Theorem suppssfv 6092

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppssfv	⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3733	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍)
2		suppssfv.v	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elex 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
6		suppssfv.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
7		fveq2 5527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝑌))
8	7	eqeq1d 2196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = 𝑍))
9	6, 8	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = 𝑍))
10	9	necon3d 2401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
12	11	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ≠ 𝑌)
13		eldifsn 3731	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
14	5, 12, 13	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
15	14	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
16	1, 15	syl5 32	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
17	16	ss2rabdv 3248	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
18		eqid 2187	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴))
19	18	mptpreima 5134	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})}
20		eqid 2187	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
21	20	mptpreima 5134	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})}
22	17, 19, 21	3sstr4g 3210	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})))
23		suppssfv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
24	22, 23	sstrd 3177	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   ≠ wne 2357  {crab 2469  Vcvv 2749   ∖ cdif 3138   ⊆ wss 3141  {csn 3604   ↦ cmpt 4076  ^◡ccnv 4637   “ cima 4641  ‘cfv 5228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fv 5236

This theorem is referenced by: (None)