Theorem ss0 3563

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3562	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 120	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-dif 3222  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521

This theorem is used by:  abf  3570  eq0rdv  3571  ssdisj  3581  0dif  3597  poirr2  5183  iotanul  5356  f00  5587  map0b  6972  phplem2  7159  php5dom  7169  sbthlem7  7286  fi0  7315  casefun  7432  caseinj  7436  djufun  7451  djuinj  7453  nninfninc  7470  nnnninfeq  7475  exmidomni  7489  ixxdisj  10323  icodisj  10412  ioodisj  10413  uzdisj  10518  nn0disj  10563  hashf1lem2  11309  swrd0g  11455  fsum2dlemstep  12227  fprodssdc  12383  fprod2dlemstep  12415  ntrcls0  15369  vtxdfifiun  16755  vtxdumgrfival  16756