ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1lgs GIF version

Theorem m1lgs 14748
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime ๐‘ƒ iff ๐‘ƒโ‰ก1 (mod 4). See first case of theorem 9.4 in [ApostolNT] p. 181. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 4) = 1))

Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 9299 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„ค
2 oddprm 12273 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
32nnnn0d 9243 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
4 zexpcl 10549 . . . . . . . . 9 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
51, 3, 4sylancr 414 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
65peano2zd 9392 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค)
7 eldifi 3269 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
8 prmnn 12124 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
97, 8syl 14 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
106, 9zmodcld 10359 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 9245 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
12 1cnd 7987 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1311, 12, 12subaddd 8300 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = 1 โ†” (1 + 1) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ)))
14 2z 9295 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
15 zq 9640 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„š
1716a1i 9 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
18 prmz 12125 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
19 zq 9640 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
207, 18, 193syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
21 0le2 9023 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 2
2221a1i 9 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 0 โ‰ค 2)
23 oddprmgt2 12148 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 < ๐‘ƒ)
24 modqid 10363 . . . . . . 7 (((2 โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค 2 โˆง 2 < ๐‘ƒ)) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = 2)
2517, 20, 22, 23, 24syl22anc 1249 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = 2)
26 df-2 8992 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
2725, 26eqtrdi 2236 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = (1 + 1))
2827eqeq1d 2196 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” (1 + 1) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ)))
29 2nn 9094 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
302nnzd 9388 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
31 dvdsdc 11819 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
3229, 30, 31sylancr 414 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ DECID 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
33 eldifsni 3733 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
3433neneqd 2378 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ = 2)
35 prmuz2 12145 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
37 2prm 12141 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„™
38 dvdsprm 12151 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 2 โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” ๐‘ƒ = 2))
3936, 37, 38sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” ๐‘ƒ = 2))
4034, 39mtbird 674 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2)
4140adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2)
42 1cnd 7987 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
432adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
45 oexpneg 11896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -(1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -(1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
4743nnzd 9388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
48 1exp 10563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = 1)
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = 1)
5049negeqd 8166 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ -(1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -1)
5146, 50eqtrd 2220 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -1)
5251oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = (-1 + 1))
53 ax-1cn 7918 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
54 neg1cn 9038 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 โˆˆ โ„‚
55 1pneg1e0 9044 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + -1) = 0
5653, 54, 55addcomli 8116 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 + 1) = 0
5752, 56eqtrdi 2236 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = 0)
5857oveq2d 5904 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) = (2 โˆ’ 0))
59 2cn 9004 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
6059subid1i 8243 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆ’ 0) = 2
6158, 60eqtrdi 2236 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) = 2)
6261breq2d 4027 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 2))
6341, 62mtbird 674 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)))
6463ex 115 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))))
65 condc 854 . . . . . . 7 (DECID 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ†’ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
6632, 64, 65sylc 62 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ†’ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
6714a1i 9 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
68 moddvds 11820 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„ค โˆง ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))))
699, 67, 6, 68syl3anc 1248 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))))
70 4z 9297 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
71 4ne0 9031 . . . . . . . . 9 4 โ‰  0
72 nnm1nn0 9231 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
739, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7473nn0zd 9387 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
75 dvdsval2 11811 . . . . . . . . 9 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง 4 โ‰  0 โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4) โˆˆ โ„ค))
7670, 71, 74, 75mp3an12i 1351 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4) โˆˆ โ„ค))
7773nn0cnd 9245 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7859a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7929a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
8079nnap0d 8979 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 # 0)
8177, 78, 78, 80, 80divdivap1d 8793 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / (2 ยท 2)))
