Theorem lgseisenlem2 15890

Description: Lemma for lgseisen 15893. The function 𝑀 is an injection (and hence a bijection by the pigeonhole principle). (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgseisen.1	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3	⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
lgseisen.4	⊢ 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5	⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6	⊢ 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
lgseisenlem2	⊢ (𝜑 → 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑆

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝑀(𝑥)

Proof of Theorem lgseisenlem2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgseisen.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
2		lgseisen.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
3		lgseisen.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 𝑄)
4		lgseisen.4	. . . 4 ⊢ 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
5		lgseisen.5	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
6	1, 2, 3, 4, 5	lgseisenlem1 15889	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
7		oveq2 6036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (2 · 𝑥) = (2 · 𝑦))
8	7	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑄 · (2 · 𝑥)) = (𝑄 · (2 · 𝑦)))
9	8	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
10		lgseisen.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
11	9, 4, 10	3eqtr4g 2289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝑅 = 𝑆)
12	11	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (-1↑𝑅) = (-1↑𝑆))
13	12, 11	oveq12d 6046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((-1↑𝑅) · 𝑅) = ((-1↑𝑆) · 𝑆))
14	13	oveq1d 6043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃))
15	14	oveq1d 6043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) = ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2))
16		simprl 531	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
17		neg1z 9572	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 ∈ ℤ
18	2	eldifad 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
19		prmnn 12762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
20	18, 19	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
21	20	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑄 ∈ ℕ)
22		2nn 9364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℕ
23	22	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 2 ∈ ℕ)
24		elfznn 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℕ)
25	24	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ∈ ℕ)
26	23, 25	nnmulcld 9251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
27	21, 26	nnmulcld 9251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑦)) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑦)) ∈ ℤ)
29	1	eldifad 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
30		prmnn 12762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
32	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ)
33	28, 32	zmodcld 10670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
34	10, 33	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
35		zexpcl 10879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑆) ∈ ℤ)
36	17, 34, 35	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑆) ∈ ℤ)
37	34	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑆 ∈ ℤ)
38	36, 37	zmulcld 9669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) · 𝑆) ∈ ℤ)
39	38, 32	zmodcld 10670	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
40	39	nn0zd 9661	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) ∈ ℤ)
41		znq 9919	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) ∈ ℚ)
42	40, 22, 41	sylancl 413	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) ∈ ℚ)
43	5, 15, 16, 42	fvmptd3 5749	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑀‘𝑦) = ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2))
44		simprr 533	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
45		elfznn 10351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
46	45	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℕ)
47	23, 46	nnmulcld 9251	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
48	21, 47	nnmulcld 9251	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℕ)
49	48	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
50	49, 32	zmodcld 10670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
51	4, 50	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
52		zexpcl 10879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℕ0) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
53	17, 51, 52	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
54	51	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑅 ∈ ℤ)
55	53, 54	zmulcld 9669	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ)
56	55, 32	zmodcld 10670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
57	56	nn0zd 9661	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ)
58		znq 9919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℕ) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℚ)
59	57, 22, 58	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ ℚ)
60	59	elexd 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ V)
61	5	fvmpt2 5739	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ V) → (𝑀‘𝑥) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
62	44, 60, 61	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑀‘𝑥) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
63	43, 62	eqeq12d 2246	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑥) ↔ ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
64	2	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
65	64	eldifad 3212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑄 ∈ ℙ)
66		prmz 12763	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
67	65, 66	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑄 ∈ ℤ)
68		2z 9568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℤ
69		elfzelz 10322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ∈ ℤ)
70	69	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ∈ ℤ)
71		zmulcl 9594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
72	68, 70, 71	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℤ)
73	67, 72	zmulcld 9669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑦)) ∈ ℤ)
74	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
75	74	eldifad 3212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℙ)
76	75, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℕ)
77	73, 76	zmodcld 10670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
78	10, 77	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑆 ∈ ℕ0)
79	78	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑆 ∈ ℤ)
80		m1expcl 10887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℤ → (-1↑𝑆) ∈ ℤ)
