Theorem ss0 3532

Description: Any subset of the empty set is empty. Theorem 5 of [Suppes] p. 23. (Contributed by NM, 13-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss0	⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem ss0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ss0b 3531	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ ↔ 𝐴 = ∅)
2	1	biimpi 120	1 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ⊆ wss 3197  ∅c0 3491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-dif 3199  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492

This theorem is referenced by:  sseq0  3533  abf  3535  eq0rdv  3536  ssdisj  3548  0dif  3563  poirr2  5121  iotanul  5294  f00  5519  map0b  6842  phplem2  7022  php5dom  7032  sbthlem7  7138  fi0  7150  casefun  7260  caseinj  7264  djufun  7279  djuinj  7281  nninfninc  7298  nnnninfeq  7303  exmidomni  7317  ixxdisj  10107  icodisj  10196  ioodisj  10197  uzdisj  10297  nn0disj  10342  swrd0g  11200  fsum2dlemstep  11953  fprodssdc  12109  fprod2dlemstep  12141  ntrcls0  14813