ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ntrss2 GIF version

Theorem ntrss2 12130
Description: A subset includes its interior. (Contributed by NM, 3-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
clscld.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
ntrss2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)

Proof of Theorem ntrss2
StepHypRef Expression
1 clscld.1 . . 3 𝑋 = 𝐽
21ntrval 12119 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) = (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆))
3 inss2 3263 . . . 4 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
43unissi 3725 . . 3 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝒫 𝑆
5 unipw 4099 . . 3 𝒫 𝑆 = 𝑆
64, 5sseqtri 3097 . 2 (𝐽 ∩ 𝒫 𝑆) ⊆ 𝑆
72, 6syl6eqss 3115 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑆𝑋) → ((int‘𝐽)‘𝑆) ⊆ 𝑆)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  cin 3036  wss 3037  𝒫 cpw 3476   cuni 3702  cfv 5081  Topctop 12004  intcnt 12102
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-top 12005  df-ntr 12105
This theorem is referenced by:  ntrin  12133  neiint  12154  topssnei  12171  iscnp4  12226  cnntri  12232  cnntr  12233  cnptoprest  12247  dvbss  12606  dvfgg  12609  dvcnp2cntop  12615  dvaddxxbr  12617
  Copyright terms: Public domain W3C validator