Theorem nninfsellemsuc 16960

Description: Lemma for nninfself 16961. (Contributed by Jim Kingdon, 6-Aug-2022.)

Assertion

Ref	Expression
nninfsellemsuc	⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐽   𝑄,𝑘   𝑖,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑄(𝑖)   𝐽(𝑖)

Proof of Theorem nninfsellemsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2 4737	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ ω → suc 𝐽 ∈ ω)
2		nninfsellemcl 16959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ suc 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ∈ 2o)
3		el2oss1o 6706	. . . . . 6 ⊢ (if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ∈ 2o → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
4	2, 3	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ suc 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
5	1, 4	sylan2 286	. . . 4 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
6	5	adantr 276	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ 1o)
7		iftrue 3642	. . . 4 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = 1o)
8	7	adantl 277	. . 3 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = 1o)
9	6, 8	sseqtrrd 3287	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
10		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
11	10	con3i 641	. . . . . 6 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ¬ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
12		df-suc 4511	. . . . . . . 8 ⊢ suc suc 𝐽 = (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})
13	12	raleqi 2753	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ ∀𝑘 ∈ (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
14		ralunb 3410	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑘 ∈ (suc 𝐽 ∪ {suc 𝐽})(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
15	13, 14	bitri 184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ↔ (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∧ ∀𝑘 ∈ {suc 𝐽} (𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
16	11, 15	sylnibr 688	. . . . 5 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → ¬ ∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
17	16	iffalsed 3647	. . . 4 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) = ∅)
18		0ss 3561	. . . 4 ⊢ ∅ ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅)
19	17, 18	eqsstrdi 3300	. . 3 ⊢ (¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
20	19	adantl 277	. 2 ⊢ (((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) ∧ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))
21		nninfsellemdc 16958	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o)
22		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o → (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∨ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
23	21, 22	syl 14	. 2 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → (∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o ∨ ¬ ∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o))
24	9, 20, 23	mpjaodan 810	1 ⊢ ((𝑄 ∈ (2o ↑𝑚 ℕ∞) ∧ 𝐽 ∈ ω) → if(∀𝑘 ∈ suc suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅) ⊆ if(∀𝑘 ∈ suc 𝐽(𝑄‘(𝑖 ∈ ω ↦ if(𝑖 ∈ 𝑘, 1o, ∅))) = 1o, 1o, ∅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3635  {csn 3705   ↦ cmpt 4187  suc csuc 4505  ωcom 4732  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  1_oc1o 6670  2_oc2o 6671   ↑_𝑚 cmap 6912  ℕ_∞xnninf 7449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1o 6677  df-2o 6678  df-map 6914  df-nninf 7450

This theorem is referenced by:  nninfself  16961