Theorem ennnfonelemkh 12569

Description: Lemma for ennnfone 12582. Because we add zero or one entries for each new index, the length of each sequence is no greater than its index. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
ennnfonelemh.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
ennnfonelemh.ne	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
ennnfonelemh.g	⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
ennnfonelemh.n	⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
ennnfonelemh.j	⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
ennnfonelemh.h	⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
ennnfonelemkh.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ennnfonelemkh	⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑗,𝐺   𝑗,𝐻,𝑥,𝑦   𝑗,𝐽   𝑗,𝑁,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘,𝑛)   𝐴(𝑘,𝑛)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑗,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑗,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑘,𝑛)   𝐽(𝑥,𝑦,𝑘,𝑛)   𝑁(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem ennnfonelemkh

Dummy variables 𝑚 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfonelemkh.p	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ0)
2		fveq2 5554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 0 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘0))
3	2	dmeqd 4864	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘0))
4		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 0 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘0))
5	3, 4	sseq12d 3210	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 0 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0)))
6	5	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 0 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0))))
7		fveq2 5554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑚))
8	7	dmeqd 4864	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘𝑚))
9		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘𝑚))
10	8, 9	sseq12d 3210	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)))
11	10	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑚 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))))
12		fveq2 5554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘(𝑚 + 1)))
13	12	dmeqd 4864	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘(𝑚 + 1)))
14		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
15	13, 14	sseq12d 3210	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
16	15	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (𝑚 + 1) → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
17		fveq2 5554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (𝐻‘𝑤) = (𝐻‘𝑃))
18	17	dmeqd 4864	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → dom (𝐻‘𝑤) = dom (𝐻‘𝑃))
19		fveq2 5554	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (◡𝑁‘𝑤) = (◡𝑁‘𝑃))
20	18, 19	sseq12d 3210	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → (dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤) ↔ dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
21	20	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑃 → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑤) ⊆ (◡𝑁‘𝑤)) ↔ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))))
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
23		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω–onto→𝐴)
24		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
25		ennnfonelemh.g	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴 ↑pm ω), 𝑦 ∈ ω ↦ if((𝐹‘𝑦) ∈ (𝐹 “ 𝑦), 𝑥, (𝑥 ∪ {⟨dom 𝑥, (𝐹‘𝑦)⟩})))
26		ennnfonelemh.n	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑁 = frec((𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 + 1)), 0)
27		ennnfonelemh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (◡𝑁‘(𝑥 − 1))))
28		ennnfonelemh.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = seq0(𝐺, 𝐽)
29	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	ennnfonelem0 12562	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘0) = ∅)
30	29	dmeqd 4864	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = dom ∅)
31		dm0 4876	. . . . . . 7 ⊢ dom ∅ = ∅
32	30, 31	eqtrdi 2242	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) = ∅)
33		0ss 3485	. . . . . 6 ⊢ ∅ ⊆ (◡𝑁‘0)
34	32, 33	eqsstrdi 3231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0))
35	34	a1i 9	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (𝜑 → dom (𝐻‘0) ⊆ (◡𝑁‘0)))
36	26	frechashgf1o 10499	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0
37		f1of 5500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → 𝑁:ω⟶ℕ0)
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑁:ω⟶ℕ0)
39	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 DECID 𝑥 = 𝑦)
40	23	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝐹:ω–onto→𝐴)
41	24	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ∀𝑛 ∈ ω ∃𝑘 ∈ ω ∀𝑗 ∈ suc 𝑛(𝐹‘𝑘) ≠ (𝐹‘𝑗))
42		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0))
43		nn0uz 9627	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
44	42, 43	eleqtrrdi 2287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
45		peano2nn0 9280	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
46	44, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ0)
47	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 46	ennnfonelemom 12565	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
48	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
49	38, 48	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ∈ ℕ0)
50	49	nn0red 9294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ∈ ℝ)
51	44	nn0red 9294	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝑚 ∈ ℝ)
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑚 ∈ ℝ)
53		peano2re 8155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑚 ∈ ℝ → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
54	52, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ)
55	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemp1 12563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
56	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
57		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
58	57	iftrued 3564	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})) = (𝐻‘𝑚))
59	56, 58	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (𝐻‘𝑚))
60	59	dmeqd 4864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = dom (𝐻‘𝑚))
61	60	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) = (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)))
62		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))
63		0zd 9329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 0 ∈ ℤ)
64	39, 40, 41, 25, 26, 27, 28, 44	ennnfonelemom 12565	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘𝑚) ∈ ω)
65		f1ocnv 5513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω)
66	36, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω
67		f1of 5500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (◡𝑁:ℕ0–1-1-onto→ω → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
68	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
69		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → 𝑚 ∈ ℕ0)
70	68, 69	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ0 → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
71	44, 70	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
72	63, 26, 64, 71	frec2uzled 10500	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚))))