81	79, 80	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑆) ∈ ℤ)
82	81, 79	zmulcld 9669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) · 𝑆) ∈ ℤ)
83	82, 76	zmodcld 10670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
84	83	nn0cnd 9518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) ∈ ℂ)
85		elfzelz 10322	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℤ)
86	85	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℤ)
87		zmulcl 9594	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
88	68, 86, 87	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
89	67, 88	zmulcld 9669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
90	89, 76	zmodcld 10670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
91	4, 90	eqeltrid 2318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
92	91	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑅 ∈ ℤ)
93		m1expcl 10887	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ ℤ → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
94	92, 93	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
95	94, 92	zmulcld 9669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ)
96	95, 76	zmodcld 10670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
97	96	nn0cnd 9518	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℂ)
98		2cnd 9275	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 2 ∈ ℂ)
99	23	nnap0d 9248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 2 # 0)
100		div11ap 8939	. . . . . . . 8 ⊢ (((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) ∈ ℂ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ↔ (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)))
101	84, 97, 98, 99, 100	syl112anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ↔ (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)))
102		nnq 9928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℚ)
103	32, 102	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℚ)
104	32	nngt0d 9246	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 < 𝑃)
105		eqidd 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) mod 𝑃) = ((-1↑𝑆) mod 𝑃))
106	10	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 mod 𝑃) = (((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) mod 𝑃)
107		nnq 9928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 · (2 · 𝑦)) ∈ ℕ → (𝑄 · (2 · 𝑦)) ∈ ℚ)
108	27, 107	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑦)) ∈ ℚ)
109	31, 102	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℚ)
110	109	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℚ)
111		modqabs2 10683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑦)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
112	108, 110, 104, 111	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
113	106, 112	eqtrid 2276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑆 mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
114	36, 36, 37, 28, 103, 104, 105, 113	modqmul12d 10703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) = (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) mod 𝑃))
115		eqidd 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) mod 𝑃) = ((-1↑𝑅) mod 𝑃))
116	4	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 mod 𝑃) = (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃)
117		nnq 9928	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℕ → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℚ)
118	48, 117	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℚ)
119		modqabs2 10683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑃) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
120	118, 110, 104, 119	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
121	116, 120	eqtrid 2276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑅 mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
122	53, 53, 54, 49, 110, 104, 115, 121	modqmul12d 10703	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃))
123	114, 122	eqeq12d 2246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ↔ (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃)))
124	81, 73	zmulcld 9669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) ∈ ℤ)
125	94, 89	zmulcld 9669	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
126		moddvds 12440	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) ∈ ℤ ∧ ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ) → ((((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))))
127	76, 124, 125, 126	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))))
128	67	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑄 ∈ ℂ)
129	81, 72	zmulcld 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) ∈ ℤ)
130	129	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) ∈ ℂ)
131	94, 88	zmulcld 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
132	131	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)) ∈ ℂ)
133	128, 130, 132	subdid 8652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = ((𝑄 · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) − (𝑄 · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))))
134	81	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑆) ∈ ℂ)
135	72	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℂ)
136	128, 134, 135	mul12d 8390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) = ((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))))
137	94	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
138	88	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
139	128, 137, 138	mul12d 8390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) = ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))
140	136, 139	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑄 · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) − (𝑄 · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥)))))
141	133, 140	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥)))))
142	141	breq2d 4105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))))
143	3	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
144		prmrp 12797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
145	75, 65, 144	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 gcd 𝑄) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
146	143, 145	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 gcd 𝑄) = 1)
147		prmz 12763	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
148	75, 147	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℤ)
149	129, 131	zsubcld 9668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ)
150		coprmdvds 12744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))))
151	148, 67, 149, 150	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 ∥ (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) ∧ (𝑃 gcd 𝑄) = 1) → 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))))
