Theorem ntrss2 14246

Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
ntrss2	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem ntrss2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	ntrval 14235	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3		inss2 3376	. . . 4 ⊢ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
4	3	unissi 3854	. . 3 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ ∪ 𝒫 𝑆
5		unipw 4242	. . 3 ⊢ ∪ 𝒫 𝑆 = 𝑆
6	4, 5	sseqtri 3209	. 2 ⊢ ∪ (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
7	2, 6	eqsstrdi 3227	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆 ⊆ 𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ∩ cin 3148   ⊆ wss 3149  𝒫 cpw 3597  ∪ cuni 3831  ‘cfv 5242  Topctop 14122  intcnt 14218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-id 4318  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-top 14123  df-ntr 14221

This theorem is referenced by:  ntrin  14249  neiint  14270  topssnei  14287  iscnp4  14343  cnntri  14349  cnntr  14350  cnptoprest  14364  dvbss  14796  dvfgg  14799  dvcnp2cntop  14805  dvaddxxbr  14807  dvmulxxbr  14808