Theorem ennnfonelemkh 11770

Description: Lemma for ennnfone 11783. Because we add zero or one entries for each new index, the length of each sequence is no greater than its index. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemkh.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemkh	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻,𝑥,𝑦   𝑗,𝐽   𝑗,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemkh

Dummy variables 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemkh.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		fveq2 5375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘0))
3	2	dmeqd 4701	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘0))
4		fveq2 5375	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘0))
5	3, 4	sseq12d 3094	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0)))
6	5	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0))))
7		fveq2 5375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑚))
8	7	dmeqd 4701	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘𝑚))
9		fveq2 5375	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘𝑚))
10	8, 9	sseq12d 3094	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)))
11	10	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))))
12		fveq2 5375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘(𝑚 + 1)))
13	12	dmeqd 4701	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘(𝑚 + 1)))
14		fveq2 5375	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
15	13, 14	sseq12d 3094	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
16	15	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
17		fveq2 5375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑃))
18	17	dmeqd 4701	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘𝑃))
19		fveq2 5375	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘𝑃))
20	18, 19	sseq12d 3094	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
21	20	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))))
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
23		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
24		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
25		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
26		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
27		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
28		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
29	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	ennnfonelem0 11763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
30	29	dmeqd 4701	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
31		dm0 4713	. . . . . . 7 ⊢ dom ∅ = ∅
32	30, 31	syl6eq 2163	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = ∅)
33		0ss 3367	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (◡𝑁‘0)
34	32, 33	syl6eqss 3115	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0))
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0)))
36	26	frechashgf1o 10094	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
37		f1of 5323	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝑁:ω⟶ℕ0)
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑁:ω⟶ℕ0)
39	22	ad2antrr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
40	23	ad2antrr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
41	24	ad2antrr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
42		simplr 502	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
43		nn0uz 9262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
44	42, 43	syl6eleqr 2208	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
45		peano2nn0 8921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
47	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 46	ennnfonelemom 11766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
48	47	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
49	38, 48	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ∈ ℕ0)
50	49	nn0red 8935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
51	44	nn0red 8935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52	51	adantr 272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
53		peano2re 7821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
55	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemp1 11764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
56	55	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
57		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
58	57	iftrued 3447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})) = (𝐻‘𝑚))
59	56, 58	eqtrd 2147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (𝐻‘𝑚))
60	59	dmeqd 4701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = dom (𝐻‘𝑚))
61	60	fveq2d 5379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) = (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)))
62		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))
63		0zd 8970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 0 ∈ ℤ)
64	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemom 11766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘𝑚) ∈ ω)
65		f1ocnv 5336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω)
66	36, 65	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω
67		f1of 5323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
68	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
69		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℕ0)
70	68, 69	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
71	44, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
72	63, 26, 64, 71	frec2uzled 10095	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚))))
73	62, 72	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)))
74		f1ocnvfv2 5633	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
75	36, 44, 74	sylancr 408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
76	73, 75	breqtrd 3919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ 𝑚)
77	76	adantr 272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ 𝑚)
78	61, 77	eqbrtrd 3915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ 𝑚)
79	52	lep1d 8599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
80	50, 52, 54, 78, 79	letrd 7809	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑚 + 1))
81		f1ocnvfv2 5633	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
82	36, 46, 81	sylancr 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
83	82	adantr 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
84	80, 83	breqtrrd 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
85	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
86	85, 46	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
87	63, 26, 47, 86	frec2uzled 10095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
88	87	adantr 272	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
89	84, 88	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
90	55	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
91		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
92	91	iffalsed 3450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})) = ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
93	90, 92	eqtrd 2147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
94	93	dmeqd 4701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = dom ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
95		dmun 4706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})
96	94, 95	syl6eq 2163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
97		fof 5303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
98	40, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝐹:ω⟶𝐴)
99	98, 71	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴)
100	99	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴)
101		dmsnopg 4968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩} = {dom (𝐻‘𝑚)})
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩} = {dom (𝐻‘𝑚)})
103	102	uneq2d 3196	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)}))
104	96, 103	eqtrd 2147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)}))
105		df-suc 4253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ suc dom (𝐻‘𝑚) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)})
106	104, 105	syl6eqr 2165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑚))
107		simplr 502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))
108	71	adantr 272	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
109		nnsucsssuc 6342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((dom (𝐻‘𝑚) ∈ ω ∧ (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚)))
110	64, 108, 109	syl2an2r 567	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚)))
111	107, 110	mpbid 146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚))
112	106, 111	eqsstrd 3099	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚))
113		0zd 8970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 0 ∈ ℤ)
114	47	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
115		peano2 4469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑁‘𝑚) ∈ ω → suc (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
116	108, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → suc (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
117	113, 26, 114, 116	frec2uzled 10095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚))))
118	112, 117	mpbid 146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)))
119	113, 26, 108	frec2uzsucd 10067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)) = ((𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) + 1))
120	75	adantr 272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
121	120	oveq1d 5743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → ((𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) + 1) = (𝑚 + 1))
122	119, 121	eqtrd 2147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)) = (𝑚 + 1))
123	118, 122	breqtrd 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑚 + 1))
124	82	adantr 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
125	123, 124	breqtrrd 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
126	86	adantr 272	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
127	113, 26, 114, 126	frec2uzled 10095	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
128	125, 127	mpbird 166	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
129	39, 40, 71	ennnfonelemdc 11757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
130		exmiddc 804	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))))
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))))
132	89, 128, 131	mpjaodan 770	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
133	132	ex 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
134	133	expcom 115	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
135	134	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
136	6, 11, 16, 21, 35, 135	uzind4 9285	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
137	136, 43	eleq2s 2209	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
138	1, 137	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 680  DECID wdc 802   = wceq 1314   ∈ wcel 1463   ≠ wne 2282  ∀wral 2390  ∃wrex 2391   ∪ cun 3035   ⊆ wss 3037  ∅c0 3329  ifcif 3440  {csn 3493  ⟨cop 3496   class class class wbr 3895   ↦ cmpt 3949  suc csuc 4247  ωcom 4464  ^◡ccnv 4498  dom cdm 4499   “ cima 4502  ⟶wf 5077  –onto→wfo 5079  –1-1-onto→wf1o 5080  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728   ∈ cmpo 5730  freccfrec 6241   ↑_pm cpm 6497  ℝcr 7546  0cc0 7547  1c1 7548   + caddc 7550   ≤ cle 7725   − cmin 7856  ℕ₀cn0 8881  ℤcz 8958  ℤ_≥cuz 9228  seqcseq 10111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pm 6499  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-seqfrec 10112

This theorem is referenced by: (None)