Theorem eqsstrd 3220

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3213	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3221  eqsstrdi  3236  tfisi  4624  funresdfunsnss  5768  suppssof1  6157  pw2f1odclem  6904  phplem4dom  6932  fival  7045  fiuni  7053  cardonle  7267  exmidfodomrlemim  7282  frecuzrdgtclt  10532  4sqlem19  12605  ennnfonelemkh  12656  ennnfonelemf1  12662  strfvssn  12727  setscom  12745  imasaddfnlemg  13018  imasaddflemg  13020  reldvdsrsrg  13726  znleval  14287  tgrest  14513  resttopon  14515  rest0  14523  lmtopcnp  14594  metequiv2  14840  xmettx  14854  ellimc3apf  15004  dvfvalap  15025  dvcjbr  15052  dvcj  15053  dvfre  15054  nnsf  15760