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Theorem ennnfonelemkh 12415
Description: Lemma for ennnfone 12428. Because we add zero or one entries for each new index, the length of each sequence is no greater than its index. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 DECID π‘₯ = 𝑦)
ennnfonelemh.f (πœ‘ β†’ 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ βˆ€π‘— ∈ suc 𝑛(πΉβ€˜π‘˜) β‰  (πΉβ€˜π‘—))
ennnfonelemh.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑pm Ο‰), 𝑦 ∈ Ο‰ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑦), π‘₯, (π‘₯ βˆͺ {⟨dom π‘₯, (πΉβ€˜π‘¦)⟩})))
ennnfonelemh.n 𝑁 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
ennnfonelemh.j 𝐽 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, βˆ…, (β—‘π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 1))))
ennnfonelemh.h 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemkh.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
Assertion
Ref Expression
ennnfonelemkh (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘ƒ) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘ƒ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘₯,𝑦   π‘₯,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻,π‘₯,𝑦   𝑗,𝐽   𝑗,𝑁,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑗,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜,𝑛)   𝐴(π‘˜,𝑛)   𝑃(π‘₯,𝑦,𝑗,π‘˜,𝑛)   𝐹(𝑗,π‘˜,𝑛)   𝐺(π‘₯,𝑦,π‘˜,𝑛)   𝐻(π‘˜,𝑛)   𝐽(π‘₯,𝑦,π‘˜,𝑛)   𝑁(π‘˜,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemkh
Dummy variables π‘š 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfonelemkh.p . 2 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
2 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = 0 β†’ (π»β€˜π‘€) = (π»β€˜0))
32dmeqd 4831 . . . . . 6 (𝑀 = 0 β†’ dom (π»β€˜π‘€) = dom (π»β€˜0))
4 fveq2 5517 . . . . . 6 (𝑀 = 0 β†’ (β—‘π‘β€˜π‘€) = (β—‘π‘β€˜0))
53, 4sseq12d 3188 . . . . 5 (𝑀 = 0 β†’ (dom (π»β€˜π‘€) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘€) ↔ dom (π»β€˜0) βŠ† (β—‘π‘β€˜0)))
65imbi2d 230 . . . 4 (𝑀 = 0 β†’ ((πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘€) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜0) βŠ† (β—‘π‘β€˜0))))
7 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = π‘š β†’ (π»β€˜π‘€) = (π»β€˜π‘š))
87dmeqd 4831 . . . . . 6 (𝑀 = π‘š β†’ dom (π»β€˜π‘€) = dom (π»β€˜π‘š))
9 fveq2 5517 . . . . . 6 (𝑀 = π‘š β†’ (β—‘π‘β€˜π‘€) = (β—‘π‘β€˜π‘š))
108, 9sseq12d 3188 . . . . 5 (𝑀 = π‘š β†’ (dom (π»β€˜π‘€) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘€) ↔ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)))
1110imbi2d 230 . . . 4 (𝑀 = π‘š β†’ ((πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘€) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š))))
12 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = (π‘š + 1) β†’ (π»β€˜π‘€) = (π»β€˜(π‘š + 1)))
1312dmeqd 4831 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘š + 1) β†’ dom (π»β€˜π‘€) = dom (π»β€˜(π‘š + 1)))
14 fveq2 5517 . . . . . 6 (𝑀 = (π‘š + 1) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘€) = (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)))
1513, 14sseq12d 3188 . . . . 5 (𝑀 = (π‘š + 1) β†’ (dom (π»β€˜π‘€) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘€) ↔ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1))))
1615imbi2d 230 . . . 4 (𝑀 = (π‘š + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘€) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)))))
17 fveq2 5517 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑃 β†’ (π»β€˜π‘€) = (π»β€˜π‘ƒ))
1817dmeqd 4831 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑃 β†’ dom (π»β€˜π‘€) = dom (π»β€˜π‘ƒ))
19 fveq2 5517 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑃 β†’ (β—‘π‘β€˜π‘€) = (β—‘π‘β€˜π‘ƒ))
2018, 19sseq12d 3188 . . . . 5 (𝑀 = 𝑃 β†’ (dom (π»β€˜π‘€) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘€) ↔ dom (π»β€˜π‘ƒ) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘ƒ)))
2120imbi2d 230 . . . 4 (𝑀 = 𝑃 β†’ ((πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘€) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘€)) ↔ (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘ƒ) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘ƒ))))
22 ennnfonelemh.dceq . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 DECID π‘₯ = 𝑦)
23 ennnfonelemh.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹:ω–onto→𝐴)
24 ennnfonelemh.ne . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ βˆ€π‘— ∈ suc 𝑛(πΉβ€˜π‘˜) β‰  (πΉβ€˜π‘—))
25 ennnfonelemh.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑pm Ο‰), 𝑦 ∈ Ο‰ ↦ if((πΉβ€˜π‘¦) ∈ (𝐹 β€œ 𝑦), π‘₯, (π‘₯ βˆͺ {⟨dom π‘₯, (πΉβ€˜π‘¦)⟩})))
