Theorem suppssfv 6153

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppssfv	⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3761	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍)
2		suppssfv.v	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elex 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
6		suppssfv.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
7		fveq2 5575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝑌))
8	7	eqeq1d 2213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = 𝑍))
9	6, 8	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = 𝑍))
10	9	necon3d 2419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
12	11	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ≠ 𝑌)
13		eldifsn 3759	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
14	5, 12, 13	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
15	14	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
16	1, 15	syl5 32	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
17	16	ss2rabdv 3273	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
18		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴))
19	18	mptpreima 5175	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})}
20		eqid 2204	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
21	20	mptpreima 5175	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})}
22	17, 19, 21	3sstr4g 3235	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})))
23		suppssfv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
24	22, 23	sstrd 3202	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375  {crab 2487  Vcvv 2771   ∖ cdif 3162   ⊆ wss 3165  {csn 3632   ↦ cmpt 4104  ^◡ccnv 4673   “ cima 4677  ‘cfv 5270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-rab 2492  df-v 2773  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fv 5278

This theorem is referenced by: (None)