ennnfonelemkh - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem ennnfonelemkh 12412

Description: Lemma for ennnfone 12425. Because we add zero or one entries for each new index, the length of each sequence is no greater than its index. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑_pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (^◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemkh.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ₀)

**Assertion**
Ref	Expression
ennnfonelemkh	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (^◡𝑁‘𝑃))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑗,𝑥,𝑦 𝑥,𝐹,𝑦 𝑗,𝐺 𝑗,𝐻,𝑥,𝑦 𝑗,𝐽 𝑗,𝑁,𝑥,𝑦 𝜑,𝑗,𝑥,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑘,𝑛) 𝐴(𝑘,𝑛) 𝑃(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛) 𝐹(𝑗,𝑘,𝑛) 𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛) 𝐻(𝑘,𝑛) 𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛) 𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemkh Dummy variables 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemkh.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ₀)
2		fveq2 5515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘0))
3	2	dmeqd 4829	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘0))
4		fveq2 5515	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (^◡𝑁‘𝑤) = (^◡𝑁‘0))
5	3, 4	sseq12d 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (^◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘0) ⊆ (^◡𝑁‘0)))
6	5	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (^◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (^◡𝑁‘0))))
7		fveq2 5515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑚))
8	7	dmeqd 4829	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘𝑚))
9		fveq2 5515	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (^◡𝑁‘𝑤) = (^◡𝑁‘𝑚))
10	8, 9	sseq12d 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (^◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)))
11	10	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (^◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚))))
12		fveq2 5515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘(𝑚 + 1)))
13	12	dmeqd 4829	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘(𝑚 + 1)))
14		fveq2 5515	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (^◡𝑁‘𝑤) = (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
15	13, 14	sseq12d 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (^◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
16	15	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (^◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
17		fveq2 5515	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑃))
18	17	dmeqd 4829	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘𝑃))
19		fveq2 5515	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (^◡𝑁‘𝑤) = (^◡𝑁‘𝑃))
20	18, 19	sseq12d 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (^◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (^◡𝑁‘𝑃)))
21	20	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (^◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (^◡𝑁‘𝑃))))
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
23		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
24		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
25		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑_pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
26		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
27		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ₀ ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (^◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
28		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
29	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	ennnfonelem0 12405	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
30	29	dmeqd 4829	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
31		dm0 4841	. . . . . . 7 ⊢ dom ∅ = ∅
32	30, 31	eqtrdi 2226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = ∅)
33		0ss 3461	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (^◡𝑁‘0)
34	32, 33	eqsstrdi 3207	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (^◡𝑁‘0))
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (^◡𝑁‘0)))
36	26	frechashgf1o 10427	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ₀
37		f1of 5461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ₀ → 𝑁:ω⟶ℕ₀)
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → 𝑁:ω⟶ℕ₀)
39	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
40	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
41	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
42		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0))
43		nn0uz 9561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ₀ = (ℤ_≥‘0)
44	42, 43	eleqtrrdi 2271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ₀)
45		peano2nn0 9215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀)
47	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 46	ennnfonelemom 12408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
49	38, 48	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ∈ ℕ₀)
50	49	nn0red 9229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
51	44	nn0red 9229	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
53		peano2re 8092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
55	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemp1 12406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩})))
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩})))
57		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)))
58	57	iftrued 3541	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → if((𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩})) = (𝐻‘𝑚))
59	56, 58	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (𝐻‘𝑚))
60	59	dmeqd 4829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = dom (𝐻‘𝑚))
61	60	fveq2d 5519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) = (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)))
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚))
63		0zd 9264	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → 0 ∈ ℤ)
64	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemom 12408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘𝑚) ∈ ω)
65		f1ocnv 5474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ₀ → ^◡𝑁:ℕ₀–1-1-onto→ω)
66	36, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ^◡𝑁:ℕ₀–1-1-onto→ω
67		f1of 5461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (^◡𝑁:ℕ₀–1-1-onto→ω → ^◡𝑁:ℕ₀⟶ω)
68	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → ^◡𝑁:ℕ₀⟶ω)
69		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → 𝑚 ∈ ℕ₀)
70	68, 69	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ₀ → (^◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
71	44, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (^◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
72	63, 26, 64, 71	frec2uzled 10428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ (𝑁‘(^◡𝑁‘𝑚))))
73	62, 72	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ (𝑁‘(^◡𝑁‘𝑚)))
74		f1ocnvfv2 5778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ₀ ∧ 𝑚 ∈ ℕ₀) → (𝑁‘(^◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
75	36, 44, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘(^◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
76	73, 75	breqtrd 4029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ 𝑚)
77	76	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ 𝑚)
78	61, 77	eqbrtrd 4025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ 𝑚)
79	52	lep1d 8887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
80	50, 52, 54, 78, 79	letrd 8080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑚 + 1))
81		f1ocnvfv2 5778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ₀ ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ₀) → (𝑁‘(^◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
82	36, 46, 81	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘(^◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(^◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
84	80, 83	breqtrrd 4031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(^◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
85	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → ^◡𝑁:ℕ₀⟶ω)
86	85, 46	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
87	63, 26, 47, 86	frec2uzled 10428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(^◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
88	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(^◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
89	84, 88	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
90	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩})))
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)))
92	91	iffalsed 3544	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → if((𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩})) = ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩}))
93	90, 92	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩}))
94	93	dmeqd 4829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = dom ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩}))
95		dmun 4834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩})
96	94, 95	eqtrdi 2226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩}))
97		fof 5438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
98	40, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → 𝐹:ω⟶𝐴)
99	98, 71	ffvelcdmd 5652	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴)
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴)
101		dmsnopg 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩} = {dom (𝐻‘𝑚)})
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩} = {dom (𝐻‘𝑚)})
103	102	uneq2d 3289	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)}))
104	96, 103	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)}))
105		df-suc 4371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ suc dom (𝐻‘𝑚) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)})
106	104, 105	eqtr4di 2228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑚))
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚))
108	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (^◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
109		nnsucsssuc 6492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((dom (𝐻‘𝑚) ∈ ω ∧ (^◡𝑁‘𝑚) ∈ ω) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚) ↔ suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (^◡𝑁‘𝑚)))
110	64, 108, 109	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚) ↔ suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (^◡𝑁‘𝑚)))
111	107, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (^◡𝑁‘𝑚))
112	106, 111	eqsstrd 3191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ suc (^◡𝑁‘𝑚))
113		0zd 9264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → 0 ∈ ℤ)
114	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
115		peano2 4594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((^◡𝑁‘𝑚) ∈ ω → suc (^◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
116	108, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → suc (^◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
117	113, 26, 114, 116	frec2uzled 10428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ suc (^◡𝑁‘𝑚) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘suc (^◡𝑁‘𝑚))))
118	112, 117	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘suc (^◡𝑁‘𝑚)))
119	113, 26, 108	frec2uzsucd 10400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘suc (^◡𝑁‘𝑚)) = ((𝑁‘(^◡𝑁‘𝑚)) + 1))
120	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(^◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
121	120	oveq1d 5889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → ((𝑁‘(^◡𝑁‘𝑚)) + 1) = (𝑚 + 1))
122	119, 121	eqtrd 2210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘suc (^◡𝑁‘𝑚)) = (𝑚 + 1))
123	118, 122	breqtrd 4029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑚 + 1))
124	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(^◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
125	123, 124	breqtrrd 4031	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(^◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
126	86	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
127	113, 26, 114, 126	frec2uzled 10428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(^◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
128	125, 127	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
129	39, 40, 71	ennnfonelemdc 12399	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → DECID (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)))
130		exmiddc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)) → ((𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)) ∨ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))))
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → ((𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚)) ∨ ¬ (𝐹‘(^◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (^◡𝑁‘𝑚))))
132	89, 128, 131	mpjaodan 798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
133	132	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0)) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
134	133	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝜑 → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
135	134	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ_≥‘0) → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (^◡𝑁‘𝑚)) → (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (^◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
136	6, 11, 16, 21, 35, 135	uzind4 9587	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ_≥‘0) → (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (^◡𝑁‘𝑃)))
137	136, 43	eleq2s 2272	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ₀ → (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (^◡𝑁‘𝑃)))
138	1, 137	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (^◡𝑁‘𝑃))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 708 DECID wdc 834 = wceq 1353 ∈ wcel 2148 ≠ wne 2347 ∀wral 2455 ∃wrex 2456 ∪ cun 3127 ⊆ wss 3129 ∅c0 3422 ifcif 3534 {csn 3592 ⟨cop 3595 class class class wbr 4003 ↦ cmpt 4064 suc csuc 4365 ωcom 4589 ^◡ccnv 4625 dom cdm 4626 “ cima 4629 ⟶wf 5212 –onto→wfo 5214 –1-1-onto→wf1o 5215 ‘cfv 5216 (class class class)co 5874 ∈ cmpo 5876 freccfrec 6390 ↑_pm cpm 6648 ℝcr 7809 0cc0 7810 1c1 7811 + caddc 7813 ≤ cle 7992 − cmin 8127 ℕ₀cn0 9175 ℤcz 9252 ℤ_≥cuz 9527 seqcseq 10444