26 ennnfonelemh.n . . . . . . . . 9 𝑁 = frec((π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ + 1)), 0)
27 ennnfonelemh.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ if(π‘₯ = 0, βˆ…, (β—‘π‘β€˜(π‘₯ βˆ’ 1))))
28 ennnfonelemh.h . . . . . . . . 9 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
2922, 23, 24, 25, 26, 27, 28ennnfonelem0 12408 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π»β€˜0) = βˆ…)
3029dmeqd 4831 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜0) = dom βˆ…)
31 dm0 4843 . . . . . . 7 dom βˆ… = βˆ…
3230, 31eqtrdi 2226 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜0) = βˆ…)
33 0ss 3463 . . . . . 6 βˆ… βŠ† (β—‘π‘β€˜0)
3432, 33eqsstrdi 3209 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜0) βŠ† (β—‘π‘β€˜0))
3534a1i 9 . . . 4 (0 ∈ β„€ β†’ (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜0) βŠ† (β—‘π‘β€˜0)))
3626frechashgf1o 10430 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0
37 f1of 5463 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ 𝑁:Ο‰βŸΆβ„•0)
3836, 37mp1i 10 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ 𝑁:Ο‰βŸΆβ„•0)
3922ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 DECID π‘₯ = 𝑦)
4023ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ 𝐹:ω–onto→𝐴)
4124ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ βˆ€π‘› ∈ Ο‰ βˆƒπ‘˜ ∈ Ο‰ βˆ€π‘— ∈ suc 𝑛(πΉβ€˜π‘˜) β‰  (πΉβ€˜π‘—))
42 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
43 nn0uz 9564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
4442, 43eleqtrrdi 2271 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ π‘š ∈ β„•0)
45 peano2nn0 9218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•0)
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•0)
4739, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 46ennnfonelemom 12411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) ∈ Ο‰)
4847adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) ∈ Ο‰)
4938, 48ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ∈ β„•0)
5049nn0red 9232 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ∈ ℝ)
5144nn0red 9232 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ π‘š ∈ ℝ)
5251adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ π‘š ∈ ℝ)
53 peano2re 8095 . . . . . . . . . . . 12 (π‘š ∈ ℝ β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
5452, 53syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ)
5539, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44ennnfonelemp1 12409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (π»β€˜(π‘š + 1)) = if((πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)), (π»β€˜π‘š), ((π»β€˜π‘š) βˆͺ {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩})))
5655adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π»β€˜(π‘š + 1)) = if((πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)), (π»β€˜π‘š), ((π»β€˜π‘š) βˆͺ {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩})))
57 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)))
5857iftrued 3543 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ if((πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)), (π»β€˜π‘š), ((π»β€˜π‘š) βˆͺ {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩})) = (π»β€˜π‘š))
5956, 58eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π»β€˜(π‘š + 1)) = (π»β€˜π‘š))
6059dmeqd 4831 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) = dom (π»β€˜π‘š))
6160fveq2d 5521 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) = (π‘β€˜dom (π»β€˜π‘š)))
62 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š))
63 0zd 9267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ 0 ∈ β„€)
6439, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44ennnfonelemom 12411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ dom (π»β€˜π‘š) ∈ Ο‰)
65 f1ocnv 5476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 β†’ ◑𝑁:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰)
6636, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ◑𝑁:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰
67 f1of 5463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (◑𝑁:β„•0–1-1-ontoβ†’Ο‰ β†’ ◑𝑁:β„•0βŸΆΟ‰)
6866, 67mp1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ β„•0 β†’ ◑𝑁:β„•0βŸΆΟ‰)
69 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘š ∈ β„•0 β†’ π‘š ∈ β„•0)
7068, 69ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š ∈ β„•0 β†’ (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰)
7144, 70syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰)
7263, 26, 64, 71frec2uzled 10431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š) ↔ (π‘β€˜dom (π»β€˜π‘š)) ≀ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))))
