Theorem dvimulf 15423

Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvaddf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dviaddf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dvimulf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))

Proof of Theorem dvimulf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvaddf.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3		dviaddf.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
5		dvaddf.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
6	5	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
7		dvaddf.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8	7	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9		dvaddf.df	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
10	9	eleq2d 2299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
11	10	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
12		dvaddf.dg	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
13	12	eleq2d 2299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
14	13	biimpar 297	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
15	2, 4, 6, 8, 11, 14	dvmulxx 15421	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑥) = ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
16	15	mpteq2dva 4177	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
17		cnex 8149	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
18	17	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
19		mulcl 8152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
20	19	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
21	7, 3	ssexd 4227	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
22		inidm 3414	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
23	20, 1, 5, 21, 21, 22	off 6243	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
24		elpm2r 6830	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ ((𝐹 ∘𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
25	18, 7, 23, 3, 24	syl22anc 1272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
26		dvfgg 15405	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
27	7, 25, 26	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
28		recnprss 15404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
29	7, 28	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
30	29, 23, 3	dvbss 15402	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) ⊆ 𝑋)
31		reldvg 15396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
32	29, 25, 31	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
33	32	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
34	29	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35		elpm2r 6830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
36	18, 7, 1, 3, 35	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
37		dvfgg 15405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
38	7, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
39		ffun 5482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
40		funfvbrb 5756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
41	38, 39, 40	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
42	41	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
43	11, 42	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
44		elpm2r 6830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
45	18, 7, 5, 3, 44	syl22anc 1272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46		dvfgg 15405	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
47	7, 45, 46	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
48		ffun 5482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
49		funfvbrb 5756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
50	47, 48, 49	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
51	50	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
52	14, 51	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
53		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
54	2, 4, 6, 34, 43, 52, 53	dvmulxxbr 15419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
55		releldm 4965	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) ∧ 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
56	33, 54, 55	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)))
57	30, 56	eqelssd 3244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = 𝑋)
58	57	feq2d 5467	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
59	27, 58	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
60	59	feqmptd 5695	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺))‘𝑥)))
61	9	feq2d 5467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
62	38, 61	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
63	62	ffvelcdmda 5778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
64	5	ffvelcdmda 5778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
65	63, 64	mulcld 8193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
66	12	feq2d 5467	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
67	47, 66	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
68	67	ffvelcdmda 5778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
69	1	ffvelcdmda 5778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
70	68, 69	mulcld 8193	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)) ∈ ℂ)
71	62	feqmptd 5695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
72	5	feqmptd 5695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐺‘𝑥)))
73	21, 63, 64, 71, 72	offval2 6246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
74	67	feqmptd 5695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
75	1	feqmptd 5695	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (𝐹‘𝑥)))
76	21, 68, 69, 74, 75	offval2 6246	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥))))
77	21, 65, 70, 73, 76	offval2 6246	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹‘𝑥)))))
78	16, 60, 77	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198  {cpr 3668   class class class wbr 4086   ↦ cmpt 4148  dom cdm 4723   ∘ ccom 4727  Rel wrel 4728  Fun wfun 5318  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013   ∘_𝑓 cof 6228   ↑_pm cpm 6813  ℂcc 8023  ℝcr 8024   + caddc 8028   · cmul 8030   − cmin 8343  abscabs 11551  MetOpencmopn 14548   D cdv 15372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-1re 8119  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-mulrcl 8124  ax-addcom 8125  ax-mulcom 8126  ax-addass 8127  ax-mulass 8128  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0lt1 8131  ax-1rid 8132  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-precex 8135  ax-cnre 8136  ax-pre-ltirr 8137  ax-pre-ltwlin 8138  ax-pre-lttrn 8139  ax-pre-apti 8140  ax-pre-ltadd 8141  ax-pre-mulgt0 8142  ax-pre-mulext 8143  ax-arch 8144  ax-caucvg 8145  ax-addf 8147  ax-mulf 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-isom 5333  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-of 6230  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-map 6814  df-pm 6815  df-sup 7177  df-inf 7178  df-pnf 8209  df-mnf 8210  df-xr 8211  df-ltxr 8212  df-le 8213  df-sub 8345  df-neg 8346  df-reap 8748  df-ap 8755  df-div 8846  df-inn 9137  df-2 9195  df-3 9196  df-4 9197  df-n0 9396  df-z 9473  df-uz 9749  df-q 9847  df-rp 9882  df-xneg 10000  df-xadd 10001  df-seqfrec 10703  df-exp 10794  df-cj 11396  df-re 11397  df-im 11398  df-rsqrt 11552  df-abs 11553  df-rest 13317  df-topgen 13336  df-psmet 14550  df-xmet 14551  df-met 14552  df-bl 14553  df-mopn 14554  df-top 14715  df-topon 14728  df-bases 14760  df-ntr 14813  df-cn 14905  df-cnp 14906  df-tx 14970  df-cncf 15288  df-limced 15373  df-dvap 15374

This theorem is referenced by:  dvexp  15428  dvmptmulx  15437