Theorem lgslem1 13972

Description: When 𝑎 is coprime to the prime 𝑝, 𝑎↑((𝑝 − 1) / 2) is equivalent mod 𝑝 to 1 or -1, and so adding 1 makes it equivalent to 0 or 2. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgslem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})

Proof of Theorem lgslem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3255	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
2	1	3ad2ant2 1019	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℙ)
3		prmnn 12077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
4	2, 3	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℕ)
5		simp1 997	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
6		prmz 12078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
7	2, 6	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℤ)
8	5, 7	gcdcomd 11942	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = (𝑃 gcd 𝐴))
9		simp3 999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ¬ 𝑃 ∥ 𝐴)
10		coprm 12111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
11	2, 5, 10	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (¬ 𝑃 ∥ 𝐴 ↔ (𝑃 gcd 𝐴) = 1))
12	9, 11	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 gcd 𝐴) = 1)
13	8, 12	eqtrd 2208	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴 gcd 𝑃) = 1)
14		eulerth 12200	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑃) = 1) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
15	4, 5, 13, 14	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃))
16		phiprm 12190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
17	2, 16	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
18		nnm1nn0 9190	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
19	4, 18	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ0)
20	17, 19	eqeltrd 2252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0)
21		zexpcl 10505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (ϕ‘𝑃) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
22	5, 20, 21	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ)
23		1zzd 9253	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
24		moddvds 11774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
25	4, 22, 23, 24	syl3anc 1238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) mod 𝑃) = (1 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1)))
26	15, 25	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1))
27	19	nn0cnd 9204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 − 1) ∈ ℂ)
28		2cnd 8965	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℂ)
29		2ap0 8985	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 # 0
30	29	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 # 0)
31	27, 28, 30	divcanap1d 8721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝑃 − 1) / 2) · 2) = (𝑃 − 1))
32	17, 31	eqtr4d 2211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (ϕ‘𝑃) = (((𝑃 − 1) / 2) · 2))
33	32	oveq2d 5881	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = (𝐴↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)))
34	5	zcnd 9349	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
35		2nn0 9166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℕ0
36	35	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℕ0)
37		oddprm 12226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
38	37	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
39	38	nnnn0d 9202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
40	34, 36, 39	expmuld 10626	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(((𝑃 − 1) / 2) · 2)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
41	33, 40	eqtrd 2208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑(ϕ‘𝑃)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2))
42	41	oveq1d 5880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − 1))
43		sq1 10583	. . . . . . . 8 ⊢ (1↑2) = 1
44	43	oveq2i 5876	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − 1)
45	42, 44	eqtr4di 2226	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)))
46		zexpcl 10505	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
47	5, 39, 46	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
48	47	zcnd 9349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
49		ax-1cn 7879	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
50		subsq 10596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
51	48, 49, 50	sylancl 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))↑2) − (1↑2)) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
52	45, 51	eqtrd 2208	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑(ϕ‘𝑃)) − 1) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
53	26, 52	breqtrd 4024	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
54	47	peano2zd 9351	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ)
55		peano2zm 9264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ)
56	47, 55	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ)
57		euclemma 12113	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))))
58	2, 54, 56, 57	syl3anc 1238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) · ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))))
59	53, 58	mpbid 147	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
60		dvdsval3 11766	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0))
61	4, 54, 60	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0))
62		2z 9254	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
63	62	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℤ)
64		moddvds 11774	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2)))
65	4, 54, 63, 64	syl3anc 1238	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2)))
66		zq 9599	. . . . . . . 8 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
67	62, 66	mp1i 10	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℚ)
68		zq 9599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℚ)
69	7, 68	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℚ)
70		0le2 8982	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ≤ 2
71	70	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 0 ≤ 2)
72		eldifsni 3718	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ≠ 2)
73	72	3ad2ant2 1019	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ≠ 2)
74		zapne 9300	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑃 # 2 ↔ 𝑃 ≠ 2))
75	7, 62, 74	sylancl 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 # 2 ↔ 𝑃 ≠ 2))
76	73, 75	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 # 2)
77		2re 8962	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
78	77	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ∈ ℝ)
79	4	nnred 8905	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ ℝ)
80		prmuz2 12098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
81	2, 80	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
82		eluzle 9513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 ≤ 𝑃)
84	78, 79, 83	leltapd 8570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (2 < 𝑃 ↔ 𝑃 # 2))
85	76, 84	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 2 < 𝑃)
86		modqid 10319	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∈ ℚ ∧ 𝑃 ∈ ℚ) ∧ (0 ≤ 2 ∧ 2 < 𝑃)) → (2 mod 𝑃) = 2)
87	67, 69, 71, 85, 86	syl22anc 1239	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (2 mod 𝑃) = 2)
88	87	eqeq2d 2187	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = (2 mod 𝑃) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
89		df-2 8951	. . . . . . . 8 ⊢ 2 = (1 + 1)
90	89	oveq2i 5876	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − (1 + 1))
91	49	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → 1 ∈ ℂ)
92	48, 91, 91	pnpcan2d 8280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − (1 + 1)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
93	90, 92	eqtrid 2220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1))
94	93	breq2d 4010	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) − 2) ↔ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)))
95	65, 88, 94	3bitr3rd 219	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1) ↔ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
96	61, 95	orbi12d 793	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) ∨ 𝑃 ∥ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) − 1)) ↔ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2)))
97	59, 96	mpbid 147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2))
98	54, 4	zmodcld 10315	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
99		elprg 3609	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ ℕ0 → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2} ↔ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2)))
100	98, 99	syl 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2} ↔ ((((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 0 ∨ (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) = 2)))
101	97, 100	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 𝑃 ∥ 𝐴) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) + 1) mod 𝑃) ∈ {0, 2})

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 105   ∨ wo 708   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2345   ∖ cdif 3124  {csn 3589  {cpr 3590   class class class wbr 3998  ‘cfv 5208  (class class class)co 5865  ℂcc 7784  ℝcr 7785  0cc0 7786  1c1 7787   + caddc 7789   · cmul 7791   < clt 7966   ≤ cle 7967   − cmin 8102   # cap 8512   / cdiv 8602  ℕcn 8892  2c2 8943  ℕ₀cn0 9149  ℤcz 9226  ℤ_≥cuz 9501  ℚcq 9592   mod cmo 10292  ↑cexp 10489   ∥ cdvds 11762   gcd cgcd 11910  ℙcprime 12074  ϕcphi 12176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8603  df-inn 8893  df-2 8951  df-3 8952  df-4 8953  df-n0 9150  df-z 9227  df-uz 9502  df-q 9593  df-rp 9625  df-fz 9980  df-fzo 10113  df-fl 10240  df-mod 10293  df-seqfrec 10416  df-exp 10490  df-ihash 10724  df-cj 10819  df-re 10820  df-im 10821  df-rsqrt 10975  df-abs 10976  df-clim 11255  df-proddc 11527  df-dvds 11763  df-gcd 11911  df-prm 12075  df-phi 12178

This theorem is referenced by:  lgslem4  13975