ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  en2other2 GIF version

Theorem en2other2 6801
Description: Taking the other element twice in a pair gets back to the original element. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
en2other2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)

Proof of Theorem en2other2
StepHypRef Expression
1 en2eleq 6800 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 = {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})})
2 prcom 3513 . . . . . . 7 {𝑋, (𝑃 ∖ {𝑋})} = { (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋}
31, 2syl6eq 2136 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 = { (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋})
43difeq1d 3115 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = ({ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
5 difprsnss 3570 . . . . 5 ({ (𝑃 ∖ {𝑋}), 𝑋} ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋}
64, 5syl6eqss 3074 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ⊆ {𝑋})
7 simpl 107 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋𝑃)
8 1onn 6259 . . . . . . . . . 10 1𝑜 ∈ ω
98a1i 9 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 1𝑜 ∈ ω)
10 simpr 108 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 ≈ 2𝑜)
11 df-2o 6164 . . . . . . . . . 10 2𝑜 = suc 1𝑜
1210, 11syl6breq 3876 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑃 ≈ suc 1𝑜)
13 dif1en 6575 . . . . . . . . 9 ((1𝑜 ∈ ω ∧ 𝑃 ≈ suc 1𝑜𝑋𝑃) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜)
149, 12, 7, 13syl3anc 1174 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜)
15 en1uniel 6501 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∖ {𝑋}) ≈ 1𝑜 (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}))
16 eldifsni 3564 . . . . . . . 8 ( (𝑃 ∖ {𝑋}) ∈ (𝑃 ∖ {𝑋}) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1714, 15, 163syl 17 . . . . . . 7 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ {𝑋}) ≠ 𝑋)
1817necomd 2341 . . . . . 6 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋}))
19 eldifsn 3562 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) ↔ (𝑋𝑃𝑋 (𝑃 ∖ {𝑋})))
207, 18, 19sylanbrc 408 . . . . 5 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → 𝑋 ∈ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
2120snssd 3577 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → {𝑋} ⊆ (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}))
226, 21eqssd 3040 . . 3 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
2322unieqd 3659 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = {𝑋})
24 unisng 3665 . . 3 (𝑋𝑃 {𝑋} = 𝑋)
2524adantr 270 . 2 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → {𝑋} = 𝑋)
2623, 25eqtrd 2120 1 ((𝑋𝑃𝑃 ≈ 2𝑜) → (𝑃 ∖ { (𝑃 ∖ {𝑋})}) = 𝑋)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wne 2255  cdif 2994  {csn 3441  {cpr 3442   cuni 3648   class class class wbr 3837  suc csuc 4183  ωcom 4395  1𝑜c1o 6156  2𝑜c2o 6157  cen 6435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-1o 6163  df-2o 6164  df-er 6272  df-en 6438  df-fin 6440
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator