Theorem eqsstrd 3220

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3213	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3221  eqsstrdi  3236  tfisi  4624  funresdfunsnss  5768  suppssof1  6157  pw2f1odclem  6904  phplem4dom  6932  fival  7045  fiuni  7053  cardonle  7265  exmidfodomrlemim  7280  frecuzrdgtclt  10530  4sqlem19  12603  ennnfonelemkh  12654  ennnfonelemf1  12660  strfvssn  12725  setscom  12743  imasaddfnlemg  13016  imasaddflemg  13018  reldvdsrsrg  13724  znleval  14285  tgrest  14489  resttopon  14491  rest0  14499  lmtopcnp  14570  metequiv2  14816  xmettx  14830  ellimc3apf  14980  dvfvalap  15001  dvcjbr  15028  dvcj  15029  dvfre  15030  nnsf  15736