Theorem map0b 6764

Description: Set exponentiation with an empty base is the empty set, provided the exponent is nonempty. Theorem 96 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
map0b	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 𝐴) = ∅)

Proof of Theorem map0b

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6747	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (∅ ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶∅)
2		fdm 5425	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → dom 𝑓 = 𝐴)
3		frn 5428	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → ran 𝑓 ⊆ ∅)
4		ss0 3500	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ ∅ → ran 𝑓 = ∅)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → ran 𝑓 = ∅)
6		dm0rn0 4893	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
7	5, 6	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → dom 𝑓 = ∅)
8	2, 7	eqtr3d 2239	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
9	1, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (∅ ↑𝑚 𝐴) → 𝐴 = ∅)
10	9	necon3ai 2424	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝑓 ∈ (∅ ↑𝑚 𝐴))
11	10	eq0rdv 3504	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 𝐴) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ≠ wne 2375   ⊆ wss 3165  ∅c0 3459  dom cdm 4673  ran crn 4674  ⟶wf 5264  (class class class)co 5934   ↑_𝑚 cmap 6725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-sbc 2998  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-map 6727

This theorem is referenced by:  map0g  6765