ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ntrss2 GIF version

Theorem ntrss2 12316
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntrss2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21ntrval 12305 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3 inss2 3297 . . . 4 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
43unissi 3762 . . 3 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5 unipw 4142 . . 3 𝒫 𝑆 = 𝑆
64, 5sseqtri 3131 . 2 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
72, 6eqsstrdi 3149 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  cin 3070  wss 3071  𝒫 cpw 3510   cuni 3739  cfv 5126  Topctop 12190  intcnt 12288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4046  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-un 4358
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-iun 3818  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-rn 4553  df-res 4554  df-ima 4555  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-f 5130  df-f1 5131  df-fo 5132  df-f1o 5133  df-fv 5134  df-top 12191  df-ntr 12291
This theorem is referenced by:  ntrin  12319  neiint  12340  topssnei  12357  iscnp4  12413  cnntri  12419  cnntr  12420  cnptoprest  12434  dvbss  12849  dvfgg  12852  dvcnp2cntop  12858  dvaddxxbr  12860  dvmulxxbr  12861
  Copyright terms: Public domain W3C validator