Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvimulf GIF version

Theorem dvimulf 13009
 Description: The product rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvaddf.df (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
Assertion
Ref Expression
dvimulf (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))

Proof of Theorem dvimulf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvaddf.f . . . . 5 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
21adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
3 dviaddf.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑆)
43adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑋𝑆)
5 dvaddf.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
65adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
7 dvaddf.s . . . . 5 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
87adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
9 dvaddf.df . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
109eleq2d 2224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥𝑋))
1110biimpar 295 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
12 dvaddf.dg . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
1312eleq2d 2224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥𝑋))
1413biimpar 295 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
152, 4, 6, 8, 11, 14dvmulxx 13007 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))‘𝑥) = ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))))
1615mpteq2dva 4050 . 2 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))‘𝑥)) = (𝑥𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)))))
17 cnex 7835 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
1817a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → ℂ ∈ V)
19 mulcl 7838 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
2019adantl 275 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
217, 3ssexd 4100 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ V)
22 inidm 3312 . . . . . . 7 (𝑋𝑋) = 𝑋
2320, 1, 5, 21, 21, 22off 6034 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ)
24 elpm2r 6600 . . . . . 6 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ ((𝐹𝑓 · 𝐺):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
2518, 7, 23, 3, 24syl22anc 1218 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
26 dvfgg 12996 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
277, 25, 26syl2anc 409 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))⟶ℂ)
28 recnprss 12995 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
297, 28syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
3029, 23, 3dvbss 12993 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) ⊆ 𝑋)
31 reldvg 12987 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
3229, 25, 31syl2anc 409 . . . . . . . 8 (𝜑 → Rel (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
3332adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → Rel (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
3429adantr 274 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
35 elpm2r 6600 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
3618, 7, 1, 3, 35syl22anc 1218 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
37 dvfgg 12996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
387, 36, 37syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
39 ffun 5315 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
40 funfvbrb 5573 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
4138, 39, 403syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
4241adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
4311, 42mpbid 146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
44 elpm2r 6600 . . . . . . . . . . . . 13 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
4518, 7, 5, 3, 44syl22anc 1218 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
46 dvfgg 12996 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
477, 45, 46syl2anc 409 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
48 ffun 5315 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
49 funfvbrb 5573 . . . . . . . . . . 11 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
5047, 48, 493syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
5150adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
5214, 51mpbid 146 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
53 eqid 2154 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
542, 4, 6, 34, 43, 52, 53dvmulxxbr 13005 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))))
55 releldm 4814 . . . . . . 7 ((Rel (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) ∧ 𝑥(𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
5633, 54, 55syl2anc 409 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)))
5730, 56eqelssd 3143 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = 𝑋)
