Theorem ennnfonelemkh 12416

Description: Lemma for ennnfone 12429. Because we add zero or one entries for each new index, the length of each sequence is no greater than its index. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemkh.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemkh	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻,𝑥,𝑦   𝑗,𝐽   𝑗,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemkh

Dummy variables 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemkh.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		fveq2 5517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘0))
3	2	dmeqd 4831	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘0))
4		fveq2 5517	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘0))
5	3, 4	sseq12d 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0)))
6	5	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0))))
7		fveq2 5517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑚))
8	7	dmeqd 4831	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘𝑚))
9		fveq2 5517	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘𝑚))
10	8, 9	sseq12d 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)))
11	10	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))))
12		fveq2 5517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘(𝑚 + 1)))
13	12	dmeqd 4831	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘(𝑚 + 1)))
14		fveq2 5517	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
15	13, 14	sseq12d 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
16	15	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
17		fveq2 5517	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑃))
18	17	dmeqd 4831	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘𝑃))
19		fveq2 5517	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘𝑃))
20	18, 19	sseq12d 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
21	20	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))))
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
23		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
24		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
25		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
26		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
27		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
28		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
29	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	ennnfonelem0 12409	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
30	29	dmeqd 4831	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
31		dm0 4843	. . . . . . 7 ⊢ dom ∅ = ∅
32	30, 31	eqtrdi 2226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = ∅)
33		0ss 3463	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (◡𝑁‘0)
34	32, 33	eqsstrdi 3209	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0))
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0)))
36	26	frechashgf1o 10431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
37		f1of 5463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝑁:ω⟶ℕ0)
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑁:ω⟶ℕ0)
39	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
40	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
41	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
42		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
43		nn0uz 9565	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
44	42, 43	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
45		peano2nn0 9219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
47	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 46	ennnfonelemom 12412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
49	38, 48	ffvelcdmd 5655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ∈ ℕ0)
50	49	nn0red 9233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
51	44	nn0red 9233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
53		peano2re 8096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
55	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemp1 12410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
57		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
58	57	iftrued 3543	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})) = (𝐻‘𝑚))
59	56, 58	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (𝐻‘𝑚))
60	59	dmeqd 4831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = dom (𝐻‘𝑚))
61	60	fveq2d 5521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) = (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)))
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))
63		0zd 9268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 0 ∈ ℤ)
64	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemom 12412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘𝑚) ∈ ω)
65		f1ocnv 5476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω)
66	36, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω
67		f1of 5463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
68	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
69		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℕ0)
70	68, 69	ffvelcdmd 5655	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
71	44, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
72	63, 26, 64, 71	frec2uzled 10432	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚))))
73	62, 72	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)))
74		f1ocnvfv2 5782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
75	36, 44, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
76	73, 75	breqtrd 4031	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ 𝑚)
77	76	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ 𝑚)
78	61, 77	eqbrtrd 4027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ 𝑚)
79	52	lep1d 8891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
80	50, 52, 54, 78, 79	letrd 8084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑚 + 1))
81		f1ocnvfv2 5782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
82	36, 46, 81	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
84	80, 83	breqtrrd 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
85	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
86	85, 46	ffvelcdmd 5655	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
87	63, 26, 47, 86	frec2uzled 10432	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
88	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
89	84, 88	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
90	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
92	91	iffalsed 3546	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})) = ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
93	90, 92	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
94	93	dmeqd 4831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = dom ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
95		dmun 4836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})
96	94, 95	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
97		fof 5440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
98	40, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝐹:ω⟶𝐴)
99	98, 71	ffvelcdmd 5655	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴)
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴)
101		dmsnopg 5102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩} = {dom (𝐻‘𝑚)})
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩} = {dom (𝐻‘𝑚)})
103	102	uneq2d 3291	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)}))
104	96, 103	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)}))
105		df-suc 4373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ suc dom (𝐻‘𝑚) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)})
106	104, 105	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑚))
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))
108	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
109		nnsucsssuc 6496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((dom (𝐻‘𝑚) ∈ ω ∧ (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚)))
110	64, 108, 109	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚)))
111	107, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚))
112	106, 111	eqsstrd 3193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚))
113		0zd 9268	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 0 ∈ ℤ)
114	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
115		peano2 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑁‘𝑚) ∈ ω → suc (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
116	108, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → suc (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
117	113, 26, 114, 116	frec2uzled 10432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚))))
118	112, 117	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)))
119	113, 26, 108	frec2uzsucd 10404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)) = ((𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) + 1))
120	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
121	120	oveq1d 5893	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → ((𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) + 1) = (𝑚 + 1))
122	119, 121	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)) = (𝑚 + 1))
123	118, 122	breqtrd 4031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑚 + 1))
124	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
125	123, 124	breqtrrd 4033	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
126	86	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
127	113, 26, 114, 126	frec2uzled 10432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
128	125, 127	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
129	39, 40, 71	ennnfonelemdc 12403	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
130		exmiddc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))))
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))))
132	89, 128, 131	mpjaodan 798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
133	132	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
134	133	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
135	134	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
136	6, 11, 16, 21, 35, 135	uzind4 9591	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
137	136, 43	eleq2s 2272	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
138	1, 137	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ∪ cun 3129   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424  ifcif 3536  {csn 3594  ⟨cop 3597   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  suc csuc 4367  ωcom 4591  ^◡ccnv 4627  dom cdm 4628   “ cima 4631  ⟶wf 5214  –onto→wfo 5216  –1-1-onto→wf1o 5217  ‘cfv 5218  (class class class)co 5878   ∈ cmpo 5880  freccfrec 6394   ↑_pm cpm 6652  ℝcr 7813  0cc0 7814  1c1 7815   + caddc 7817   ≤ cle 7996   − cmin 8131  ℕ₀cn0 9179  ℤcz 9256  ℤ_≥cuz 9531  seqcseq 10448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-ltadd 7930

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pm 6654  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-inn 8923  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-seqfrec 10449

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