ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvfgg GIF version

Theorem dvfgg 14093
Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for 𝑆 = ℝ and β„‚. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
dvfgg ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)

Proof of Theorem dvfgg
Dummy variables 𝑀 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recnprss 14092 . . . . 5 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
2 reldvg 14084 . . . . 5 ((𝑆 βŠ† β„‚ ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Rel (𝑆 D 𝐹))
31, 2sylan 283 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Rel (𝑆 D 𝐹))
4 elpmi 6666 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† 𝑆))
54simpld 112 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
65adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
76adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
84simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
98adantl 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† 𝑆)
101adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
119, 10sstrd 3165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
1211adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
13 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
1413cntoptopon 13968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
15 resttopon 13607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝑆 βŠ† β„‚) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
1614, 15mpan 424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†))
17 topontop 13450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
1816, 17syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
1910, 18syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
20 toponuni 13451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ (TopOnβ€˜π‘†) β†’ 𝑆 = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
2116, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ 𝑆 = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
2221sseq2d 3185 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ (dom 𝐹 βŠ† 𝑆 ↔ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)))
2310, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (dom 𝐹 βŠ† 𝑆 ↔ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)))
249, 23mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
25 eqid 2177 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) = βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)
2625ntrss2 13557 . . . . . . . . . . . . 13 ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹)
2719, 24, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹)
2827sselda 3155 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
297, 12, 28dvlemap 14085 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯}) β†’ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)) ∈ β„‚)
3029fmpttd 5671 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))):{𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯}βŸΆβ„‚)
31 ssrab2 3240 . . . . . . . . . 10 {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† dom 𝐹
3231, 12sstrid 3166 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† β„‚)
3312, 28sseldd 3156 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
34 simpr 110 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹))
3527, 9sstrd 3165 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† 𝑆)
3635sselda 3155 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑆)
3719adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top)
3824adantr 276 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
3925ntropn 13553 . . . . . . . . . 10 ((((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 βŠ† βˆͺ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
4037, 38, 39syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∈ ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))
41 simpll 527 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
42 rabss2 3238 . . . . . . . . . . 11 (((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) βŠ† dom 𝐹 β†’ {𝑀 ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯})
4327, 42syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ {𝑀 ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯})
4443adantr 276 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ {𝑀 ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∣ 𝑀 # π‘₯} βŠ† {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯})
4530, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13limcimo 14070 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹)) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))
4645ex 115 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
47 moanimv 2101 . . . . . . 7 (βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)) ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) β†’ βˆƒ*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
4846, 47sylibr 134 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯)))
49 eqid 2177 . . . . . . . 8 ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆) = ((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆)
50 eqid 2177 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) = (𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯)))
5149, 13, 50, 10, 6, 9eldvap 14087 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
5251mobidv 2062 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (βˆƒ*𝑦 π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ βˆƒ*𝑦(π‘₯ ∈ ((intβ€˜((MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) β†Ύt 𝑆))β€˜dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑀 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑀 # π‘₯} ↦ (((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ (πΉβ€˜π‘₯)) / (𝑧 βˆ’ π‘₯))) limβ„‚ π‘₯))))
5348, 52mpbird 167 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ βˆƒ*𝑦 π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)
5453alrimiv 1874 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)
55 dffun6 5230 . . . 4 (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ (Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ βˆ€π‘₯βˆƒ*𝑦 π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦))
563, 54, 55sylanbrc 417 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ Fun (𝑆 D 𝐹))
5756funfnd 5247 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
58 vex 2740 . . . . 5 𝑦 ∈ V
5958elrn 4870 . . . 4 (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦)
6010, 6, 9dvcl 14088 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) ∧ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
6160ex 115 . . . . 5 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
6261exlimdv 1819 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯(𝑆 D 𝐹)𝑦 β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
6359, 62biimtrid 152 . . 3 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ β„‚))
6463ssrdv 3161 . 2 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ ran (𝑆 D 𝐹) βŠ† β„‚)
65 df-f 5220 . 2 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ ↔ ((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ ran (𝑆 D 𝐹) βŠ† β„‚))
6657, 64, 65sylanbrc 417 1 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  βˆ€wal 1351   = wceq 1353  βˆƒwex 1492  βˆƒ*wmo 2027   ∈ wcel 2148  {crab 2459   βŠ† wss 3129  {cpr 3593  βˆͺ cuni 3809   class class class wbr 4003   ↦ cmpt 4064  dom cdm 4626  ran crn 4627   ∘ ccom 4630  Rel wrel 4631  Fun wfun 5210   Fn wfn 5211  βŸΆwf 5212  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874   ↑pm cpm 6648  β„‚cc 7808  β„cr 7809   βˆ’ cmin 8127   # cap 8537   / cdiv 8628  abscabs 11005   β†Ύt crest 12687  MetOpencmopn 13381  Topctop 13433  TopOnctopon 13446  intcnt 13529   limβ„‚ climc 14059   D cdv 14060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-met 13385  df-bl 13386  df-mopn 13387  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479  df-ntr 13532  df-limced 14061  df-dvap 14062
This theorem is referenced by:  dvfpm  14094  dvfcnpm  14095  dvaddxx  14103  dvmulxx  14104  dviaddf  14105  dvimulf  14106  dvmptclx  14116
  Copyright terms: Public domain W3C validator