Theorem ss0 3537

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3536	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 120	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3201  ∅c0 3496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-dif 3203  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497

This theorem is referenced by:  sseq0  3538  abf  3540  eq0rdv  3541  ssdisj  3553  0dif  3568  poirr2  5136  iotanul  5309  f00  5537  map0b  6899  phplem2  7082  php5dom  7092  sbthlem7  7205  fi0  7217  casefun  7327  caseinj  7331  djufun  7346  djuinj  7348  nninfninc  7365  nnnninfeq  7370  exmidomni  7384  ixxdisj  10181  icodisj  10270  ioodisj  10271  uzdisj  10371  nn0disj  10416  swrd0g  11288  fsum2dlemstep  12056  fprodssdc  12212  fprod2dlemstep  12244  ntrcls0  14922  vtxdfifiun  16218  vtxdumgrfival  16219