ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  sseq1 GIF version

Theorem sseq1 3045
Description: Equality theorem for subclasses. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 21-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
sseq1 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))

Proof of Theorem sseq1
StepHypRef Expression
1 eqss 3038 . 2 (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴))
2 sstr2 3030 . . . 4 (𝐵𝐴 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
32adantl 271 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
4 sstr2 3030 . . . 4 (𝐴𝐵 → (𝐵𝐶𝐴𝐶))
54adantr 270 . . 3 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐵𝐶𝐴𝐶))
63, 5impbid 127 . 2 ((𝐴𝐵𝐵𝐴) → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
71, 6sylbi 119 1 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴𝐶𝐵𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wss 2997
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-11 1442  ax-4 1445  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-in 3003  df-ss 3010
This theorem is referenced by:  sseq12  3047  sseq1i  3048  sseq1d  3051  nssne2  3081  sbss  3386  pwjust  3426  elpw  3431  elpwg  3433  sssnr  3592  ssprr  3595  sstpr  3596  unimax  3682  trss  3937  elssabg  3976  bnd2  4000  exmidexmid  4022  mss  4044  exss  4045  frforeq2  4163  ordtri2orexmid  4329  ontr2exmid  4331  onsucsssucexmid  4333  reg2exmidlema  4340  sucprcreg  4355  ordtri2or2exmid  4377  onintexmid  4378  tfis  4388  tfisi  4392  elnn  4410  nnregexmid  4424  releq  4508  xpsspw  4538  iss  4745  relcnvtr  4937  iotass  4984  fununi  5068  funcnvuni  5069  funimaexglem  5083  ffoss  5269  ssimaex  5349  tfrlem1  6055  nnsucsssuc  6235  qsss  6331  phpm  6561  ssfiexmid  6572  findcard2d  6587  findcard2sd  6588  diffifi  6590  isinfinf  6593  fisseneq  6621  fidcenumlemrk  6642  fidcenumlemr  6643  sbthlem2  6646  isbth  6655  elinp  7012  zfz1isolem1  10210  zfz1iso  10211  fimaxre2  10622  sumeq1  10708  fsum2d  10792  fsumabs  10822  fsumiun  10833  bj-om  11478  bj-2inf  11479  bj-nntrans  11492  bj-omtrans  11497  el2oss1o  11533
  Copyright terms: Public domain W3C validator