Theorem eqsstrd 3284

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3285  eqsstrdi  3300  tfisi  4729  funresdfunsnss  5909  suppssof1  6310  funimass4f  6349  pw2f1odclem  7124  phplem4dom  7153  fival  7294  fiuni  7302  cardonle  7522  exmidfodomrlemim  7543  frecuzrdgtclt  10836  4sqlem19  13166  ballotfilemro  13244  ennnfonelemkh  13281  ennnfonelemf1  13287  strfvssn  13352  setscom  13370  imasaddfnlemg  13612  imasaddflemg  13614  znleval  14960  tgrest  15193  resttopon  15195  rest0  15203  lmtopcnp  15274  metequiv2  15520  xmettx  15534  ellimc3apf  15684  dvfvalap  15705  dvcjbr  15732  dvcj  15733  dvfre  15734  uhgredgm  16291  upgredgssen  16294  umgredgssen  16295  edgumgren  16297  usgredgssen  16317  nnsf  16953