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Theorem nninfsellemsuc 11550
Description: Lemma for nninfself 11551. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)
Assertion
Ref Expression
nninfsellemsuc ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝐽(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemsuc
StepHypRef Expression
1 peano2 4400 . . . . 5 (𝐽 ∈ ω → suc 𝐽 ∈ ω)
2 nninfsellemcl 11549 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ suc 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ∈ 2𝑜)
3 el2oss1o 11533 . . . . . 6 (if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ∈ 2𝑜 → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜)
42, 3syl 14 . . . . 5 ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ suc 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜)
51, 4sylan2 280 . . . 4 ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜)
65adantr 270 . . 3 (((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ⊆ 1𝑜)
7 iftrue 3394 . . . 4 (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 → if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) = 1𝑜)
87adantl 271 . . 3 (((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) = 1𝑜)
96, 8sseqtr4d 3061 . 2 (((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅))
10 simpl 107 . . . . . . 7 ((∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) → ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
1110con3i 597 . . . . . 6 (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 → ¬ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
12 df-suc 4189 . . . . . . . 8 suc suc 𝐽 = (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})
1312raleqi 2566 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
14 ralunb 3179 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
1513, 14bitri 182 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
1611, 15sylnibr 637 . . . . 5 (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 → ¬ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
1716iffalsed 3399 . . . 4 (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) = ∅)
18 0ss 3318 . . . 4 ∅ ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅)
1917, 18syl6eqss 3074 . . 3 (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅))
2019adantl 271 . 2 (((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅))
21 nninfsellemdc 11548 . . 3 ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝐽 ∈ ω) → DECID𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜)
22 exmiddc 782 . . 3 (DECID𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 → (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ∨ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
2321, 22syl 14 . 2 ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝐽 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜 ∨ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜))
249, 20, 23mpjaodan 747 1 ((𝑄 ∈ (2𝑜𝑚) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖𝑘, 1𝑜, ∅))) = 1𝑜, 1𝑜, ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wo 664  DECID wdc 780   = wceq 1289  wcel 1438  wral 2359  cun 2995  wss 2997  c0 3284  ifcif 3389  {csn 3441  cmpt 3891  suc csuc 4183  ωcom 4395  cfv 5002  (class class class)co 5634  1𝑜c1o 6156  2𝑜c2o 6157  𝑚 cmap 6385  xnninf 6768
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1o 6163  df-2o 6164  df-map 6387  df-nninf 6770
This theorem is referenced by:  nninfself  11551
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