Theorem map0b 6934

Description: Set exponentiation with an empty base is the empty set, provided the exponent is nonempty. Theorem 96 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
map0b	⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 𝐴) = ∅)

Proof of Theorem map0b

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 6917	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (∅ ↑𝑚 𝐴) → 𝑓:𝐴⟶∅)
2		fdm 5519	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → dom 𝑓 = 𝐴)
3		frn 5522	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → ran 𝑓 ⊆ ∅)
4		ss0 3553	. . . . . . 7 ⊢ (ran 𝑓 ⊆ ∅ → ran 𝑓 = ∅)
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → ran 𝑓 = ∅)
6		dm0rn0 4978	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝑓 = ∅ ↔ ran 𝑓 = ∅)
7	5, 6	sylibr 134	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → dom 𝑓 = ∅)
8	2, 7	eqtr3d 2269	. . . 4 ⊢ (𝑓:𝐴⟶∅ → 𝐴 = ∅)
9	1, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑓 ∈ (∅ ↑𝑚 𝐴) → 𝐴 = ∅)
10	9	necon3ai 2463	. 2 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → ¬ 𝑓 ∈ (∅ ↑𝑚 𝐴))
11	10	eq0rdv 3557	1 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ → (∅ ↑𝑚 𝐴) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205   ≠ wne 2414   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  dom cdm 4754  ran crn 4755  ⟶wf 5353  (class class class)co 6058   ↑_𝑚 cmap 6895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-map 6897

This theorem is referenced by:  map0g  6935