152	146, 151	mpan2d 428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) → 𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))))
153		dvdsmultr2 12474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (-1↑𝑅) ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))))))
154	148, 94, 149, 153	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) → 𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))))))
155	137, 130, 132	subdid 8652	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = (((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))))
156		neg1cn 9307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -1 ∈ ℂ
157	156	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → -1 ∈ ℂ)
158	157, 78, 91	expaddd 11000	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑(𝑅 + 𝑆)) = ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑆)))
159	158	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) = (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑆)) · (2 · 𝑦)))
160	137, 134, 135	mulassd 8262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑆)) · (2 · 𝑦)) = ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))))
161	159, 160	eqtr2d 2265	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) = ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)))
162		ax-1cn 8185	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℂ
163		1ap0 8829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 # 0
164		divneg2ap 8975	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 1 # 0) → -(1 / 1) = (1 / -1))
165	162, 162, 163, 164	mp3an 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ -(1 / 1) = (1 / -1)
166		1div1e1 8943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (1 / 1) = 1
167	166	negeqi 8432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ -(1 / 1) = -1
168	165, 167	eqtr3i 2254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 / -1) = -1
169	168	oveq1i 6038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 / -1)↑𝑅) = (-1↑𝑅)
170		neg1ap0 9311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ -1 # 0
171	170	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → -1 # 0)
172	157, 171, 54	exprecapd 11006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((1 / -1)↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅)))
173	169, 172	eqtr3id 2278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑅) = (1 / (-1↑𝑅)))
174	173	oveq2d 6044	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))))
175	157, 171, 54	expap0d 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑𝑅) # 0)
176	137, 175	recidapd 9022	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (1 / (-1↑𝑅))) = 1)
177	174, 176	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) = 1)
178	177	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · (2 · 𝑥)) = (1 · (2 · 𝑥)))
179	137, 137, 138	mulassd 8262	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · (-1↑𝑅)) · (2 · 𝑥)) = ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))))
180	138	mullidd 8257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (1 · (2 · 𝑥)) = (2 · 𝑥))
181	178, 179, 180	3eqtr3d 2272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥))) = (2 · 𝑥))
182	161, 181	oveq12d 6046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥)))
183	155, 182	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) = (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥)))
184	183	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥))))
185		eqcom 2233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ ((2 · 𝑥) mod 𝑃) = ((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
186	135	mulm1d 8648	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1 · (2 · 𝑦)) = -(2 · 𝑦))
187	186	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃))
188	187	eqeq2d 2243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((2 · 𝑥) mod 𝑃) = ((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) ↔ ((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃)))
189	185, 188	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ ((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃)))
190	72	znegcld 9665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → -(2 · 𝑦) ∈ ℤ)
191		moddvds 12440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ -(2 · 𝑦) ∈ ℤ) → (((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦))))
192	76, 88, 190, 191	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦))))
193	46, 25	nnaddcld 9250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ)
194	46	nnred 9215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
195	70	zred 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ∈ ℝ)
196		oddprm 12912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
197	74, 196	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
198	197	nnred 9215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
199		elfzle2 10325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
200	199	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
201		elfzle2 10325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
202	201	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
203	194, 195, 198, 198, 200, 202	le2addd 8802	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑦) ≤ (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)))
204	76	nnred 9215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ∈ ℝ)
205		peano2rem 8505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
206	204, 205	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
207	206	recnd 8267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
208	207	2halvesd 9449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((𝑃 − 1) / 2) + ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − 1))
209	203, 208	breqtrd 4119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑦) ≤ (𝑃 − 1))
210		peano2zm 9578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
211		fznn 10386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 − 1) ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝑦) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑦) ≤ (𝑃 − 1))))
212	148, 210, 211	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑦) ≤ (𝑃 − 1))))
213	193, 209, 212	mpbir2and 953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
214		fzm1ndvds 12497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑦))
215	76, 213, 214	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑦))
216		eldifsni 3806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
217	74, 216	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑃 ≠ 2)
218		2prm 12779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℙ
219		prmrp 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 2 ∈ ℙ) → ((𝑃 gcd 2) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 2))
220	75, 218, 219	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 gcd 2) = 1 ↔ 𝑃 ≠ 2))
221	217, 220	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 gcd 2) = 1)
