Theorem eqsstrd 3263

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3264  eqsstrdi  3279  tfisi  4685  funresdfunsnss  5856  suppssof1  6252  pw2f1odclem  7019  phplem4dom  7047  fival  7168  fiuni  7176  cardonle  7390  exmidfodomrlemim  7411  frecuzrdgtclt  10682  4sqlem19  12981  ennnfonelemkh  13032  ennnfonelemf1  13038  strfvssn  13103  setscom  13121  imasaddfnlemg  13396  imasaddflemg  13398  znleval  14666  tgrest  14892  resttopon  14894  rest0  14902  lmtopcnp  14973  metequiv2  15219  xmettx  15233  ellimc3apf  15383  dvfvalap  15404  dvcjbr  15431  dvcj  15432  dvfre  15433  uhgredgm  15986  upgredgssen  15989  umgredgssen  15990  edgumgren  15992  usgredgssen  16012  nnsf  16607