ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fimacnv GIF version

Theorem fimacnv 5556
Description: The preimage of the codomain of a mapping is the mapping's domain. (Contributed by FL, 25-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
fimacnv (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem fimacnv
StepHypRef Expression
1 imassrn 4899 . . 3 (𝐹𝐵) ⊆ ran 𝐹
2 dfdm4 4738 . . . 4 dom 𝐹 = ran 𝐹
3 fdm 5285 . . . . 5 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹 = 𝐴)
4 ssid 3121 . . . . 5 𝐴𝐴
53, 4eqsstrdi 3153 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → dom 𝐹𝐴)
62, 5eqsstrrid 3148 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐴)
71, 6sstrid 3112 . 2 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) ⊆ 𝐴)
8 imassrn 4899 . . . 4 (𝐹𝐴) ⊆ ran 𝐹
9 frn 5288 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → ran 𝐹𝐵)
108, 9sstrid 3112 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐴) ⊆ 𝐵)
11 ffun 5282 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵 → Fun 𝐹)
124, 3sseqtrrid 3152 . . . 4 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ dom 𝐹)
13 funimass3 5543 . . . 4 ((Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
1411, 12, 13syl2anc 409 . . 3 (𝐹:𝐴𝐵 → ((𝐹𝐴) ⊆ 𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵)))
1510, 14mpbid 146 . 2 (𝐹:𝐴𝐵𝐴 ⊆ (𝐹𝐵))
167, 15eqssd 3118 1 (𝐹:𝐴𝐵 → (𝐹𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1332  wss 3075  ccnv 4545  dom cdm 4546  ran crn 4547  cima 4549  Fun wfun 5124  wf 5126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-sbc 2913  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-id 4222  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-fv 5138
This theorem is referenced by:  fmpt  5577  nn0supp  9052  cnclima  12429
  Copyright terms: Public domain W3C validator