Theorem dvfgg 15160

Description: Explicitly write out the functionality condition on derivative for 𝑆 = ℝ and ℂ. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Feb-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 28-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
dvfgg	⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Proof of Theorem dvfgg

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recnprss 15159	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
2		reldvg 15151	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D 𝐹))
4		elpmi 6754	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ 𝑆))
5	4	simpld 112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
6	5	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
8	4	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
9	8	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ 𝑆)
10	1	adantr 276	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → 𝑆 ⊆ ℂ)
11	9, 10	sstrd 3203	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
13		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
14	13	cntoptopon 15004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ)
15		resttopon 14643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝑆 ⊆ ℂ) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
16	14, 15	mpan 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆))
17		topontop 14486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
18	16, 17	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
20		toponuni 14487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ (TopOn‘𝑆) → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
21	16, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → 𝑆 = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
22	21	sseq2d 3223	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → (dom 𝐹 ⊆ 𝑆 ↔ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
23	10, 22	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (dom 𝐹 ⊆ 𝑆 ↔ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)))
24	9, 23	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
25		eqid 2205	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
26	25	ntrss2 14593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
27	19, 24, 26	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹)
28	27	sselda 3193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
29	7, 12, 28	dvlemap 15152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) ∧ 𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥}) → (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)) ∈ ℂ)
30	29	fmpttd 5735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))):{𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥}⟶ℂ)
31		ssrab2 3278	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ dom 𝐹
32	31, 12	sstrid 3204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ ℂ)
33	12, 28	sseldd 3194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ℂ)
34		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹))
35	27, 9	sstrd 3203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ 𝑆)
36	35	sselda 3193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝑆)
37	19	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top)
38	24	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
39	25	ntropn 14589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) ∈ Top ∧ dom 𝐹 ⊆ ∪ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
40	37, 38, 39	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∈ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))
41		simpll 527	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
42		rabss2 3276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ⊆ dom 𝐹 → {𝑤 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥})
43	27, 42	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → {𝑤 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥})
44	43	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → {𝑤 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∣ 𝑤 # 𝑥} ⊆ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥})
45	30, 32, 33, 34, 36, 40, 41, 44, 13	limcimo 15137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹)) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))
46	45	ex 115	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
47		moanimv 2129	. . . . . . 7 ⊢ (∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)) ↔ (𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) → ∃*𝑦 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
48	46, 47	sylibr 134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥)))
49		eqid 2205	. . . . . . . 8 ⊢ ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆) = ((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆)
50		eqid 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) = (𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥)))
51	49, 13, 50, 10, 6, 9	eldvap 15154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
52	51	mobidv 2090	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 ↔ ∃*𝑦(𝑥 ∈ ((int‘((MetOpen‘(abs ∘ − )) ↾t 𝑆))‘dom 𝐹) ∧ 𝑦 ∈ ((𝑧 ∈ {𝑤 ∈ dom 𝐹 ∣ 𝑤 # 𝑥} ↦ (((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝑥)) / (𝑧 − 𝑥))) limℂ 𝑥))))
53	48, 52	mpbird 167	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
54	53	alrimiv 1897	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
55		dffun6 5285	. . . 4 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) ↔ (Rel (𝑆 D 𝐹) ∧ ∀𝑥∃*𝑦 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦))
56	3, 54, 55	sylanbrc 417	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Fun (𝑆 D 𝐹))
57	56	funfnd 5302	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹))
58		vex 2775	. . . . 5 ⊢ 𝑦 ∈ V
59	58	elrn 4921	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) ↔ ∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦)
60	10, 6, 9	dvcl 15155	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) ∧ 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦) → 𝑦 ∈ ℂ)
61	60	ex 115	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
62	61	exlimdv 1842	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (∃𝑥 𝑥(𝑆 D 𝐹)𝑦 → 𝑦 ∈ ℂ))
63	59, 62	biimtrid 152	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑦 ∈ ran (𝑆 D 𝐹) → 𝑦 ∈ ℂ))
64	63	ssrdv 3199	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ)
65		df-f 5275	. 2 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ ((𝑆 D 𝐹) Fn dom (𝑆 D 𝐹) ∧ ran (𝑆 D 𝐹) ⊆ ℂ))
66	57, 64, 65	sylanbrc 417	1 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  ∀wal 1371   = wceq 1373  ∃wex 1515  ∃*wmo 2055   ∈ wcel 2176  {crab 2488   ⊆ wss 3166  {cpr 3634  ∪ cuni 3850   class class class wbr 4044   ↦ cmpt 4105  dom cdm 4675  ran crn 4676   ∘ ccom 4679  Rel wrel 4680  Fun wfun 5265   Fn wfn 5266  ⟶wf 5267  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944   ↑_pm cpm 6736  ℂcc 7923  ℝcr 7924   − cmin 8243   # cap 8654   / cdiv 8745  abscabs 11308   ↾_t crest 13071  MetOpencmopn 14303  Topctop 14469  TopOnctopon 14482  intcnt 14565   lim_ℂ climc 15126   D cdv 15127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-pre-mulext 8043  ax-arch 8044  ax-caucvg 8045

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-id 4340  df-po 4343  df-iso 4344  df-iord 4413  df-on 4415  df-ilim 4416  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-frec 6477  df-map 6737  df-pm 6738  df-sup 7086  df-inf 7087  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-ap 8655  df-div 8746  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-n0 9296  df-z 9373  df-uz 9649  df-q 9741  df-rp 9776  df-xneg 9894  df-xadd 9895  df-seqfrec 10593  df-exp 10684  df-cj 11153  df-re 11154  df-im 11155  df-rsqrt 11309  df-abs 11310  df-rest 13073  df-topgen 13092  df-psmet 14305  df-xmet 14306  df-met 14307  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-top 14470  df-topon 14483  df-bases 14515  df-ntr 14568  df-limced 15128  df-dvap 15129

This theorem is referenced by:  dvfpm  15161  dvfcnpm  15162  dvidsslem  15165  dvaddxx  15175  dvmulxx  15176  dviaddf  15177  dvimulf  15178  dvmptclx  15190