Theorem eqsstrd 3183

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3176	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 166	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ⊆ wss 3121

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-11 1499  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-in 3127  df-ss 3134

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3184  eqsstrdi  3199  tfisi  4571  funresdfunsnss  5699  suppssof1  6078  phplem4dom  6840  fival  6947  fiuni  6955  cardonle  7164  exmidfodomrlemim  7178  frecuzrdgtclt  10377  ennnfonelemkh  12367  ennnfonelemf1  12373  strfvssn  12438  setscom  12456  tgrest  12963  resttopon  12965  rest0  12973  lmtopcnp  13044  metequiv2  13290  xmettx  13304  ellimc3apf  13423  dvfvalap  13444  dvcjbr  13466  dvcj  13467  dvfre  13468  nnsf  14038