Theorem ss0 3548

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3547	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 120	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3210  ∅c0 3507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2814  df-dif 3212  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508

This theorem is referenced by:  sseq0  3549  abf  3551  eq0rdv  3552  ssdisj  3564  0dif  3579  poirr2  5154  iotanul  5327  f00  5558  map0b  6920  phplem2  7106  php5dom  7116  sbthlem7  7232  fi0  7261  casefun  7375  caseinj  7379  djufun  7394  djuinj  7396  nninfninc  7413  nnnninfeq  7418  exmidomni  7432  ixxdisj  10235  icodisj  10324  ioodisj  10325  uzdisj  10426  nn0disj  10471  swrd0g  11348  fsum2dlemstep  12116  fprodssdc  12272  fprod2dlemstep  12304  ntrcls0  14988  vtxdfifiun  16284  vtxdumgrfival  16285