Theorem ss0 3532

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3531	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 120	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492

This theorem is referenced by:  sseq0  3533  abf  3535  eq0rdv  3536  ssdisj  3548  0dif  3563  poirr2  5124  iotanul  5297  f00  5522  map0b  6847  phplem2  7027  php5dom  7037  sbthlem7  7146  fi0  7158  casefun  7268  caseinj  7272  djufun  7287  djuinj  7289  nninfninc  7306  nnnninfeq  7311  exmidomni  7325  ixxdisj  10116  icodisj  10205  ioodisj  10206  uzdisj  10306  nn0disj  10351  swrd0g  11213  fsum2dlemstep  11966  fprodssdc  12122  fprod2dlemstep  12154  ntrcls0  14826  vtxdfifiun  16083  vtxdumgrfival  16084