Theorem eloni 4305

Description: An ordinal number has the ordinal property. (Contributed by NM, 5-Jun-1994.)

Assertion

Ref	Expression
eloni	⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)

Proof of Theorem eloni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 4303	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝐴 ∈ On ↔ Ord 𝐴))
2	1	ibi 175	1 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1481  Ord word 4292  Oncon0 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-in 3082  df-ss 3089  df-uni 3745  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298

This theorem is referenced by:  elon2  4306  onelon  4314  onin  4316  onelss  4317  ontr1  4319  onordi  4356  onss  4417  suceloni  4425  sucelon  4427  onsucmin  4431  onsucelsucr  4432  onintonm  4441  ordsucunielexmid  4454  onsucuni2  4487  nnord  4533  tfrlem1  6213  tfrlemisucaccv  6230  tfrlemibfn  6233  tfrlemiubacc  6235  tfrexlem  6239  tfr1onlemsucfn  6245  tfr1onlemsucaccv  6246  tfr1onlembfn  6249  tfr1onlemubacc  6251  tfrcllemsucfn  6258  tfrcllemsucaccv  6259  tfrcllembfn  6262  tfrcllemubacc  6264  sucinc2  6350  phplem4on  6769  ordiso  6929