82 2t2e4 9087 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 2) = 4
8382oveq2i 5899 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / (2 ยท 2)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4)
8481, 83eqtrdi 2236 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4))
8584eleq1d 2256 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4) โˆˆ โ„ค))
8676, 85bitr4d 191 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค))
87 2ne0 9025 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
88 dvdsval2 11811 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰  0 โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค))
8914, 87, 30, 88mp3an12i 1351 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค))
9086, 89bitr4d 191 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
9166, 69, 903imtr4d 203 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†’ 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
9254a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
93 neg1ap0 9042 . . . . . . . . . . . 12 -1 # 0
9493a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ -1 # 0)
9514a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
9686biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค)
97 expmulzap 10580 . . . . . . . . . . 11 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 # 0) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))) = ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)))
9892, 94, 95, 96, 97syl22anc 1249 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))) = ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)))
992nncnd 8947 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
10099, 78, 80divcanap2d 8763 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
101100adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
102101oveq2d 5904 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))) = (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
103 neg1sqe1 10629 . . . . . . . . . . . 12 (-1โ†‘2) = 1
104103oveq1i 5898 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = (1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))
105 1exp 10563 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = 1)
10696, 105syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = 1)
107104, 106eqtrid 2232 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = 1)
10898, 102, 1073eqtr3d 2228 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = 1)
109108oveq1d 5903 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = (1 + 1))
11026, 109eqtr4id 2239 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ 2 = ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
111110oveq1d 5903 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ))
112111ex 115 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ)))
11391, 112impbid 129 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
11413, 28, 1133bitr2d 216 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = 1 โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
115 lgsval3 14715 . . . . 5 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (-1 /L ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1))
1161, 115mpan 424 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (-1 /L ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1))
117116eqeq1d 2196 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = 1))
118 4nn 9096 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•
119118a1i 9 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
1207, 18syl 14 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
121 1zzd 9294 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
122 moddvds 11820 . . . 4 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4) โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
123119, 120, 121, 122syl3anc 1248 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4) โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
124114, 117, 1233bitr4d 220 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4)))
125 1z 9293 . . . . 5 1 โˆˆ โ„ค
126 zq 9640 . . . . 5 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
127125, 126ax-mp 5 . . . 4 1 โˆˆ โ„š
128 zq 9640 . . . . 5 (4 โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„š)
12970, 128ax-mp 5 . . . 4 4 โˆˆ โ„š
130 0le1 8452 . . . 4 0 โ‰ค 1
131 1lt4 9107 . . . 4 1 < 4
132 modqid 10363 . . . 4 (((1 โˆˆ โ„š โˆง 4 โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 4)) โ†’ (1 mod 4) = 1)
133127, 129, 130, 131, 132mp4an 427 . . 3 (1 mod 4) = 1
134133eqeq2i 2198 . 2 ((๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4) โ†” (๐‘ƒ mod 4) = 1)
135124, 134bitrdi 196 1 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 4) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105  DECID wdc 835   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158   โ‰  wne 2357   โˆ– cdif 3138  {csn 3604   class class class wbr 4015  โ€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  โ„‚cc 7823  0cc0 7825  1c1 7826   + caddc 7828   ยท cmul 7830   < clt 8006   โ‰ค cle 8007   โˆ’ cmin 8142  -cneg 8143   # cap 8552   / cdiv 8643  โ„•cn 8933  2c2 8984  4c4 8986  โ„•0cn0 9190  โ„คcz 9267  โ„คโ‰ฅcuz 9542  โ„šcq 9633   mod cmo 10336  โ†‘cexp 10533   โˆฅ cdvds 11808  โ„™cprime 12121   /L clgs 14694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-mulrcl 7924  ax-addcom 7925  ax-mulcom 7926  ax-addass 7927  ax-mulass 7928  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-1rid 7932  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-precex 7935  ax-cnre 7936  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltwlin 7938  ax-pre-lttrn 7939  ax-pre-apti 7940  ax-pre-ltadd 7941  ax-pre-mulgt0 7942  ax-pre-mulext 7943  ax-arch 7944  ax-caucvg 7945
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-xor 1386  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-frec 6406  df-1o 6431  df-2o 6432  df-oadd 6435  df-er 6549  df-en 6755  df-dom 6756  df-fin 6757  df-sup 6997  df-inf 6998  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-xr 8010  df-ltxr 8011  df-le 8012  df-sub 8144  df-neg 8145  df-reap 8546  df-ap 8553  df-div 8644  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-4 8994  df-5 8995  df-6 8996  df-7 8997  df-8 8998  df-n0 9191  df-z 9268  df-uz 9543  df-q 9634  df-rp 9668  df-fz 10023  df-fzo 10157  df-fl 10284  df-mod 10337  df-seqfrec 10460  df-exp 10534  df-ihash 10770  df-cj 10865  df-re 10866  df-im 10867  df-rsqrt 11021  df-abs 11022  df-clim 11301  df-proddc 11573  df-dvds 11809  df-gcd 11958  df-prm 12122  df-phi 12225  df-pc 12299  df-lgs 14695
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator