ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzdisj GIF version

Theorem fzdisj 9960
Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzdisj (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzdisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3291 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2 elfzel1 9933 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
32adantl 275 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
43zred 9291 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 elfzelz 9934 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
65zred 9291 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
76adantl 275 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 elfzel2 9932 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
98adantr 274 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
109zred 9291 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11 elfzle1 9935 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑥)
1211adantl 275 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑥)
13 elfzle2 9936 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥𝐾)
1413adantr 274 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝐾)
154, 7, 10, 12, 14letrd 8003 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐾)
164, 10lenltd 7997 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑀))
1715, 16mpbid 146 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
181, 17sylbi 120 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
1918con2i 617 . 2 (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)))
2019eq0rdv 3439 1 (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103   = wceq 1335  wcel 2128  cin 3101  c0 3395   class class class wbr 3967  (class class class)co 5826  cr 7733   < clt 7914  cle 7915  cz 9172  ...cfz 9918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-pre-ltwlin 7847
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-op 3570  df-uni 3775  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-neg 8053  df-z 9173  df-uz 9445  df-fz 9919
This theorem is referenced by:  fsumm1  11324  fsum1p  11326  mertenslemi1  11443  fprod1p  11507  fprodeq0  11525  strleund  12348  strleun  12349  cvgcmp2nlemabs  13674
  Copyright terms: Public domain W3C validator