Theorem ifelpwun 4466

Description: Existence of a conditional class, quantitative version (inference form). (Contributed by BJ, 15-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ifelpwun.1	⊢ 𝐴 ∈ V
ifelpwun.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
ifelpwun	⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)

Proof of Theorem ifelpwun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ifelpwun.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		ifelpwun.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		ifelpwung 4464	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵))
4	1, 2, 3	mp2an 424	1 ⊢ if(𝜑, 𝐴, 𝐵) ∈ 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2141  Vcvv 2730   ∪ cun 3119  ifcif 3525  𝒫 cpw 3564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pr 4192  ax-un 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-uni 3795

This theorem is referenced by:  fmelpw1o  13763  bj-charfun  13764