Theorem eqsstrd 3274

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3267	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-in 3217  df-ss 3224

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3275  eqsstrdi  3290  tfisi  4709  funresdfunsnss  5887  suppssof1  6284  pw2f1odclem  7087  phplem4dom  7116  fival  7257  fiuni  7265  cardonle  7483  exmidfodomrlemim  7504  frecuzrdgtclt  10783  4sqlem19  13107  ennnfonelemkh  13163  ennnfonelemf1  13169  strfvssn  13234  setscom  13252  imasaddfnlemg  13527  imasaddflemg  13529  znleval  14801  tgrest  15034  resttopon  15036  rest0  15044  lmtopcnp  15115  metequiv2  15361  xmettx  15375  ellimc3apf  15525  dvfvalap  15546  dvcjbr  15573  dvcj  15574  dvfre  15575  uhgredgm  16131  upgredgssen  16134  umgredgssen  16135  edgumgren  16137  usgredgssen  16157  nnsf  16783