Theorem eqsstrd 3263

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3256	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3264  eqsstrdi  3279  tfisi  4685  funresdfunsnss  5857  suppssof1  6253  pw2f1odclem  7020  phplem4dom  7048  fival  7169  fiuni  7177  cardonle  7391  exmidfodomrlemim  7412  frecuzrdgtclt  10684  4sqlem19  12987  ennnfonelemkh  13038  ennnfonelemf1  13044  strfvssn  13109  setscom  13127  imasaddfnlemg  13402  imasaddflemg  13404  znleval  14673  tgrest  14899  resttopon  14901  rest0  14909  lmtopcnp  14980  metequiv2  15226  xmettx  15240  ellimc3apf  15390  dvfvalap  15411  dvcjbr  15438  dvcj  15439  dvfre  15440  uhgredgm  15993  upgredgssen  15996  umgredgssen  15997  edgumgren  15999  usgredgssen  16019  nnsf  16633