Theorem nninfsellemsuc 16916

Description: Lemma for nninfself 16917. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemsuc	⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝐽(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4722	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ω → suc 𝐽 ∈ ω)
2		nninfsellemcl 16915	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ suc 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ∈ 2o)
3		el2oss1o 6689	. . . . . 6 ⊢ (if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ∈ 2o → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ suc 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
5	1, 4	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
7		iftrue 3631	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = 1o)
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = 1o)
9	6, 8	sseqtrrd 3281	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
10		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
11	10	con3i 637	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ¬ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
12		df-suc 4497	. . . . . . . 8 ⊢ suc suc 𝐽 = (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})
13	12	raleqi 2747	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
14		ralunb 3404	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
15	13, 14	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
16	11, 15	sylnibr 684	. . . . 5 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ¬ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
17	16	iffalsed 3636	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = ∅)
18		0ss 3551	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
19	17, 18	eqsstrdi 3294	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
20	19	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
21		nninfsellemdc 16914	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
22		exmiddc 844	. . 3 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∨ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
23	21, 22	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∨ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
24	9, 20, 23	mpjaodan 806	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  ifcif 3624  {csn 3694   ↦ cmpt 4176  suc csuc 4491  ωcom 4717  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654   ↑_𝑚 cmap 6895  ℕ_∞xnninf 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1o 6660  df-2o 6661  df-map 6897  df-nninf 7424

This theorem is referenced by:  nninfself  16917