Theorem ss0 3563

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3562	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 120	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521

This theorem is referenced by:  abf  3570  eq0rdv  3571  ssdisj  3581  0dif  3597  poirr2  5178  iotanul  5351  f00  5582  map0b  6962  phplem2  7148  php5dom  7158  sbthlem7  7274  fi0  7303  casefun  7419  caseinj  7423  djufun  7438  djuinj  7440  nninfninc  7457  nnnninfeq  7462  exmidomni  7476  ixxdisj  10288  icodisj  10377  ioodisj  10378  uzdisj  10483  nn0disj  10528  hashf1lem2  11269  swrd0g  11415  fsum2dlemstep  12184  fprodssdc  12340  fprod2dlemstep  12372  ntrcls0  15215  vtxdfifiun  16521  vtxdumgrfival  16522