5857feq2d 5300 . . . 4 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
5927, 58mpbid 146 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
6059feqmptd 5514 . 2 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺))‘𝑥)))
619feq2d 5300 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
6238, 61mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
6362ffvelrnda 5595 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
645ffvelrnda 5595 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
6563, 64mulcld 7877 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
6612feq2d 5300 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
6747, 66mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
6867ffvelrnda 5595 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) ∈ ℂ)
691ffvelrnda 5595 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7068, 69mulcld 7877 . . 3 ((𝜑𝑥𝑋) → (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)) ∈ ℂ)
7162feqmptd 5514 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
725feqmptd 5514 . . . 4 (𝜑𝐺 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐺𝑥)))
7321, 63, 64, 71, 72offval2 6037 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥))))
7467feqmptd 5514 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺) = (𝑥𝑋 ↦ ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
751feqmptd 5514 . . . 4 (𝜑𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (𝐹𝑥)))
7621, 68, 69, 74, 75offval2 6037 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹) = (𝑥𝑋 ↦ (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥))))
7721, 65, 70, 73, 76offval2 6037 . 2 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)) = (𝑥𝑋 ↦ ((((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) · (𝐺𝑥)) + (((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) · (𝐹𝑥)))))
7816, 60, 773eqtr4d 2197 1 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 · 𝐺)) = (((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 · 𝐺) ∘𝑓 + ((𝑆 D 𝐺) ∘𝑓 · 𝐹)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 2125  Vcvv 2709   ⊆ wss 3098  {cpr 3557   class class class wbr 3961   ↦ cmpt 4021  dom cdm 4579   ∘ ccom 4583  Rel wrel 4584  Fun wfun 5157  ⟶wf 5159  ‘cfv 5163  (class class class)co 5814   ∘𝑓 cof 6020   ↑pm cpm 6583  ℂcc 7709  ℝcr 7710   + caddc 7714   · cmul 7716   − cmin 8025  abscabs 10874  MetOpencmopn 12324   D cdv 12963 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1481  ax-10 1482  ax-11 1483  ax-i12 1484  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1503  ax-i9 1507  ax-ial 1511  ax-i5r 1512  ax-13 2127  ax-14 2128  ax-ext 2136  ax-coll 4075  ax-sep 4078  ax-nul 4086  ax-pow 4130  ax-pr 4164  ax-un 4388  ax-setind 4490  ax-iinf 4541  ax-cnex 7802  ax-resscn 7803  ax-1cn 7804  ax-1re 7805  ax-icn 7806  ax-addcl 7807  ax-addrcl 7808  ax-mulcl 7809  ax-mulrcl 7810  ax-addcom 7811  ax-mulcom 7812  ax-addass 7813  ax-mulass 7814  ax-distr 7815  ax-i2m1 7816  ax-0lt1 7817  ax-1rid 7818  ax-0id 7819  ax-rnegex 7820  ax-precex 7821  ax-cnre 7822  ax-pre-ltirr 7823  ax-pre-ltwlin 7824  ax-pre-lttrn 7825  ax-pre-apti 7826  ax-pre-ltadd 7827  ax-pre-mulgt0 7828  ax-pre-mulext 7829  ax-arch 7830  ax-caucvg 7831  ax-addf 7833  ax-mulf 7834 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1740  df-eu 2006  df-mo 2007  df-clab 2141  df-cleq 2147  df-clel 2150  df-nfc 2285  df-ne 2325  df-nel 2420  df-ral 2437  df-rex 2438  df-reu 2439  df-rmo 2440  df-rab 2441  df-v 2711  df-sbc 2934  df-csb 3028  df-dif 3100  df-un 3102  df-in 3104  df-ss 3111  df-nul 3391  df-if 3502  df-pw 3541  df-sn 3562  df-pr 3563  df-op 3565  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3847  df-br 3962  df-opab 4022  df-mpt 4023  df-tr 4059  df-id 4248  df-po 4251  df-iso 4252  df-iord 4321  df-on 4323  df-ilim 4324  df-suc 4326  df-iom 4544  df-xp 4585  df-rel 4586  df-cnv 4587  df-co 4588  df-dm 4589  df-rn 4590  df-res 4591  df-ima 4592  df-iota 5128  df-fun 5165  df-fn 5166  df-f 5167  df-f1 5168  df-fo 5169  df-f1o 5170  df-fv 5171  df-isom 5172  df-riota 5770  df-ov 5817  df-oprab 5818  df-mpo 5819  df-of 6022  df-1st 6078  df-2nd 6079  df-recs 6242  df-frec 6328  df-map 6584  df-pm 6585  df-sup 6916  df-inf 6917  df-pnf 7893  df-mnf 7894  df-xr 7895  df-ltxr 7896  df-le 7897  df-sub 8027  df-neg 8028  df-reap 8429  df-ap 8436  df-div 8525  df-inn 8813  df-2 8871  df-3 8872  df-4 8873  df-n0 9070  df-z 9147  df-uz 9419  df-q 9507  df-rp 9539  df-xneg 9657  df-xadd 9658  df-seqfrec 10323  df-exp 10397  df-cj 10719  df-re 10720  df-im 10721  df-rsqrt 10875  df-abs 10876  df-rest 12292  df-topgen 12311  df-psmet 12326  df-xmet 12327  df-met 12328  df-bl 12329  df-mopn 12330  df-top 12335  df-topon 12348  df-bases 12380  df-ntr 12435  df-cn 12527  df-cnp 12528  df-tx 12592  df-cncf 12897  df-limced 12964  df-dvap 12965 This theorem is referenced by:  dvexp  13014  dvmptmulx  13021
 Copyright terms: Public domain W3C validator