Theorem ss0 3533

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3532	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 120	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ⊆ wss 3198  ∅c0 3492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-dif 3200  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493

This theorem is referenced by:  sseq0  3534  abf  3536  eq0rdv  3537  ssdisj  3549  0dif  3564  poirr2  5127  iotanul  5300  f00  5525  map0b  6851  phplem2  7034  php5dom  7044  sbthlem7  7156  fi0  7168  casefun  7278  caseinj  7282  djufun  7297  djuinj  7299  nninfninc  7316  nnnninfeq  7321  exmidomni  7335  ixxdisj  10131  icodisj  10220  ioodisj  10221  uzdisj  10321  nn0disj  10366  swrd0g  11234  fsum2dlemstep  11988  fprodssdc  12144  fprod2dlemstep  12176  ntrcls0  14848  vtxdfifiun  16108  vtxdumgrfival  16109