Theorem recnprss 12825

Description: Both ℝ and ℂ are subsets of ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
recnprss	⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)

Proof of Theorem recnprss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpri 3550	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ))
2		ax-resscn 7712	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3		sseq1 3120	. . . 4 ⊢ (𝑆 = ℝ → (𝑆 ⊆ ℂ ↔ ℝ ⊆ ℂ))
4	2, 3	mpbiri 167	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℝ → 𝑆 ⊆ ℂ)
5		eqimss 3151	. . 3 ⊢ (𝑆 = ℂ → 𝑆 ⊆ ℂ)
6	4, 5	jaoi 705	. 2 ⊢ ((𝑆 = ℝ ∨ 𝑆 = ℂ) → 𝑆 ⊆ ℂ)
7	1, 6	syl 14	1 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   ⊆ wss 3071  {cpr 3528  ℂcc 7618  ℝcr 7619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-resscn 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-v 2688  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-sn 3533  df-pr 3534

This theorem is referenced by:  dvfgg  12826  dvaddxx  12836  dvmulxx  12837  dviaddf  12838  dvimulf  12839