ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvfgg GIF version

Theorem dvfgg 14160
Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for 𝑆 = ℝ and β„‚. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
dvfgg ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)

Proof of Theorem dvfgg
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recnprss 14159 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2 reldvg 14151 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Rel (𝑆 D 𝐹))
31, 2sylan 283 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Rel (𝑆 D 𝐹))
4 elpmi 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆))
54simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
65adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
76adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
84simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
98adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
101adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
119, 10sstrd 3166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
1211adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
13 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
1413cntoptopon 14035 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
15 resttopon 13674 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
1614, 15mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
17 topontop 13517 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
1910, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
20 toponuni 13518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
2116, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ 𝑆 = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
2221sseq2d 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (dom 𝐹 βŠ† 𝑆 ↔ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)))
2310, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (dom 𝐹 βŠ† 𝑆 ↔ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)))
249, 23mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
25 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)
2625ntrss2 13624 . . . . . . . . . . . . 13 ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹)
2719, 24, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹)
2827sselda 3156 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
297, 12, 28dvlemap 14152 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯}) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
3029fmpttd 5672 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))):{𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯}βŸΆβ„‚)
31 ssrab2 3241 . . . . . . . . . 10 {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† dom 𝐹
3231, 12sstrid 3167 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† β„‚)
3312, 28sseldd 3157 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
34 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹))
3527, 9sstrd 3166 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† 𝑆)
3635sselda 3156 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
3719adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
3824adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
3925ntropn 13620 . . . . . . . . . 10 ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
4037, 38, 39syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
41 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
42 rabss2 3239 . . . . . . . . . . 11 (((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹 β†’ {𝑀 ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯})
4327, 42syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ {𝑀 ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯})
4443adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ {𝑀 ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯})
4530, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13limcimo 14137 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
4645ex 115 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
47 moanimv 2101 . . . . . . 7 (βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
4846, 47sylibr 134 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
49 eqid 2177 . . . . . . . 8 ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)
50 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
5149, 13, 50, 10, 6, 9eldvap 14154 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
5251mobidv 2062 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (βˆƒ*𝑦 π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
5348, 52mpbird 167 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ βˆƒ*𝑦 π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)
5453alrimiv 1874 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)
55 dffun6 5231 . . . 4 (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ (Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦))
563, 54, 55sylanbrc 417 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Fun (𝑆 D 𝐹))
5756funfnd 5248 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
58 vex 2741 . . . . 5 𝑦 ∈ V
5958elrn 4871 . . . 4 (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)
6010, 6, 9dvcl 14155 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
6160ex 115 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
6261exlimdv 1819 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
6359, 62biimtrid 152 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
6463ssrdv 3162 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ran (𝑆 D 𝐹) βŠ† β„‚)
65 df-f 5221 . 2 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ ran (𝑆 D 𝐹) βŠ† β„‚))
6657, 64, 65sylanbrc 417 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  βˆ€wal 1351   = wceq 1353  βˆƒwex 1492  βˆƒ*wmo 2027   ∈ wcel 2148  {crab 2459   βŠ† wss 3130  {cpr 3594  βˆͺ cuni 3810   class class class wbr 4004   ↦ cmpt 4065  dom cdm 4627  ran crn 4628   ∘ ccom 4631  Rel wrel 4632  Fun wfun 5211   Fn wfn 5212  βŸΆwf 5213  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875   ↑pm cpm 6649  β„‚cc 7809  β„cr 7810   βˆ’ cmin 8128   # cap 8538   / cdiv 8629  abscabs 11006   β†Ύt crest 12688  MetOpencmopn 13448  Topctop 13500  TopOnctopon 13513  intcnt 13596   limβ„‚ climc 14126   D cdv 14127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-apti 7926  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928  ax-pre-mulext 7929  ax-arch 7930  ax-caucvg 7931
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-ilim 4370  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-isom 5226  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-frec 6392  df-map 6650  df-pm 6651  df-sup 6983  df-inf 6984  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-reap 8532  df-ap 8539  df-div 8630  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-n0 9177  df-z 9254  df-uz 9529  df-q 9620  df-rp 9654  df-xneg 9772  df-xadd 9773  df-seqfrec 10446  df-exp 10520  df-cj 10851  df-re 10852  df-im 10853  df-rsqrt 11007  df-abs 11008  df-rest 12690  df-topgen 12709  df-psmet 13450  df-xmet 13451  df-met 13452  df-bl 13453  df-mopn 13454  df-top 13501  df-topon 13514  df-bases 13546  df-ntr 13599  df-limced 14128  df-dvap 14129
This theorem is referenced by:  dvfpm  14161  dvfcnpm  14162  dvaddxx  14170  dvmulxx  14171  dviaddf  14172  dvimulf  14173  dvmptclx  14183
  Copyright terms: Public domain W3C validator