ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvimulf GIF version
Theorem dvimulf 14255
Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dviaddf.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvaddf.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvaddf.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvaddf.df (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvimulf (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) βˆ˜π‘“ Β· 𝐺) βˆ˜π‘“ + ((𝑆 D 𝐺) βˆ˜π‘“ Β· 𝐹)))
Proof of Theorem dvimulf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.f . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
21adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
3 dviaddf.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
43adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
5 dvaddf.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
65adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvaddf.s . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
87adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
9 dvaddf.df . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
109eleq2d 2247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
1110biimpar 297 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
12 dvaddf.dg . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1312eleq2d 2247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯ ∈ 𝑋))
1413biimpar 297 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
152, 4, 6, 8, 11, 14dvmulxx 14253 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺))β€˜π‘₯) = ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
1615mpteq2dva 4095 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺))β€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))))
17 cnex 7937 . . . . . . 7 β„‚ ∈ V
1817a1i 9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
19 mulcl 7940 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
2019adantl 277 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
217, 3ssexd 4145 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
22 inidm 3346 . . . . . . 7 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
2320, 1, 5, 21, 21, 22off 6097 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
24 elpm2r 6668 . . . . . 6 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ ((𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
2518, 7, 23, 3, 24syl22anc 1239 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
26 dvfgg 14242 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺))βŸΆβ„‚)
277, 25, 26syl2anc 411 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺))βŸΆβ„‚)
28 recnprss 14241 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
297, 28syl 14 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
3029, 23, 3dvbss 14239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)) βŠ† 𝑋)
31 reldvg 14233 . . . . . . . . 9 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Rel (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)))
3229, 25, 31syl2anc 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Rel (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)))
3332adantr 276 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ Rel (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)))
3429adantr 276 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
35 elpm2r 6668 . . . . . . . . . . . . 13 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
3618, 7, 1, 3, 35syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
37 dvfgg 14242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
387, 36, 37syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
39 ffun 5370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (𝑆 D 𝐹))
40 funfvbrb 5631 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐹) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4138, 39, 403syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4241adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
4311, 42mpbid 147 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯))
44 elpm2r 6668 . . . . . . . . . . . . 13 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
4518, 7, 5, 3, 44syl22anc 1239 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
46 dvfgg 14242 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
477, 45, 46syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
48 ffun 5370 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (𝑆 D 𝐺))
49 funfvbrb 5631 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐺) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
5047, 48, 493syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
5150adantr 276 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯ ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
5214, 51mpbid 147 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯))
53 eqid 2177 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
542, 4, 6, 34, 43, 52, 53dvmulxxbr 14251 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯(𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
55 releldm 4864 . . . . . . 7 ((Rel (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)) ∧ π‘₯(𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)))
5633, 54, 55syl2anc 411 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ dom (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)))
5730, 56eqelssd 3176 . . . . 5 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)) = 𝑋)
5857feq2d 5355 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺))βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)):π‘‹βŸΆβ„‚))
5927, 58mpbid 147 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)):π‘‹βŸΆβ„‚)
6059feqmptd 5571 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺))β€˜π‘₯)))
619feq2d 5355 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚))
6238, 61mpbid 147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):π‘‹βŸΆβ„‚)
6362ffvelcdmda 5653 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
645ffvelcdmda 5653 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6563, 64mulcld 7980 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
6612feq2d 5355 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ ↔ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚))
6747, 66mpbid 147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
6867ffvelcdmda 5653 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
691ffvelcdmda 5653 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7068, 69mulcld 7980 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
7162feqmptd 5571 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯)))
725feqmptd 5571 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
7321, 63, 64, 71, 72offval2 6100 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹) βˆ˜π‘“ Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
7467feqmptd 5571 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯)))
751feqmptd 5571 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
7621, 68, 69, 74, 75offval2 6100 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐺) βˆ˜π‘“ Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
7721, 65, 70, 73, 76offval2 6100 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹) βˆ˜π‘“ Β· 𝐺) βˆ˜π‘“ + ((𝑆 D 𝐺) βˆ˜π‘“ Β· 𝐹)) = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)β€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)) + (((𝑆 D 𝐺)β€˜π‘₯) Β· (πΉβ€˜π‘₯)))))
7816, 60, 773eqtr4d 2220 1 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ Β· 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) βˆ˜π‘“ Β· 𝐺) βˆ˜π‘“ + ((𝑆 D 𝐺) βˆ˜π‘“ Β· 𝐹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  {cpr 3595   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066  dom cdm 4628   ∘ ccom 4632  Rel wrel 4633  Fun wfun 5212  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877   βˆ˜π‘“ cof 6083   ↑pm cpm 6651  β„‚cc 7811  β„cr 7812   + caddc 7816   Β· cmul 7818   βˆ’ cmin 8130  abscabs 11008  MetOpencmopn 13530   D cdv 14209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933  ax-addf 7935  ax-mulf 7936
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-of 6085  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-ntr 13681  df-cn 13773  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-cncf 14143  df-limced 14210  df-dvap 14211
This theorem is referenced by:  dvexp  14260  dvmptmulx  14267
  Copyright terms: Public domain W3C validator