Theorem eqsstrd 3189

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3182	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ⊆ wss 3127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-11 1504  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-ext 2157

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1459  df-sb 1761  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-in 3133  df-ss 3140

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3190  eqsstrdi  3205  tfisi  4580  funresdfunsnss  5711  suppssof1  6090  phplem4dom  6852  fival  6959  fiuni  6967  cardonle  7176  exmidfodomrlemim  7190  frecuzrdgtclt  10391  ennnfonelemkh  12380  ennnfonelemf1  12386  strfvssn  12451  setscom  12469  tgrest  13249  resttopon  13251  rest0  13259  lmtopcnp  13330  metequiv2  13576  xmettx  13590  ellimc3apf  13709  dvfvalap  13730  dvcjbr  13752  dvcj  13753  dvfre  13754  nnsf  14324