Theorem ss0 3535

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3534	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 120	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ⊆ wss 3200  ∅c0 3494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-dif 3202  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495

This theorem is referenced by:  sseq0  3536  abf  3538  eq0rdv  3539  ssdisj  3551  0dif  3566  poirr2  5129  iotanul  5302  f00  5528  map0b  6856  phplem2  7039  php5dom  7049  sbthlem7  7162  fi0  7174  casefun  7284  caseinj  7288  djufun  7303  djuinj  7305  nninfninc  7322  nnnninfeq  7327  exmidomni  7341  ixxdisj  10138  icodisj  10227  ioodisj  10228  uzdisj  10328  nn0disj  10373  swrd0g  11245  fsum2dlemstep  12000  fprodssdc  12156  fprod2dlemstep  12188  ntrcls0  14861  vtxdfifiun  16154  vtxdumgrfival  16155