Theorem dvfgg 14950

Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for 𝑆 = ℝ and ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvfgg	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Proof of Theorem dvfgg

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnprss 14949	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		reldvg 14941	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))
4		elpmi 6728	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
5	4	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
8	4	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
10	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	9, 10	sstrd 3194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
13		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
14	13	cntoptopon 14794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
15		resttopon 14433	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16	14, 15	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
17		topontop 14276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
20		toponuni 14277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
22	21	sseq2d 3214	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (dom 𝐹 ⊆ 𝑆 ↔ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
23	10, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (dom 𝐹 ⊆ 𝑆 ↔ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
24	9, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
25		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
26	25	ntrss2 14383	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
27	19, 24, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
28	27	sselda 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
29	7, 12, 28	dvlemap 14942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
30	29	fmpttd 5718	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))):{𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥}⟶ℂ)
31		ssrab2 3269	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ dom 𝐹
32	31, 12	sstrid 3195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ)
33	12, 28	sseldd 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ℂ)
34		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
35	27, 9	sstrd 3194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆)
36	35	sselda 3184	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
37	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
38	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
39	25	ntropn 14379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
40	37, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
41		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
42		rabss2 3267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹 → {𝑤 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥})
43	27, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → {𝑤 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥})
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → {𝑤 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥})
45	30, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13	limcimo 14927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
46	45	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
47		moanimv 2120	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
48	46, 47	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
49		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
50		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
51	49, 13, 50, 10, 6, 9	eldvap 14944	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
52	51	mobidv 2081	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
53	48, 52	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
54	53	alrimiv 1888	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
55		dffun6 5273	. . . 4 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ (Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
56	3, 54, 55	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Fun (𝑆 D 𝐹))
57	56	funfnd 5290	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
58		vex 2766	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
59	58	elrn 4910	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
60	10, 6, 9	dvcl 14945	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
61	60	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
62	61	exlimdv 1833	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
63	59, 62	biimtrid 152	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) → 𝑦 ∈ ℂ))
64	63	ssrdv 3190	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ)
65		df-f 5263	. 2 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ))
66	57, 64, 65	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1362   = wceq 1364  ∃wex 1506  ∃*wmo 2046   ∈ wcel 2167  {crab 2479   ⊆ wss 3157  {cpr 3624  ∪ cuni 3840   class class class wbr 4034   ↦ cmpt 4095  dom cdm 4664  ran crn 4665   ∘ ccom 4668  Rel wrel 4669  Fun wfun 5253   Fn wfn 5254  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923   ↑_pm cpm 6710  ℂcc 7880  ℝcr 7881   − cmin 8200   # cap 8611   / cdiv 8702  abscabs 11165   ↾_t crest 12927  MetOpencmopn 14123  Topctop 14259  TopOnctopon 14272  intcnt 14355   lim_ℂ climc 14916   D cdv 14917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000  ax-arch 8001  ax-caucvg 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-map 6711  df-pm 6712  df-sup 7052  df-inf 7053  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-4 9054  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-q 9697  df-rp 9732  df-xneg 9850  df-xadd 9851  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-cj 11010  df-re 11011  df-im 11012  df-rsqrt 11166  df-abs 11167  df-rest 12929  df-topgen 12948  df-psmet 14125  df-xmet 14126  df-met 14127  df-bl 14128  df-mopn 14129  df-top 14260  df-topon 14273  df-bases 14305  df-ntr 14358  df-limced 14918  df-dvap 14919

This theorem is referenced by:  dvfpm  14951  dvfcnpm  14952  dvidsslem  14955  dvaddxx  14965  dvmulxx  14966  dviaddf  14967  dvimulf  14968  dvmptclx  14980