Theorem suppssfv 6135

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppssfv	⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3752	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍)
2		suppssfv.v	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elex 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
6		suppssfv.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
7		fveq2 5561	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝑌))
8	7	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = 𝑍))
9	6, 8	syl5ibrcom 157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = 𝑍))
10	9	necon3d 2411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
11	10	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
12	11	imp 124	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ≠ 𝑌)
13		eldifsn 3750	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
14	5, 12, 13	sylanbrc 417	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
15	14	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
16	1, 15	syl5 32	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
17	16	ss2rabdv 3265	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
18		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴))
19	18	mptpreima 5164	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})}
20		eqid 2196	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
21	20	mptpreima 5164	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})}
22	17, 19, 21	3sstr4g 3227	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})))
23		suppssfv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
24	22, 23	sstrd 3194	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  {crab 2479  Vcvv 2763   ∖ cdif 3154   ⊆ wss 3157  {csn 3623   ↦ cmpt 4095  ^◡ccnv 4663   “ cima 4667  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fv 5267

This theorem is referenced by: (None)