Theorem elon 4406

Description: An ordinal number is an ordinal set. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Hypothesis

Ref	Expression
elon.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
elon	⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)

Proof of Theorem elon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elon.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		elong 4405	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 105   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760  Ord word 4394  Oncon0 4395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-in 3160  df-ss 3167  df-uni 3837  df-tr 4129  df-iord 4398  df-on 4400

This theorem is referenced by:  tron  4414  0elon  4424  ordtriexmidlem  4552  ontr2exmid  4558  ordtri2or2exmidlem  4559  onsucelsucexmidlem  4562  exmidonfinlem  7255  bj-omelon  15523