ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suppssfv GIF version

Theorem suppssfv 6097
Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
suppssfv.a (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f (𝜑 → (𝐹𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
suppssfv (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv
StepHypRef Expression
1 eldifsni 3736 . . . . 5 ((𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹𝐴) ≠ 𝑍)
2 suppssfv.v . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴𝑉)
3 elex 2763 . . . . . . . . 9 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
42, 3syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐴 ∈ V)
54adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
6 suppssfv.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹𝑌) = 𝑍)
7 fveq2 5530 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = 𝑌 → (𝐹𝐴) = (𝐹𝑌))
87eqeq1d 2198 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹𝑌) = 𝑍))
96, 8syl5ibrcom 157 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹𝐴) = 𝑍))
109necon3d 2404 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
1110adantr 276 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴𝑌))
1211imp 124 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴𝑌)
13 eldifsn 3734 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴𝑌))
145, 12, 13sylanbrc 417 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐷) ∧ (𝐹𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
1514ex 115 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ≠ 𝑍𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
161, 15syl5 32 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐷) → ((𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
1716ss2rabdv 3251 . . 3 (𝜑 → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
18 eqid 2189 . . . 4 (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴))
1918mptpreima 5137 . . 3 ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})}
20 eqid 2189 . . . 4 (𝑥𝐷𝐴) = (𝑥𝐷𝐴)
2120mptpreima 5137 . . 3 ((𝑥𝐷𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) = {𝑥𝐷𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})}
2217, 19, 213sstr4g 3213 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ ((𝑥𝐷𝐴) “ (V ∖ {𝑌})))
23 suppssfv.a . 2 (𝜑 → ((𝑥𝐷𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
2422, 23sstrd 3180 1 (𝜑 → ((𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1364  wcel 2160  wne 2360  {crab 2472  Vcvv 2752  cdif 3141  wss 3144  {csn 3607  cmpt 4079  ccnv 4640  cima 4644  cfv 5231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fv 5239
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator