Theorem dvimulf 15459

Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvaddf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dviaddf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvimulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))

Proof of Theorem dvimulf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvaddf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dviaddf.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
5		dvaddf.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
7		dvaddf.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9		dvaddf.df	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
10	9	eleq2d 2300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
11	10	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
12		dvaddf.dg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
13	12	eleq2d 2300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	13	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
15	2, 4, 6, 8, 11, 14	dvmulxx 15457	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑥) = ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
16	15	mpteq2dva 4180	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
17		cnex 8161	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
18	17	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
19		mulcl 8164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
21	7, 3	ssexd 4230	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
22		inidm 3415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
23	20, 1, 5, 21, 21, 22	off 6253	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
24		elpm2r 6840	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
25	18, 7, 23, 3, 24	syl22anc 1274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
26		dvfgg 15441	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
27	7, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
28		recnprss 15440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
29	7, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
30	29, 23, 3	dvbss 15438	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ 𝑋)
31		reldvg 15432	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
32	29, 25, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
33	32	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
34	29	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35		elpm2r 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
36	18, 7, 1, 3, 35	syl22anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
37		dvfgg 15441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
38	7, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
39		ffun 5487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
40		funfvbrb 5763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
41	38, 39, 40	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
42	41	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
43	11, 42	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
44		elpm2r 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
45	18, 7, 5, 3, 44	syl22anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46		dvfgg 15441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
47	7, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
48		ffun 5487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
49		funfvbrb 5763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
50	47, 48, 49	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
52	14, 51	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
53		eqid 2230	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	2, 4, 6, 34, 43, 52, 53	dvmulxxbr 15455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
55		releldm 4969	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) ∧ 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
56	33, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
57	30, 56	eqelssd 3245	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑋)
58	57	feq2d 5472	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
59	27, 58	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
60	59	feqmptd 5702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑥)))
61	9	feq2d 5472	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
62	38, 61	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
63	62	ffvelcdmda 5785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
64	5	ffvelcdmda 5785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
65	63, 64	mulcld 8205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
66	12	feq2d 5472	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
67	47, 66	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
68	67	ffvelcdmda 5785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
69	1	ffvelcdmda 5785	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
70	68, 69	mulcld 8205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
71	62	feqmptd 5702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
72	5	feqmptd 5702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
73	21, 63, 64, 71, 72	offval2 6256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
74	67	feqmptd 5702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
75	1	feqmptd 5702	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
76	21, 68, 69, 74, 75	offval2 6256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
77	21, 65, 70, 73, 76	offval2 6256	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
78	16, 60, 77	3eqtr4d 2273	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   ⊆ wss 3199  {cpr 3671   class class class wbr 4089   ↦ cmpt 4151  dom cdm 4727   ∘ ccom 4731  Rel wrel 4732  Fun wfun 5322  ⟶wf 5324  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023   ∘_𝑓 cof 6238   ↑_pm cpm 6823  ℂcc 8035  ℝcr 8036   + caddc 8040   · cmul 8042   − cmin 8355  abscabs 11580  MetOpencmopn 14579   D cdv 15408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-nul 4216  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-iinf 4688  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-mulrcl 8136  ax-addcom 8137  ax-mulcom 8138  ax-addass 8139  ax-mulass 8140  ax-distr 8141  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-1rid 8144  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-precex 8147  ax-cnre 8148  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-apti 8152  ax-pre-ltadd 8153  ax-pre-mulgt0 8154  ax-pre-mulext 8155  ax-arch 8156  ax-caucvg 8157  ax-addf 8159  ax-mulf 8160

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 838  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-tr 4189  df-id 4392  df-po 4395  df-iso 4396  df-iord 4465  df-on 4467  df-ilim 4468  df-suc 4470  df-iom 4691  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-isom 5337  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-of 6240  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6476  df-frec 6562  df-map 6824  df-pm 6825  df-sup 7188  df-inf 7189  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225  df-sub 8357  df-neg 8358  df-reap 8760  df-ap 8767  df-div 8858  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-n0 9408  df-z 9485  df-uz 9761  df-q 9859  df-rp 9894  df-xneg 10012  df-xadd 10013  df-seqfrec 10716  df-exp 10807  df-cj 11425  df-re 11426  df-im 11427  df-rsqrt 11581  df-abs 11582  df-rest 13347  df-topgen 13366  df-psmet 14581  df-xmet 14582  df-met 14583  df-bl 14584  df-mopn 14585  df-top 14751  df-topon 14764  df-bases 14796  df-ntr 14849  df-cn 14941  df-cnp 14942  df-tx 15006  df-cncf 15324  df-limced 15409  df-dvap 15410

This theorem is referenced by:  dvexp  15464  dvmptmulx  15473