Theorem eqsstrd 3284

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqsstrrd  3285  eqsstrdi  3300  tfisi  4734  funresdfunsnss  5918  suppssof1  6320  funimass4f  6359  pw2f1odclem  7134  phplem4dom  7163  fival  7304  fiuni  7312  cardonle  7532  exmidfodomrlemim  7553  frecuzrdgtclt  10871  4sqlem19  13208  ballotfilemro  13315  ennnfonelemkh  13352  ennnfonelemf1  13358  strfvssn  13423  setscom  13441  imasaddfnlemg  13684  imasaddflemg  13686  znleval  15037  issubassa2  15084  tgrest  15319  resttopon  15321  rest0  15329  lmtopcnp  15400  metequiv2  15646  xmettx  15660  ellimc3apf  15810  dvfvalap  15831  dvcjbr  15858  dvcj  15859  dvfre  15860  ppiqsval  16156  uhgredgm  16475  upgredgssen  16478  umgredgssen  16479  edgumgren  16481  usgredgssen  16501  nnsf  17146