Theorem nninfsellemsuc 17261

Description: Lemma for nninfself 17262. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemsuc	⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝐽(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4744	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ω → suc 𝐽 ∈ ω)
2		nninfsellemcl 17260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ suc 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ∈ 2o)
3		el2oss1o 6720	. . . . . 6 ⊢ (if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ∈ 2o → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ suc 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
5	1, 4	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
7		iftrue 3645	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = 1o)
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = 1o)
9	6, 8	sseqtrrd 3287	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
10		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
11	10	con3i 641	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ¬ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
12		df-suc 4518	. . . . . . . 8 ⊢ suc suc 𝐽 = (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})
13	12	raleqi 2753	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
14		ralunb 3410	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
15	13, 14	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
16	11, 15	sylnibr 688	. . . . 5 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ¬ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
17	16	iffalsed 3650	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = ∅)
18		0ss 3561	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
19	17, 18	eqsstrdi 3300	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
20	19	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
21		nninfsellemdc 17259	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
22		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∨ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
23	21, 22	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∨ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
24	9, 20, 23	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638  {csn 3709   ↦ cmpt 4193  suc csuc 4512  ωcom 4739  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  1_oc1o 6684  2_oc2o 6685   ↑_𝑚 cmap 6926  ℕ_∞xnninf 7465

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1o 6691  df-2o 6692  df-map 6928  df-nninf 7466

This theorem is used by:  nninfself  17262