ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  m1lgs GIF version

Theorem m1lgs 14613
Description: The first supplement to the law of quadratic reciprocity. Negative one is a square mod an odd prime ๐‘ƒ iff ๐‘ƒโ‰ก1 (mod 4). See first case of theorem 9.4 in [ApostolNT] p. 181. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
m1lgs (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 4) = 1))

Proof of Theorem m1lgs
StepHypRef Expression
1 neg1z 9288 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„ค
2 oddprm 12262 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
32nnnn0d 9232 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0)
4 zexpcl 10538 . . . . . . . . 9 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•0) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
51, 3, 4sylancr 414 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โˆˆ โ„ค)
65peano2zd 9381 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค)
7 eldifi 3259 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
8 prmnn 12113 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
97, 8syl 14 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„•)
106, 9zmodcld 10348 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„•0)
1110nn0cnd 9234 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆˆ โ„‚)
12 1cnd 7976 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
1311, 12, 12subaddd 8289 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = 1 โ†” (1 + 1) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ)))
14 2z 9284 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„ค
15 zq 9629 . . . . . . . . 9 (2 โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„š
1716a1i 9 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„š)
18 prmz 12114 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
19 zq 9629 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
207, 18, 193syl 17 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„š)
21 0le2 9012 . . . . . . . 8 0 โ‰ค 2
2221a1i 9 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 0 โ‰ค 2)
23 oddprmgt2 12137 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 < ๐‘ƒ)
24 modqid 10352 . . . . . . 7 (((2 โˆˆ โ„š โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค 2 โˆง 2 < ๐‘ƒ)) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = 2)
2517, 20, 22, 23, 24syl22anc 1239 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = 2)
26 df-2 8981 . . . . . 6 2 = (1 + 1)
2725, 26eqtrdi 2226 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = (1 + 1))
2827eqeq1d 2186 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” (1 + 1) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ)))
29 2nn 9083 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
302nnzd 9377 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
31 dvdsdc 11808 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ DECID 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
3229, 30, 31sylancr 414 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ DECID 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
33 eldifsni 3723 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โ‰  2)
3433neneqd 2368 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ = 2)
35 prmuz2 12134 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
367, 35syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
37 2prm 12130 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„™
38 dvdsprm 12140 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง 2 โˆˆ โ„™) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” ๐‘ƒ = 2))
3936, 37, 38sylancl 413 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ 2 โ†” ๐‘ƒ = 2))
4034, 39mtbird 673 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2)
4140adantr 276 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ 2)
42 1cnd 7976 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
432adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„•)
44 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
45 oexpneg 11885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„• โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -(1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
4642, 43, 44, 45syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -(1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
4743nnzd 9377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค)
48 1exp 10552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = 1)
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = 1)
5049negeqd 8155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ -(1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -1)
5146, 50eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = -1)
5251oveq1d 5893 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = (-1 + 1))
53 ax-1cn 7907 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„‚
54 neg1cn 9027 . . . . . . . . . . . . . 14 -1 โˆˆ โ„‚
55 1pneg1e0 9033 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 + -1) = 0
5653, 54, 55addcomli 8105 . . . . . . . . . . . . 13 (-1 + 1) = 0
5752, 56eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = 0)
5857oveq2d 5894 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) = (2 โˆ’ 0))
59 2cn 8993 . . . . . . . . . . . 12 2 โˆˆ โ„‚
6059subid1i 8232 . . . . . . . . . . 11 (2 โˆ’ 0) = 2
6158, 60eqtrdi 2226 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) = 2)
6261breq2d 4017 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ 2))
6341, 62mtbird 673 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)))
6463ex 115 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))))
65 condc 853 . . . . . . 7 (DECID 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ((ยฌ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†’ ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ†’ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))))
6632, 64, 65sylc 62 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1)) โ†’ 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
6714a1i 9 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
68 moddvds 11809 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„ค โˆง ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))))
699, 67, 6, 68syl3anc 1238 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (2 โˆ’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))))
70 4z 9286 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
71 4ne0 9020 . . . . . . . . 9 4 โ‰  0
72 nnm1nn0 9220 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
739, 72syl 14 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
7473nn0zd 9376 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
75 dvdsval2 11800 . . . . . . . . 9 ((4 โˆˆ โ„ค โˆง 4 โ‰  0 โˆง (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4) โˆˆ โ„ค))
7670, 71, 74, 75mp3an12i 1341 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4) โˆˆ โ„ค))
7773nn0cnd 9234 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
7859a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
7929a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 โˆˆ โ„•)
8079nnap0d 8968 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 2 # 0)
8177, 78, 78, 80, 80divdivap1d 8782 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / (2 ยท 2)))
82 2t2e4 9076 . . . . . . . . . . 11 (2 ยท 2) = 4
8382oveq2i 5889 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / (2 ยท 2)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4)
8481, 83eqtrdi 2226 . . . . . . . . 9 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4))
8584eleq1d 2246 . . . . . . . 8 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†” ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 4) โˆˆ โ„ค))
8676, 85bitr4d 191 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค))
87 2ne0 9014 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
88 dvdsval2 11800 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ค โˆง 2 โ‰  0 โˆง ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„ค) โ†’ (2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค))
8914, 87, 30, 88mp3an12i 1341 . . . . . . 7 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โ†” (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค))
9086, 89bitr4d 191 . . . . . 6 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†” 2 โˆฅ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
9166, 69, 903imtr4d 203 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†’ 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
9254a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ -1 โˆˆ โ„‚)
93 neg1ap0 9031 . . . . . . . . . . . 12 -1 # 0
9493a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ -1 # 0)
9514a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
9686biimpa 296 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค)
97 expmulzap 10569 . . . . . . . . . . 11 (((-1 โˆˆ โ„‚ โˆง -1 # 0) โˆง (2 โˆˆ โ„ค โˆง (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))) = ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)))
9892, 94, 95, 96, 97syl22anc 1239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))) = ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)))
992nncnd 8936 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) โˆˆ โ„‚)
10099, 78, 80divcanap2d 8752 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
101100adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = ((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2))
102101oveq2d 5894 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (-1โ†‘(2 ยท (((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))) = (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)))
103 neg1sqe1 10618 . . . . . . . . . . . 12 (-1โ†‘2) = 1
104103oveq1i 5888 . . . . . . . . . . 11 ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = (1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2))
105 1exp 10552 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2) โˆˆ โ„ค โ†’ (1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = 1)
10696, 105syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (1โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = 1)
107104, 106eqtrid 2222 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((-1โ†‘2)โ†‘(((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2) / 2)) = 1)
10898, 102, 1073eqtr3d 2218 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) = 1)
109108oveq1d 5893 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) = (1 + 1))
11026, 109eqtr4id 2229 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ 2 = ((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1))
111110oveq1d 5893 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โˆง 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ))
112111ex 115 . . . . 5 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1) โ†’ (2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ)))
11391, 112impbid 129 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((2 mod ๐‘ƒ) = (((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
11413, 28, 1133bitr2d 216 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = 1 โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
115 lgsval3 14580 . . . . 5 ((-1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2})) โ†’ (-1 /L ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1))
1161, 115mpan 424 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ (-1 /L ๐‘ƒ) = ((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1))
117116eqeq1d 2186 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” ((((-1โ†‘((๐‘ƒ โˆ’ 1) / 2)) + 1) mod ๐‘ƒ) โˆ’ 1) = 1))
118 4nn 9085 . . . . 5 4 โˆˆ โ„•
119118a1i 9 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 4 โˆˆ โ„•)
1207, 18syl 14 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
121 1zzd 9283 . . . 4 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
122 moddvds 11809 . . . 4 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4) โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
123119, 120, 121, 122syl3anc 1238 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4) โ†” 4 โˆฅ (๐‘ƒ โˆ’ 1)))
124114, 117, 1233bitr4d 220 . 2 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4)))
125 1z 9282 . . . . 5 1 โˆˆ โ„ค
126 zq 9629 . . . . 5 (1 โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„š)
127125, 126ax-mp 5 . . . 4 1 โˆˆ โ„š
128 zq 9629 . . . . 5 (4 โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„š)
12970, 128ax-mp 5 . . . 4 4 โˆˆ โ„š
130 0le1 8441 . . . 4 0 โ‰ค 1
131 1lt4 9096 . . . 4 1 < 4
132 modqid 10352 . . . 4 (((1 โˆˆ โ„š โˆง 4 โˆˆ โ„š) โˆง (0 โ‰ค 1 โˆง 1 < 4)) โ†’ (1 mod 4) = 1)
133127, 129, 130, 131, 132mp4an 427 . . 3 (1 mod 4) = 1
134133eqeq2i 2188 . 2 ((๐‘ƒ mod 4) = (1 mod 4) โ†” (๐‘ƒ mod 4) = 1)
135124, 134bitrdi 196 1 (๐‘ƒ โˆˆ (โ„™ โˆ– {2}) โ†’ ((-1 /L ๐‘ƒ) = 1 โ†” (๐‘ƒ mod 4) = 1))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105  DECID wdc 834   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   โ‰  wne 2347   โˆ– cdif 3128  {csn 3594   class class class wbr 4005  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5878  โ„‚cc 7812  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   ยท cmul 7819   < clt 7995   โ‰ค cle 7996   โˆ’ cmin 8131  -cneg 8132   # cap 8541   / cdiv 8632  โ„•cn 8922  2c2 8973  4c4 8975  โ„•0cn0 9179  โ„คcz 9256  โ„คโ‰ฅcuz 9531  โ„šcq 9622   mod cmo 10325  โ†‘cexp 10522   โˆฅ cdvds 11797  โ„™cprime 12110   /L clgs 14559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-frec 6395  df-1o 6420  df-2o 6421  df-oadd 6424  df-er 6538  df-en 6744  df-dom 6745  df-fin 6746  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-5 8984  df-6 8985  df-7 8986  df-8 8987  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fz 10012  df-fzo 10146  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-ihash 10759  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-clim 11290  df-proddc 11562  df-dvds 11798  df-gcd 11947  df-prm 12111  df-phi 12214  df-pc 12288  df-lgs 14560
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator