Theorem eqsstrd 3284

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqsstrrd  3285  eqsstrdi  3300  tfisi  4736  funresdfunsnss  5921  suppssof1  6324  funimass4f  6363  pw2f1odclem  7138  phplem4dom  7167  fival  7309  fiuni  7317  cardonle  7538  exmidfodomrlemim  7559  frecuzrdgtclt  10879  4sqlem19  13217  ballotfilemro  13324  ennnfonelemkh  13361  ennnfonelemf1  13367  strfvssn  13432  setscom  13450  imasaddfnlemg  13694  imasaddflemg  13696  znleval  15097  issubassa2  15144  tgrest  15395  resttopon  15397  rest0  15405  lmtopcnp  15476  metequiv2  15722  xmettx  15736  ellimc3apf  15886  dvfvalap  15907  dvcjbr  15934  dvcj  15935  dvfre  15936  ppiqsval  16240  uhgredgm  16582  upgredgssen  16585  umgredgssen  16586  edgumgren  16588  usgredgssen  16608  nnsf  17254