Theorem eqsstrd 3261

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3254	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ⊆ wss 3198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-11 1552  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-in 3204  df-ss 3211

This theorem is referenced by:  eqsstrrd  3262  eqsstrdi  3277  tfisi  4683  funresdfunsnss  5852  suppssof1  6248  pw2f1odclem  7015  phplem4dom  7043  fival  7160  fiuni  7168  cardonle  7382  exmidfodomrlemim  7402  frecuzrdgtclt  10673  4sqlem19  12972  ennnfonelemkh  13023  ennnfonelemf1  13029  strfvssn  13094  setscom  13112  imasaddfnlemg  13387  imasaddflemg  13389  znleval  14657  tgrest  14883  resttopon  14885  rest0  14893  lmtopcnp  14964  metequiv2  15210  xmettx  15224  ellimc3apf  15374  dvfvalap  15395  dvcjbr  15422  dvcj  15423  dvfre  15424  uhgredgm  15975  upgredgssen  15978  umgredgssen  15979  edgumgren  15981  usgredgssen  16001  nnsf  16543