Theorem lgslem1 15241

Description: When 𝑎 is coprime to the prime 𝑝, 𝑎↑((𝑝 − 1) / 2) is equivalent mod 𝑝 to 1 or -1, and so adding 1 makes it equivalent to 0 or 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgslem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})

Proof of Theorem lgslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3285	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	3ad2ant2 1021	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 12278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		simp1 999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6		prmz 12279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
8	5, 7	gcdcomd 12141	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
9		simp3 1001	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
10		coprm 12312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
11	2, 5, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
12	9, 11	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
13	8, 12	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
14		eulerth 12401	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
16		phiprm 12391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
17	2, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
18		nnm1nn0 9290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
20	17, 19	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
21		zexpcl 10646	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
23		1zzd 9353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
24		moddvds 11964	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
26	15, 25	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1))
27	19	nn0cnd 9304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
28		2cnd 9063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
29		2ap0 9083	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 # 0
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 # 0)
31	27, 28, 30	divcanap1d 8818	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
32	17, 31	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (((𝑃 − 1) / 2) · 2))
33	32	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
34	5	zcnd 9449	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
35		2nn0 9266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
37		oddprm 12428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
38	37	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
39	38	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
40	34, 36, 39	expmuld 10768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
41	33, 40	eqtrd 2229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
42	41	oveq1d 5937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − 1))
43		sq1 10725	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
44	43	oveq2i 5933	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − 1)
45	42, 44	eqtr4di 2247	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)))
46		zexpcl 10646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
47	5, 39, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
48	47	zcnd 9449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
49		ax-1cn 7972	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		subsq 10738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
51	48, 49, 50	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
52	45, 51	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
53	26, 52	breqtrd 4059	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
54	47	peano2zd 9451	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
55		peano2zm 9364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ)
56	47, 55	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ)
57		euclemma 12314	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))))
58	2, 54, 56, 57	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))))
59	53, 58	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
60		dvdsval3 11956	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0))
61	4, 54, 60	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0))
62		2z 9354	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
63	62	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
64		moddvds 11964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2)))
65	4, 54, 63, 64	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2)))
66		zq 9700	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
67	62, 66	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℚ)
68		zq 9700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℚ)
69	7, 68	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℚ)
70		0le2 9080	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 0 ≤ 2)
72		eldifsni 3751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
73	72	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ≠ 2)
74		zapne 9400	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 # 2 ↔ 𝑃 ≠ 2))
75	7, 62, 74	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 # 2 ↔ 𝑃 ≠ 2))
76	73, 75	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 # 2)
77		2re 9060	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
78	77	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
79	4	nnred 9003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80		prmuz2 12299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
81	2, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
82		eluzle 9613	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ≤ 𝑃)
84	78, 79, 83	leltapd 8666	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (2 < 𝑃 ↔ 𝑃 # 2))
85	76, 84	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 < 𝑃)
86		modqid 10441	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑃)) → (2 mod 𝑃) = 2)
87	67, 69, 71, 85, 86	syl22anc 1250	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (2 mod 𝑃) = 2)
88	87	eqeq2d 2208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
89		df-2 9049	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
90	89	oveq2i 5933	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − (1 + 1))
91	49	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
92	48, 91, 91	pnpcan2d 8375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − (1 + 1)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
93	90, 92	eqtrid 2241	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
94	93	breq2d 4045	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
95	65, 88, 94	3bitr3rd 219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
96	61, 95	orbi12d 794	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2)))
97	59, 96	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
98	54, 4	zmodcld 10437	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
99		elprg 3642	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℕ0 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2} ↔ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2)))
100	98, 99	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2} ↔ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2)))
101	97, 100	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 709   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367   ∖ cdif 3154  {csn 3622  {cpr 3623   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197   # cap 8608   / cdiv 8699  ℕcn 8990  2c2 9041  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326  ℤ_≥cuz 9601  ℚcq 9693   mod cmo 10414  ↑cexp 10630   ∥ cdvds 11952   gcd cgcd 12120  ℙcprime 12275  ϕcphi 12377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-frec 6449  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-er 6592  df-en 6800  df-dom 6801  df-fin 6802  df-sup 7050  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-fl 10360  df-mod 10415  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-ihash 10868  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-clim 11444  df-proddc 11716  df-dvds 11953  df-gcd 12121  df-prm 12276  df-phi 12379

This theorem is referenced by:  lgslem4  15244