Theorem ss0 3553

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3552	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 120	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-dif 3216  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513

This theorem is referenced by:  sseq0  3554  abf  3556  eq0rdv  3557  ssdisj  3569  0dif  3584  poirr2  5160  iotanul  5333  f00  5564  map0b  6934  phplem2  7120  php5dom  7130  sbthlem7  7246  fi0  7275  casefun  7389  caseinj  7393  djufun  7408  djuinj  7410  nninfninc  7427  nnnninfeq  7432  exmidomni  7446  ixxdisj  10255  icodisj  10344  ioodisj  10345  uzdisj  10449  nn0disj  10494  swrd0g  11377  fsum2dlemstep  12145  fprodssdc  12301  fprod2dlemstep  12333  ntrcls0  15108  vtxdfifiun  16404  vtxdumgrfival  16405