73	62, 72	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)))
74		f1ocnvfv2 5821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
75	36, 44, 74	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
76	73, 75	breqtrd 4055	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ 𝑚)
77	76	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘𝑚)) ≤ 𝑚)
78	61, 77	eqbrtrd 4051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ 𝑚)
79	52	lep1d 8950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 𝑚 ≤ (𝑚 + 1))
80	50, 52, 54, 78, 79	letrd 8143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑚 + 1))
81		f1ocnvfv2 5821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁:ω–1-1-onto→ℕ0 ∧ (𝑚 + 1) ∈ ℕ0) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
82	36, 46, 81	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
83	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
84	80, 83	breqtrrd 4057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
85	66, 67	mp1i 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ◡𝑁:ℕ0⟶ω)
86	85, 46	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
87	63, 26, 47, 86	frec2uzled 10500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
88	87	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
89	84, 88	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
90	55	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})))
91		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
92	91	iffalsed 3567	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → if((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)), (𝐻‘𝑚), ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})) = ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
93	90, 92	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐻‘(𝑚 + 1)) = ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
94	93	dmeqd 4864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = dom ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
95		dmun 4869	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ dom ((𝐻‘𝑚) ∪ {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩})
96	94, 95	eqtrdi 2242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}))
97		fof 5476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐹:ω–onto→𝐴 → 𝐹:ω⟶𝐴)
98	40, 97	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → 𝐹:ω⟶𝐴)
99	98, 71	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴)
100	99	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴)
101		dmsnopg 5137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ 𝐴 → dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩} = {dom (𝐻‘𝑚)})
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩} = {dom (𝐻‘𝑚)})
103	102	uneq2d 3313	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘𝑚) ∪ dom {⟨dom (𝐻‘𝑚), (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚))⟩}) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)}))
104	96, 103	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)}))
105		df-suc 4402	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ suc dom (𝐻‘𝑚) = (dom (𝐻‘𝑚) ∪ {dom (𝐻‘𝑚)})
106	104, 105	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) = suc dom (𝐻‘𝑚))
107		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚))
108	71	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
109		nnsucsssuc 6545	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((dom (𝐻‘𝑚) ∈ ω ∧ (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚)))
110	64, 108, 109	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) ↔ suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚)))
111	107, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → suc dom (𝐻‘𝑚) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚))
112	106, 111	eqsstrd 3215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚))
113		0zd 9329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → 0 ∈ ℤ)
114	47	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
115		peano2 4627	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑁‘𝑚) ∈ ω → suc (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
116	108, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → suc (◡𝑁‘𝑚) ∈ ω)
117	113, 26, 114, 116	frec2uzled 10500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ suc (◡𝑁‘𝑚) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚))))
118	112, 117	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)))
119	113, 26, 108	frec2uzsucd 10472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)) = ((𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) + 1))
120	75	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) = 𝑚)
121	120	oveq1d 5933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → ((𝑁‘(◡𝑁‘𝑚)) + 1) = (𝑚 + 1))
122	119, 121	eqtrd 2226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘suc (◡𝑁‘𝑚)) = (𝑚 + 1))
123	118, 122	breqtrd 4055	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑚 + 1))
124	82	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))) = (𝑚 + 1))
125	123, 124	breqtrrd 4057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
126	86	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ∈ ω)
127	113, 26, 114, 126	frec2uzled 10500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → (dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)) ↔ (𝑁‘dom (𝐻‘(𝑚 + 1))) ≤ (𝑁‘(◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
128	125, 127	mpbird 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) ∧ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
129	39, 40, 71	ennnfonelemdc 12556	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)))
130		exmiddc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))))
131	129, 130	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → ((𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚)) ∨ ¬ (𝐹‘(◡𝑁‘𝑚)) ∈ (𝐹 “ (◡𝑁‘𝑚))))
132	89, 128, 131	mpjaodan 799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) ∧ dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))
133	132	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ (ℤ≥‘0)) → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1))))
134	133	expcom 116	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → (dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚) → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
135	134	a2d 26	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (ℤ≥‘0) → ((𝜑 → dom (𝐻‘𝑚) ⊆ (◡𝑁‘𝑚)) → (𝜑 → dom (𝐻‘(𝑚 + 1)) ⊆ (◡𝑁‘(𝑚 + 1)))))
136	6, 11, 16, 21, 35, 135	uzind4 9653	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘0) → (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
137	136, 43	eleq2s 2288	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ0 → (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃)))
138	1, 137	mpcom 36	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝐻‘𝑃) ⊆ (◡𝑁‘𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ∪ cun 3151   ⊆ wss 3153  ∅c0 3446  ifcif 3557  {csn 3618  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090  suc csuc 4396  ωcom 4622  ^◡ccnv 4658  dom cdm 4659   “ cima 4662  ⟶wf 5250  –onto→wfo 5252  –1-1-onto→wf1o 5253  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918   ∈ cmpo 5920  freccfrec 6443   ↑_pm cpm 6703  ℝcr 7871  0cc0 7872  1c1 7873   + caddc 7875   ≤ cle 8055   − cmin 8190  ℕ₀cn0 9240  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592  seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pm 6705  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

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