222	68	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 2 ∈ ℤ)
223	193	nnzd 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ)
224		coprmdvds 12744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ (2 · (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑃 gcd 2) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑦)))
225	148, 222, 223, 224	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑃 ∥ (2 · (𝑥 + 𝑦)) ∧ (𝑃 gcd 2) = 1) → 𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑦)))
226	221, 225	mpan2d 428	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (2 · (𝑥 + 𝑦)) → 𝑃 ∥ (𝑥 + 𝑦)))
227	215, 226	mtod 669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · (𝑥 + 𝑦)))
228	138, 135	subnegd 8556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 𝑦)))
229	86	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑥 ∈ ℂ)
230	70	zcnd 9664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 𝑦 ∈ ℂ)
231	98, 229, 230	adddid 8263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · (𝑥 + 𝑦)) = ((2 · 𝑥) + (2 · 𝑦)))
232	228, 231	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦)) = (2 · (𝑥 + 𝑦)))
233	232	breq2d 4105	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦)) ↔ 𝑃 ∥ (2 · (𝑥 + 𝑦))))
234	227, 233	mtbird 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ¬ 𝑃 ∥ ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦)))
235	234	pm2.21d 624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((2 · 𝑥) − -(2 · 𝑦)) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
236	192, 235	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (-(2 · 𝑦) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
237	189, 236	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
238		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) = (-1 · (2 · 𝑦)))
239	238	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 → (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
240	239	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ ((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃)))
241	240	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 → (((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)) ↔ (((-1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))))
242	237, 241	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))))
243	135	mullidd 8257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (1 · (2 · 𝑦)) = (2 · 𝑦))
244	243	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑦) mod 𝑃))
245		nnq 9928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((2 · 𝑦) ∈ ℕ → (2 · 𝑦) ∈ ℚ)
246	26, 245	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℚ)
247		nnmulcl 9223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ∈ ℕ) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
248	22, 25, 247	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ)
249	248	nnnn0d 9516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ∈ ℕ0)
250	249	nn0ge0d 9519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ (2 · 𝑦))
251		2re 9272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
252	251	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 2 ∈ ℝ)
253		2pos 9293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 2
254	253	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 < 2)
255		lemuldiv2 9121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
256	195, 206, 252, 254, 255	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
257	202, 256	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) ≤ (𝑃 − 1))
258		zltlem1 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((2 · 𝑦) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑦) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑦) ≤ (𝑃 − 1)))
259	72, 148, 258	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑦) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑦) ≤ (𝑃 − 1)))
260	257, 259	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑦) < 𝑃)
261		modqid 10674	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((2 · 𝑦) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (2 · 𝑦) ∧ (2 · 𝑦) < 𝑃)) → ((2 · 𝑦) mod 𝑃) = (2 · 𝑦))
262	246, 110, 250, 260, 261	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑦) mod 𝑃) = (2 · 𝑦))
263	244, 262	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = (2 · 𝑦))
264		nnq 9928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ → (2 · 𝑥) ∈ ℚ)
265	47, 264	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℚ)
266		nnmulcl 9223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
267	22, 46, 266	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
268	267	nnnn0d 9516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ0)
269	268	nn0ge0d 9519	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → 0 ≤ (2 · 𝑥))
270		lemuldiv2 9121	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
271	194, 206, 252, 254, 270	syl112anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
272	200, 271	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))
273		zltlem1 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((2 · 𝑥) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 · 𝑥) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)))
274	88, 148, 273	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑥) < 𝑃 ↔ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1)))
275	272, 274	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (2 · 𝑥) < 𝑃)
276		modqid 10674	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((2 · 𝑥) ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ (2 · 𝑥) ∧ (2 · 𝑥) < 𝑃)) → ((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (2 · 𝑥))
277	265, 110, 269, 275, 276	syl22anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑥) mod 𝑃) = (2 · 𝑥))
278	263, 277	eqeq12d 2246	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
279	278	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
280		oveq1 6035	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1 → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) = (1 · (2 · 𝑦)))
281	280	oveq1d 6043	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1 → (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃))
282	281	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1 → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ ((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃)))
283	282	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1 → (((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)) ↔ (((1 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))))
284	279, 283	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1 → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥))))
285	91, 78	nn0addcld 9520	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑅 + 𝑆) ∈ ℕ0)
286	285	nn0zd 9661	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑅 + 𝑆) ∈ ℤ)
