560  {cpr 3561  ∪ cuni 3772   class class class wbr 3965  suc csuc 4324  ωcom 4547  1oc1o 6350  2oc2o 6351   ≈ cen 6676 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-iinf 4545 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4252  df-iord 4325  df-on 4327  df-suc 4330  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-1o 6357  df-2o 6358  df-er 6473  df-en 6679  df-fin 6681 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator