Theorem euan 2101

Description: Introduction of a conjunct into unique existential quantifier. (Contributed by NM, 19-Feb-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 9-Jul-2011.)

Hypothesis

Ref	Expression
euan.1	⊢ (𝜑 → ∀𝑥𝜑)

Assertion

Ref	Expression
euan	⊢ (∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓))

Proof of Theorem euan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		euan.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥𝜑)
2		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
3	1, 2	exlimih 1607	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜑)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃*𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → 𝜑)
5		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → 𝜓)
6	5	eximi 1614	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∃𝑥𝜓)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃*𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → ∃𝑥𝜓)
8		hbe1 1509	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ∀𝑥∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
9	3	a1d 22	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜓 → 𝜑))
10	9	ancrd 326	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜓 → (𝜑 ∧ 𝜓)))
11	5, 10	impbid2 143	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → ((𝜑 ∧ 𝜓) ↔ 𝜓))
12	8, 11	mobidh 2079	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → (∃*𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ ∃*𝑥𝜓))
13	12	biimpa 296	. . . 4 ⊢ ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃*𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → ∃*𝑥𝜓)
14	4, 7, 13	jca32 310	. . 3 ⊢ ((∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃*𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)) → (𝜑 ∧ (∃𝑥𝜓 ∧ ∃*𝑥𝜓)))
15		eu5 2092	. . 3 ⊢ (∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ∧ ∃*𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
16		eu5 2092	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥𝜓 ↔ (∃𝑥𝜓 ∧ ∃*𝑥𝜓))
17	16	anbi2i 457	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓) ↔ (𝜑 ∧ (∃𝑥𝜓 ∧ ∃*𝑥𝜓)))
18	14, 15, 17	3imtr4i 201	. 2 ⊢ (∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) → (𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓))
19		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝜓 ↔ (𝜑 ∧ 𝜓)))
20	1, 19	eubidh 2051	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃!𝑥𝜓 ↔ ∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓)))
21	20	biimpa 296	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓) → ∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓))
22	18, 21	impbii 126	1 ⊢ (∃!𝑥(𝜑 ∧ 𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃!𝑥𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362  ∃wex 1506  ∃!weu 2045  ∃*wmo 2046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049

This theorem is referenced by:  euanv  2102  2eu7  2139