Theorem dvimulf 14942

Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvaddf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dviaddf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvimulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))

Proof of Theorem dvimulf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvaddf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dviaddf.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
5		dvaddf.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
7		dvaddf.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9		dvaddf.df	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
10	9	eleq2d 2266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
11	10	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
12		dvaddf.dg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
13	12	eleq2d 2266	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	13	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
15	2, 4, 6, 8, 11, 14	dvmulxx 14940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑥) = ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
16	15	mpteq2dva 4123	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
17		cnex 8003	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
18	17	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
19		mulcl 8006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
21	7, 3	ssexd 4173	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
22		inidm 3372	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
23	20, 1, 5, 21, 21, 22	off 6148	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
24		elpm2r 6725	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
25	18, 7, 23, 3, 24	syl22anc 1250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
26		dvfgg 14924	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
27	7, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
28		recnprss 14923	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
29	7, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
30	29, 23, 3	dvbss 14921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ 𝑋)
31		reldvg 14915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
32	29, 25, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
33	32	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
34	29	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35		elpm2r 6725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
36	18, 7, 1, 3, 35	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
37		dvfgg 14924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
38	7, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
39		ffun 5410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
40		funfvbrb 5675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
41	38, 39, 40	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
42	41	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
43	11, 42	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
44		elpm2r 6725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
45	18, 7, 5, 3, 44	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46		dvfgg 14924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
47	7, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
48		ffun 5410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
49		funfvbrb 5675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
50	47, 48, 49	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
52	14, 51	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
53		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	2, 4, 6, 34, 43, 52, 53	dvmulxxbr 14938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
55		releldm 4901	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) ∧ 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
56	33, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
57	30, 56	eqelssd 3202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑋)
58	57	feq2d 5395	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
59	27, 58	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
60	59	feqmptd 5614	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑥)))
61	9	feq2d 5395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
62	38, 61	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
63	62	ffvelcdmda 5697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
64	5	ffvelcdmda 5697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
65	63, 64	mulcld 8047	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
66	12	feq2d 5395	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
67	47, 66	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
68	67	ffvelcdmda 5697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
69	1	ffvelcdmda 5697	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
70	68, 69	mulcld 8047	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
71	62	feqmptd 5614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
72	5	feqmptd 5614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
73	21, 63, 64, 71, 72	offval2 6151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
74	67	feqmptd 5614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
75	1	feqmptd 5614	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
76	21, 68, 69, 74, 75	offval2 6151	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
77	21, 65, 70, 73, 76	offval2 6151	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
78	16, 60, 77	3eqtr4d 2239	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  {cpr 3623   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094  dom cdm 4663   ∘ ccom 4667  Rel wrel 4668  Fun wfun 5252  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   ∘_𝑓 cof 6133   ↑_pm cpm 6708  ℂcc 7877  ℝcr 7878   + caddc 7882   · cmul 7884   − cmin 8197  abscabs 11162  MetOpencmopn 14097   D cdv 14891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-of 6135  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-pm 6710  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-ntr 14332  df-cn 14424  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-cncf 14807  df-limced 14892  df-dvap 14893

This theorem is referenced by:  dvexp  14947  dvmptmulx  14956