Theorem suppssfv 6057

Description: Formula building theorem for support restriction, on a function which preserves zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
suppssfv.a	⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
suppssfv.f	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
suppssfv.v	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
suppssfv	⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)

Distinct variable groups:   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐿(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem suppssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsni 3712	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍)
2		suppssfv.v	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		elex 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐴 ∈ V)
5	4	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ V)
6		suppssfv.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑌) = 𝑍)
7		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = (𝐹‘𝑌))
8	7	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = 𝑌 → ((𝐹‘𝐴) = 𝑍 ↔ (𝐹‘𝑌) = 𝑍))
9	6, 8	syl5ibrcom 156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝑌 → (𝐹‘𝐴) = 𝑍))
10	9	necon3d 2384	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
11	10	adantr 274	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ≠ 𝑌))
12	11	imp 123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ≠ 𝑌)
13		eldifsn 3710	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}) ↔ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ≠ 𝑌))
14	5, 12, 13	sylanbrc 415	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) ∧ (𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌}))
15	14	ex 114	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ≠ 𝑍 → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
16	1, 15	syl5 32	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})))
17	16	ss2rabdv 3228	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})})
18		eqid 2170	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴))
19	18	mptpreima 5104	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝐴) ∈ (V ∖ {𝑍})}
20		eqid 2170	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴)
21	20	mptpreima 5104	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ 𝐴 ∈ (V ∖ {𝑌})}
22	17, 19, 21	3sstr4g 3190	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})))
23		suppssfv.a	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ 𝐴) “ (V ∖ {𝑌})) ⊆ 𝐿)
24	22, 23	sstrd 3157	1 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝐴)) “ (V ∖ {𝑍})) ⊆ 𝐿)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2340  {crab 2452  Vcvv 2730   ∖ cdif 3118   ⊆ wss 3121  {csn 3583   ↦ cmpt 4050  ^◡ccnv 4610   “ cima 4614  ‘cfv 5198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fv 5206

This theorem is referenced by: (None)