Theorem ennnfonelemkh 13303

Description: Lemma for ennnfone 13316. Because we add zero or one entries for each new index, the length of each sequence is no greater than its index. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemkh.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemkh	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻,𝑥,𝑦   𝑗,𝐽   𝑗,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘, 𝑛)   𝐴(𝑘, 𝑛)   𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑗, 𝑘, 𝑛)   𝐹(𝑗, 𝑘, 𝑛)   𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑘, 𝑛)   𝐻(𝑘, 𝑛)   𝐽(𝑥, 𝑦, 𝑘, 𝑛)   𝑁(𝑘, 𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemkh

Dummy variables 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemkh.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘0))
3	2	dmeqd 4983	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘0))
4		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘0))
5	3, 4	sseq12d 3279	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0)))
6	5	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0))))
7		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑚))
8	7	dmeqd 4983	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘𝑚))
9		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘𝑚))
10	8, 9	sseq12d 3279	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)))
11	10	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))))
12		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘(𝑚 + 1)))
13	12	dmeqd 4983	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘(𝑚 + 1)))
14		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
15	13, 14	sseq12d 3279	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
16	15	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
17		fveq2 5695	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑃))
18	17	dmeqd 4983	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘𝑃))
19		fveq2 5695	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘𝑃))
20	18, 19	sseq12d 3279	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
21	20	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))))
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
23		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
24		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
25		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
26		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
27		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
28		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
29	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	ennnfonelem0 13296	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
30	29	dmeqd 4983	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
31		dm0 4995	. . . . . . 7 ⊢ dom ∅ = ∅
32	30, 31	eqtrdi 2287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = ∅)
33		0ss 3561	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (◡𝑁‘0)
34	32, 33	eqsstrdi 3300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0))
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0)))
36	26	frechashgf1o 10865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
37		f1of 5639	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝑁:ω⟶ℕ0)
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑁:ω⟶ℕ0)
39	22	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
40	23	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
41	24	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
42		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
43		nn0uz 9957	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
44	42, 43	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
45		peano2nn0 9603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
47	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 46	ennnfonelemom 13299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
49	38, 48	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ∈ ℕ0)
50	49	nn0red 9621	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
51	44	nn0red 9621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
53		peano2re 8462	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
55	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemp1 13297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
57		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
58	57	iftrued 3647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})) = (𝐻‘𝑚))
59	56, 58	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (𝐻‘𝑚))
60	59	dmeqd 4983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = dom (𝐻‘𝑚))
61	60	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) = (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)))
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))
63		0zd 9656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 0 ∈ ℤ)
64	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemom 13299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘𝑚) ∈ ω)
65		f1ocnv 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω)
66	36, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω
67		f1of 5639	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
68	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
69		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℕ0)
70	68, 69	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
71	44, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
72	63, 26, 64, 71	frec2uzled 10866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚))))
73	62, 72	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)))
74		f1ocnvfv2 5984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
75	36, 44, 74	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
76	73, 75	breqtrd 4156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ 𝑚)
77	76	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ 𝑚)
78	61, 77	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ 𝑚)
79	52	lep1d 9261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
80	50, 52, 54, 78, 79	letrd 8450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑚 + 1))
81		f1ocnvfv2 5984	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
82	36, 46, 81	sylancr 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
84	80, 83	breqtrrd 4158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
85	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
86	85, 46	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
87	63, 26, 47, 86	frec2uzled 10866	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
88	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
89	84, 88	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
90	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
92	91	iffalsed 3650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})) = ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
93	90, 92	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
94	93	dmeqd 4983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = dom ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
95		dmun 4988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})
96	94, 95	eqtrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
97		fof 5615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
98	40, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝐹:ω⟶𝐴)
99	98, 71	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴)
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴)
101		dmsnopg 5259	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩} = {dom (𝐻‘𝑚)})
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩} = {dom (𝐻‘𝑚)})
103	102	uneq2d 3383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)}))
104	96, 103	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)}))
105		df-suc 4516	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ suc dom (𝐻‘𝑚) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)})
106	104, 105	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑚))
107		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))
108	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
109		nnsucsssuc 6765	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((dom (𝐻‘𝑚) ∈ ω ∧ (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚)))
110	64, 108, 109	syl2an2r 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚)))
111	107, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚))
112	106, 111	eqsstrd 3284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚))
113		0zd 9656	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 0 ∈ ℤ)
114	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
115		peano2 4742	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑁‘𝑚) ∈ ω → suc (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
116	108, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → suc (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
117	113, 26, 114, 116	frec2uzled 10866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚))))
118	112, 117	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)))
119	113, 26, 108	frec2uzsucd 10838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)) = ((𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) + 1))
120	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
121	120	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → ((𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) + 1) = (𝑚 + 1))
122	119, 121	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)) = (𝑚 + 1))
123	118, 122	breqtrd 4156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑚 + 1))
124	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
125	123, 124	breqtrrd 4158	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
126	86	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
127	113, 26, 114, 126	frec2uzled 10866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
128	125, 127	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
129	39, 40, 71	ennnfonelemdc 13290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
130		exmiddc 848	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))))
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))))
132	89, 128, 131	mpjaodan 810	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
133	132	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
134	133	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
135	134	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
136	6, 11, 16, 21, 35, 135	uzind4 9988	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
137	136, 43	eleq2s 2333	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
138	1, 137	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  ∅c0 3520  ifcif 3638  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192  suc csuc 4510  ωcom 4737  ^◡ccnv 4773  dom cdm 4774   “ cima 4777  ⟶wf 5373  –onto→wfo 5375  –1-1-onto→wf1o 5376  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085   ∈ cmpo 6087  freccfrec 6661   ↑_pm cpm 6923  ℝcr 8178  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   ≤ cle 8361   − cmin 8497  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pm 6925  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885

This theorem is used by: (None)