Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzdisj GIF version

Theorem fzdisj 9783
 Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
fzdisj (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzdisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3227 . . . 4 (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2 elfzel1 9756 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
32adantl 273 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
43zred 9127 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
5 elfzelz 9757 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
65zred 9127 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
76adantl 273 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8 elfzel2 9755 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
98adantr 272 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
109zred 9127 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11 elfzle1 9758 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀𝑥)
1211adantl 273 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝑥)
13 elfzle2 9759 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥𝐾)
1413adantr 272 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥𝐾)
154, 7, 10, 12, 14letrd 7850 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀𝐾)
164, 10lenltd 7844 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑀))
1715, 16mpbid 146 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
181, 17sylbi 120 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
1918con2i 599 . 2 (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)))
2019eq0rdv 3375 1 (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ∩ cin 3038  ∅c0 3331   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  ℝcr 7583   < clt 7764   ≤ cle 7765  ℤcz 9008  ...cfz 9741 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-pre-ltwlin 7697 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-neg 7900  df-z 9009  df-uz 9279  df-fz 9742 This theorem is referenced by:  fsumm1  11136  fsum1p  11138  mertenslemi1  11255  strleund  11953  strleun  11954  cvgcmp2nlemabs  13061
 Copyright terms: Public domain W3C validator