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4118 ax-sep 4121 ax-nul 4129 ax-pow 4174 ax-pr 4209 ax-un 4433 ax-setind 4536 ax-iinf 4587 ax-cnex 7901 ax-resscn 7902 ax-1cn 7903 ax-1re 7904 ax-icn 7905 ax-addcl 7906 ax-addrcl 7907 ax-mulcl 7908 ax-addcom 7910 ax-addass 7912 ax-distr 7914 ax-i2m1 7915 ax-0lt1 7916 ax-0id 7918 ax-rnegex 7919 ax-cnre 7921 ax-pre-ltirr 7922 ax-pre-ltwlin 7923 ax-pre-lttrn 7924 ax-pre-ltadd 7926

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2739 df-sbc 2963 df-csb 3058 df-dif 3131 df-un 3133 df-in 3135 df-ss 3142 df-nul 3423 df-if 3535 df-pw 3577 df-sn 3598 df-pr 3599 df-op 3601 df-uni 3810 df-int 3845 df-iun 3888 df-br 4004 df-opab 4065 df-mpt 4066 df-tr 4102 df-id 4293 df-iord 4366 df-on 4368 df-ilim 4369 df-suc 4371 df-iom 4590 df-xp 4632 df-rel 4633 df-cnv 4634 df-co 4635 df-dm 4636 df-rn 4637 df-res 4638 df-ima 4639 df-iota 5178 df-fun 5218 df-fn 5219 df-f 5220 df-f1 5221 df-fo 5222 df-f1o 5223 df-fv 5224 df-riota 5830 df-ov 5877 df-oprab 5878 df-mpo 5879 df-1st 6140 df-2nd 6141 df-recs 6305 df-frec 6391 df-pm 6650 df-pnf 7993 df-mnf 7994 df-xr 7995 df-ltxr 7996 df-le 7997 df-sub 8129 df-neg 8130 df-inn 8919 df-n0 9176 df-z 9253 df-uz 9528 df-seqfrec 10445

This theorem is referenced by: (None)

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