Theorem eqsstrd 3284

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqsstrrd  3285  eqsstrdi  3300  tfisi  4736  funresdfunsnss  5921  suppssof1  6324  funimass4f  6363  pw2f1odclem  7140  phplem4dom  7169  funisfsuppdc  7298  fival  7309  fiuni  7317  cardonle  7538  exmidfodomrlemim  7559  frecuzrdgtclt  10878  4sqlem19  13216  ballotfilemro  13323  ennnfonelemkh  13360  ennnfonelemf1  13366  strfvssn  13431  setscom  13449  imasaddfnlemg  13693  imasaddflemg  13695  znleval  15096  issubassa2  15143  mvrclfi  15226  tgrest  15412  resttopon  15414  rest0  15422  lmtopcnp  15493  metequiv2  15739  xmettx  15753  ellimc3apf  15903  dvfvalap  15924  dvcjbr  15951  dvcj  15952  dvfre  15953  ppiqsval  16257  uhgredgm  16599  upgredgssen  16602  umgredgssen  16603  edgumgren  16605  usgredgssen  16625  nnsf  17271