287		m1expcl2 10886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 + 𝑆) ∈ ℤ → (-1↑(𝑅 + 𝑆)) ∈ {-1, 1})
288		elpri 3696	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) ∈ {-1, 1} → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 ∨ (-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1))
289	286, 287, 288	3syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) = -1 ∨ (-1↑(𝑅 + 𝑆)) = 1))
290	242, 284, 289	mpjaod 726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) → (2 · 𝑦) = (2 · 𝑥)))
291		zexpcl 10879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((-1 ∈ ℤ ∧ (𝑅 + 𝑆) ∈ ℕ0) → (-1↑(𝑅 + 𝑆)) ∈ ℤ)
292	17, 285, 291	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (-1↑(𝑅 + 𝑆)) ∈ ℤ)
293	292, 72	zmulcld 9669	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) ∈ ℤ)
294		moddvds 12440	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥))))
295	76, 293, 88, 294	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) mod 𝑃) = ((2 · 𝑥) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥))))
296	230, 229, 98, 99	mulcanapd 8900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((2 · 𝑦) = (2 · 𝑥) ↔ 𝑦 = 𝑥))
297	290, 295, 296	3imtr3d 202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (((-1↑(𝑅 + 𝑆)) · (2 · 𝑦)) − (2 · 𝑥)) → 𝑦 = 𝑥))
298	184, 297	sylbid 150	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ ((-1↑𝑅) · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 = 𝑥))
299	152, 154, 298	3syld 57	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (𝑄 · (((-1↑𝑆) · (2 · 𝑦)) − ((-1↑𝑅) · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 = 𝑥))
300	142, 299	sylbird 170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (𝑃 ∥ (((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) − ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥)))) → 𝑦 = 𝑥))
301	127, 300	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑆) · (𝑄 · (2 · 𝑦))) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑥))
302	123, 301	sylbid 150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) → 𝑦 = 𝑥))
303	101, 302	sylbid 150	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → (((((-1↑𝑆) · 𝑆) mod 𝑃) / 2) = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) → 𝑦 = 𝑥))
304	63, 303	sylbid 150	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ 𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))) → ((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
305	304	ralrimivva 2615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
306		nfmpt1 4187	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
307	5, 306	nfcxfr 2372	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑀
308		nfcv 2375	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑦
309	307, 308	nffv 5658	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀‘𝑦)
310		nfcv 2375	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥𝑧
311	307, 310	nffv 5658	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀‘𝑧)
312	309, 311	nfeq 2383	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑧)
313		nfv 1577	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 = 𝑧
314	312, 313	nfim 1621	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
315		nfv 1577	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑧((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
316		fveq2 5648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑀‘𝑧) = (𝑀‘𝑥))
317	316	eqeq2d 2243	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑧) ↔ (𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑥)))
318		equequ2 1761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 = 𝑧 ↔ 𝑦 = 𝑥))
319	317, 318	imbi12d 234	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑥) → 𝑦 = 𝑥)))
320	314, 315, 319	cbvralw 2761	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
321	320	ralbii 2539	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
322	305, 321	sylibr 134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
323		dff13 5919	. . 3 ⊢ (𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ (𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ ∀𝑦 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))∀𝑧 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((𝑀‘𝑦) = (𝑀‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
324	6, 322, 323	sylanbrc 417	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
325		1zzd 9567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
326	1, 196	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
327	326	nnzd 9662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℤ)
328	325, 327	fzfigd 10756	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
329		enrefg 6980	. . . 4 ⊢ ((1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
330	328, 329	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
331		f1finf1o 7189	. . 3 ⊢ (((1...((𝑃 − 1) / 2)) ≈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∧ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin) → (𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2))))
332	330, 328, 331	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1→(1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2))))
333	324, 332	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403  ∀wral 2511  Vcvv 2803   ∖ cdif 3198  {csn 3673  {cpr 3674   class class class wbr 4093   ↦ cmpt 4155  ⟶wf 5329  –1-1→wf1 5330  –1-1-onto→wf1o 5332  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ≈ cen 6950  Fincfn 6952  ℂcc 8090  ℝcr 8091  0cc0 8092  1c1 8093   + caddc 8095   · cmul 8097   < clt 8273   ≤ cle 8274   − cmin 8409  -cneg 8410   # cap 8820   / cdiv 8911  ℕcn 9202  2c2 9253  ℕ₀cn0 9461  ℤcz 9540  ℚcq 9914  ...cfz 10305   mod cmo 10647  ↑cexp 10863   ∥ cdvds 12428   gcd cgcd 12604  ℙcprime 12759

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8183  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-1re 8186  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-mulrcl 8191  ax-addcom 8192  ax-mulcom 8193  ax-addass 8194  ax-mulass 8195  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0lt1 8198  ax-1rid 8199  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-precex 8202  ax-cnre 8203  ax-pre-ltirr 8204  ax-pre-ltwlin 8205  ax-pre-lttrn 8206  ax-pre-apti 8207  ax-pre-ltadd 8208  ax-pre-mulgt0 8209  ax-pre-mulext 8210  ax-arch 8211  ax-caucvg 8212

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-1o 6625  df-2o 6626  df-er 6745  df-en 6953  df-fin 6955  df-sup 7243  df-pnf 8275  df-mnf 8276  df-xr 8277  df-ltxr 8278  df-le 8279  df-sub 8411  df-neg 8412  df-reap 8814  df-ap 8821  df-div 8912  df-inn 9203  df-2 9261  df-3 9262  df-4 9263  df-n0 9462  df-z 9541  df-uz 9817  df-q 9915  df-rp 9950  df-fz 10306  df-fzo 10440  df-fl 10593  df-mod 10648  df-seqfrec 10773  df-exp 10864  df-cj 11482  df-re 11483  df-im 11484  df-rsqrt 11638  df-abs 11639  df-dvds 12429  df-gcd 12605  df-prm 12760

This theorem is referenced by:  lgseisenlem3  15891