Theorem fzdisj 10121

Description: Condition for two finite intervals of integers to be disjoint. (Contributed by Jeff Madsen, 17-Jun-2010.)

Assertion

Ref	Expression
fzdisj	⊢ (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Proof of Theorem fzdisj

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3343	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)))
2		elfzel1 10093	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
3	2	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	zred 9442	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
5		elfzelz 10094	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
6	5	zred 9442	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑥 ∈ ℝ)
7	6	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ ℝ)
8		elfzel2 10092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
9	8	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10	9	zred 9442	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐾 ∈ ℝ)
11		elfzle1 10096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑀 ≤ 𝑥)
12	11	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝑥)
13		elfzle2 10097	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) → 𝑥 ≤ 𝐾)
14	13	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ≤ 𝐾)
15	4, 7, 10, 12, 14	letrd 8145	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑀 ≤ 𝐾)
16	4, 10	lenltd 8139	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝑀 ≤ 𝐾 ↔ ¬ 𝐾 < 𝑀))
17	15, 16	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐽...𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
18	1, 17	sylbi 121	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) → ¬ 𝐾 < 𝑀)
19	18	con2i 628	. 2 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → ¬ 𝑥 ∈ ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)))
20	19	eq0rdv 3492	1 ⊢ (𝐾 < 𝑀 → ((𝐽...𝐾) ∩ (𝑀...𝑁)) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ∩ cin 3153  ∅c0 3447   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℝcr 7873   < clt 8056   ≤ cle 8057  ℤcz 9320  ...cfz 10077

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-pre-ltwlin 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-neg 8195  df-z 9321  df-uz 9596  df-fz 10078

This theorem is referenced by:  fsumm1  11562  fsum1p  11564  mertenslemi1  11681  fprod1p  11745  fprodeq0  11763  strleund  12724  strleun  12725  gausslemma2dlem4  15221  gausslemma2dlem6  15224  lgsquadlem2  15235  cvgcmp2nlemabs  15592