Theorem eqsstrd 3264

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3207  df-ss 3214

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3265  eqsstrdi  3280  tfisi  4691  funresdfunsnss  5865  suppssof1  6262  pw2f1odclem  7063  phplem4dom  7091  fival  7212  fiuni  7220  cardonle  7434  exmidfodomrlemim  7455  frecuzrdgtclt  10727  4sqlem19  13043  ennnfonelemkh  13094  ennnfonelemf1  13100  strfvssn  13165  setscom  13183  imasaddfnlemg  13458  imasaddflemg  13460  znleval  14729  tgrest  14960  resttopon  14962  rest0  14970  lmtopcnp  15041  metequiv2  15287  xmettx  15301  ellimc3apf  15451  dvfvalap  15472  dvcjbr  15499  dvcj  15500  dvfre  15501  uhgredgm  16057  upgredgssen  16060  umgredgssen  16061  edgumgren  16063  usgredgssen  16083  nnsf  16711