7362, 72mpbid 147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜π‘š)) ≀ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)))
74 f1ocnvfv2 5781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) = π‘š)
7536, 44, 74sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) = π‘š)
7673, 75breqtrd 4031 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜π‘š)) ≀ π‘š)
7776adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜π‘š)) ≀ π‘š)
7861, 77eqbrtrd 4027 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ≀ π‘š)
7952lep1d 8890 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ π‘š ≀ (π‘š + 1))
8050, 52, 54, 78, 79letrd 8083 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ≀ (π‘š + 1))
81 f1ocnvfv2 5781 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁:ω–1-1-ontoβ†’β„•0 ∧ (π‘š + 1) ∈ β„•0) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜(π‘š + 1))) = (π‘š + 1))
8236, 46, 81sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜(π‘š + 1))) = (π‘š + 1))
8382adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜(π‘š + 1))) = (π‘š + 1))
8480, 83breqtrrd 4033 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ≀ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜(π‘š + 1))))
8566, 67mp1i 10 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ ◑𝑁:β„•0βŸΆΟ‰)
8685, 46ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)) ∈ Ο‰)
8763, 26, 47, 86frec2uzled 10431 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)) ↔ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ≀ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)))))
8887adantr 276 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)) ↔ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ≀ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)))))
8984, 88mpbird 167 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)))
9055adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π»β€˜(π‘š + 1)) = if((πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)), (π»β€˜π‘š), ((π»β€˜π‘š) βˆͺ {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩})))
91 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)))
9291iffalsed 3546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ if((πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)), (π»β€˜π‘š), ((π»β€˜π‘š) βˆͺ {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩})) = ((π»β€˜π‘š) βˆͺ {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩}))
9390, 92eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π»β€˜(π‘š + 1)) = ((π»β€˜π‘š) βˆͺ {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩}))
9493dmeqd 4831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) = dom ((π»β€˜π‘š) βˆͺ {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩}))
95 dmun 4836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 dom ((π»β€˜π‘š) βˆͺ {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩}) = (dom (π»β€˜π‘š) βˆͺ dom {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩})
9694, 95eqtrdi 2226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) = (dom (π»β€˜π‘š) βˆͺ dom {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩}))
97 fof 5440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹:ω–onto→𝐴 β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ΄)
9840, 97syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ 𝐹:Ο‰βŸΆπ΄)
9998, 71ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ 𝐴)
10099adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ 𝐴)
101 dmsnopg 5102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ 𝐴 β†’ dom {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩} = {dom (π»β€˜π‘š)})
102100, 101syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩} = {dom (π»β€˜π‘š)})
103102uneq2d 3291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (dom (π»β€˜π‘š) βˆͺ dom {⟨dom (π»β€˜π‘š), (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š))⟩}) = (dom (π»β€˜π‘š) βˆͺ {dom (π»β€˜π‘š)}))
10496, 103eqtrd 2210 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) = (dom (π»β€˜π‘š) βˆͺ {dom (π»β€˜π‘š)}))
105 df-suc 4373 . . . . . . . . . . . . . 14 suc dom (π»β€˜π‘š) = (dom (π»β€˜π‘š) βˆͺ {dom (π»β€˜π‘š)})
106104, 105eqtr4di 2228 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) = suc dom (π»β€˜π‘š))
107 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š))
10871adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰)
109 nnsucsssuc 6495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((dom (π»β€˜π‘š) ∈ Ο‰ ∧ (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰) β†’ (dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š) ↔ suc dom (π»β€˜π‘š) βŠ† suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
