ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suppssfv GIF version

Theorem suppssfv 5932
Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssfv.a (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f (𝜑 → (𝐹𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
suppssfv (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv
StepHypRef Expression
1 eldifsni 3618 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑍)
2 suppssfv.v . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
3 elex 2668 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
42, 3syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴 ∈ V)
54adantr 272 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
6 suppssfv.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑌) = 𝑍)
7 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝑌 → (𝐹𝐴) = (𝐹𝑌))
87eqeq1d 2123 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = 𝑍))
96, 8syl5ibrcom 156 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹𝐴) = 𝑍))
109necon3d 2326 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
1110adantr 272 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
1211imp 123 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴𝑌)
13 eldifsn 3616 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝑌))
145, 12, 13sylanbrc 411 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
1514ex 114 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
161, 15syl5 32 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
1716ss2rabdv 3144 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
18 eqid 2115 . . . 4 (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴))
1918mptpreima 4990 . . 3 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})}
20 eqid 2115 . . . 4 (𝑥𝐷𝐴) = (𝑥𝐷𝐴)
2120mptpreima 4990 . . 3 ((𝑥𝐷𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) = {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})}
2217, 19, 213sstr4g 3106 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ ((𝑥𝐷𝐴) “ (V ∖ {𝑌})))
23 suppssfv.a . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
2422, 23sstrd 3073 1 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  wne 2282  {crab 2394  Vcvv 2657  cdif 3034  wss 3037  {csn 3493  cmpt 3949  ccnv 4498  cima 4502  cfv 5081
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-ral 2395  df-rex 2396  df-rab 2399  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fv 5089
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator