Theorem ss0 3463

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3462	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 120	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ⊆ wss 3129  ∅c0 3422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-dif 3131  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423

This theorem is referenced by:  sseq0  3464  abf  3466  eq0rdv  3467  ssdisj  3479  0dif  3494  poirr2  5018  iotanul  5190  f00  5404  map0b  6682  phplem2  6848  php5dom  6858  sbthlem7  6957  fi0  6969  casefun  7079  caseinj  7083  djufun  7098  djuinj  7100  nnnninfeq  7121  exmidomni  7135  ixxdisj  9897  icodisj  9986  ioodisj  9987  uzdisj  10086  nn0disj  10131  fsum2dlemstep  11433  fprodssdc  11589  fprod2dlemstep  11621  ntrcls0  13413