Theorem en2other2 7052

Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2other2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Proof of Theorem en2other2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2eleq 7051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})})
2		prcom 3599	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} = {∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋}
3	1, 2	syl6eq 2188	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋})
4	3	difeq1d 3193	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ({∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
5		difprsnss 3658	. . . . 5 ⊢ ({∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋}
6	4, 5	eqsstrdi 3149	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋})
7		simpl 108	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		1onn 6416	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 1o ∈ ω)
10		simpr 109	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
11		df-2o 6314	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
12	10, 11	breqtrdi 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
13		dif1en 6773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
14	9, 12, 7, 13	syl3anc 1216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
15		en1uniel 6698	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16		eldifsni 3652	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
18	17	necomd 2394	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}))
19		eldifsn 3650	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})))
20	7, 18, 19	sylanbrc 413	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
21	20	snssd 3665	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋} ⊆ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
22	6, 21	eqssd 3114	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
23	22	unieqd 3747	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ∪ {𝑋})
24		unisng 3753	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ∪ {𝑋} = 𝑋)
25	24	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ {𝑋} = 𝑋)
26	23, 25	eqtrd 2172	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ≠ wne 2308   ∖ cdif 3068  {csn 3527  {cpr 3528  ∪ cuni 3736   class class class wbr 3929  suc csuc 4287  ωcom 4504  1_oc1o 6306  2_oc2o 6307   ≈ cen 6632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-1o 6313  df-2o 6314  df-er 6429  df-en 6635  df-fin 6637

This theorem is referenced by: (None)