Theorem en2other2 7258

Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
en2other2	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Proof of Theorem en2other2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en2eleq 7257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})})
2		prcom 3695	. . . . . . 7 ⊢ {𝑋, ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})} = {∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋}
3	1, 2	eqtrdi 2242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 = {∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋})
4	3	difeq1d 3277	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ({∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
5		difprsnss 3757	. . . . 5 ⊢ ({∪ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋}
6	4, 5	eqsstrdi 3232	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋})
7		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ 𝑃)
8		1onn 6575	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1o ∈ ω
9	8	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 1o ∈ ω)
10		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ 2o)
11		df-2o 6472	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2o = suc 1o
12	10, 11	breqtrdi 4071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑃 ≈ suc 1o)
13		dif1en 6937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1o ∧ 𝑋 ∈ 𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
14	9, 12, 7, 13	syl3anc 1249	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o)
15		en1uniel 6860	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1o → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16		eldifsni 3748	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
18	17	necomd 2450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋}))
19		eldifsn 3746	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) ↔ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ ∪ (𝑃 ∖ {𝑋})))
20	7, 18, 19	sylanbrc 417	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
21	20	snssd 3764	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → {𝑋} ⊆ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}))
22	6, 21	eqssd 3197	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
23	22	unieqd 3847	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ∪ {𝑋})
24		unisng 3853	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑃 → ∪ {𝑋} = 𝑋)
25	24	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ {𝑋} = 𝑋)
26	23, 25	eqtrd 2226	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑃 ≈ 2o) → ∪ (𝑃 ∖ {∪ (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364   ∖ cdif 3151  {csn 3619  {cpr 3620  ∪ cuni 3836   class class class wbr 4030  suc csuc 4397  ωcom 4623  1_oc1o 6464  2_oc2o 6465   ≈ cen 6794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-1o 6471  df-2o 6472  df-er 6589  df-en 6797  df-fin 6799

This theorem is referenced by: (None)