Theorem eqsstrd 3284

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqsstrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
eqsstrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
eqsstrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem eqsstrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqsstrd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐶)
2		eqsstrd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	sseq1d 3277	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqsstrrd  3285  eqsstrdi  3300  tfisi  4734  funresdfunsnss  5918  suppssof1  6320  funimass4f  6359  pw2f1odclem  7134  phplem4dom  7163  fival  7304  fiuni  7312  cardonle  7532  exmidfodomrlemim  7553  frecuzrdgtclt  10858  4sqlem19  13188  ballotfilemro  13266  ennnfonelemkh  13303  ennnfonelemf1  13309  strfvssn  13374  setscom  13392  imasaddfnlemg  13635  imasaddflemg  13637  znleval  14988  issubassa2  15035  tgrest  15270  resttopon  15272  rest0  15280  lmtopcnp  15351  metequiv2  15597  xmettx  15611  ellimc3apf  15761  dvfvalap  15782  dvcjbr  15809  dvcj  15810  dvfre  15811  uhgredgm  16377  upgredgssen  16380  umgredgssen  16381  edgumgren  16383  usgredgssen  16403  nnsf  17048