Theorem eqsstrd 3284

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqsstrrd  3285  eqsstrdi  3300  tfisi  4734  funresdfunsnss  5918  suppssof1  6320  funimass4f  6359  pw2f1odclem  7134  phplem4dom  7163  fival  7304  fiuni  7312  cardonle  7533  exmidfodomrlemim  7554  frecuzrdgtclt  10873  4sqlem19  13211  ballotfilemro  13318  ennnfonelemkh  13355  ennnfonelemf1  13361  strfvssn  13426  setscom  13444  imasaddfnlemg  13688  imasaddflemg  13690  znleval  15072  issubassa2  15119  tgrest  15361  resttopon  15363  rest0  15371  lmtopcnp  15442  metequiv2  15688  xmettx  15702  ellimc3apf  15852  dvfvalap  15873  dvcjbr  15900  dvcj  15901  dvfre  15902  ppiqsval  16201  uhgredgm  16543  upgredgssen  16546  umgredgssen  16547  edgumgren  16549  usgredgssen  16569  nnsf  17214