11064, 108, 109syl2an2r 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š) ↔ suc dom (π»β€˜π‘š) βŠ† suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
111107, 110mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ suc dom (π»β€˜π‘š) βŠ† suc (β—‘π‘β€˜π‘š))
112106, 111eqsstrd 3193 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† suc (β—‘π‘β€˜π‘š))
113 0zd 9267 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ 0 ∈ β„€)
11447adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) ∈ Ο‰)
115 peano2 4596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰ β†’ suc (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰)
116108, 115syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ suc (β—‘π‘β€˜π‘š) ∈ Ο‰)
117113, 26, 114, 116frec2uzled 10431 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† suc (β—‘π‘β€˜π‘š) ↔ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ≀ (π‘β€˜suc (β—‘π‘β€˜π‘š))))
118112, 117mpbid 147 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ≀ (π‘β€˜suc (β—‘π‘β€˜π‘š)))
119113, 26, 108frec2uzsucd 10403 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜suc (β—‘π‘β€˜π‘š)) = ((π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) + 1))
12075adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) = π‘š)
121120oveq1d 5892 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ ((π‘β€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) + 1) = (π‘š + 1))
122119, 121eqtrd 2210 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜suc (β—‘π‘β€˜π‘š)) = (π‘š + 1))
123118, 122breqtrd 4031 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ≀ (π‘š + 1))
12482adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜(π‘š + 1))) = (π‘š + 1))
125123, 124breqtrrd 4033 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ≀ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜(π‘š + 1))))
12686adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)) ∈ Ο‰)
127113, 26, 114, 126frec2uzled 10431 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ (dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)) ↔ (π‘β€˜dom (π»β€˜(π‘š + 1))) ≀ (π‘β€˜(β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)))))
128125, 127mpbird 167 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∧ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)))
12939, 40, 71ennnfonelemdc 12402 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ DECID (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)))
130 exmiddc 836 . . . . . . . . 9 (DECID (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∨ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))))
131129, 130syl 14 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ ((πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š)) ∨ Β¬ (πΉβ€˜(β—‘π‘β€˜π‘š)) ∈ (𝐹 β€œ (β—‘π‘β€˜π‘š))))
13289, 128, 131mpjaodan 798 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) ∧ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)))
133132ex 115 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0)) β†’ (dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1))))
134133expcom 116 . . . . 5 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (πœ‘ β†’ (dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š) β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)))))
135134a2d 26 . . . 4 (π‘š ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ ((πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘š) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘š)) β†’ (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜(π‘š + 1)) βŠ† (β—‘π‘β€˜(π‘š + 1)))))
1366, 11, 16, 21, 35, 135uzind4 9590 . . 3 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘ƒ) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘ƒ)))
137136, 43eleq2s 2272 . 2 (𝑃 ∈ β„•0 β†’ (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘ƒ) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘ƒ)))
1381, 137mpcom 36 1 (πœ‘ β†’ dom (π»β€˜π‘ƒ) βŠ† (β—‘π‘β€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   β‰  wne 2347  βˆ€wral 2455  βˆƒwrex 2456   βˆͺ cun 3129   βŠ† wss 3131  βˆ…c0 3424  ifcif 3536  {csn 3594  βŸ¨cop 3597   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  suc csuc 4367  Ο‰com 4591  β—‘ccnv 4627  dom cdm 4628   β€œ cima 4631  βŸΆwf 5214  β€“ontoβ†’wfo 5216  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 5217  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   ∈ cmpo 5879  freccfrec 6393   ↑pm cpm 6651  β„cr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   ≀ cle 7995   βˆ’ cmin 8130  β„•0cn0 9178  β„€cz 9255  β„€β‰₯cuz 9530  seqcseq 10447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pm 6653  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-seqfrec 10448
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