Theorem sseq1 3164

Description: Equality theorem for subclasses. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 21-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sseq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3156	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		sstr2 3148	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	2	adantl 275	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶))
4		sstr2 3148	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
5	4	adantr 274	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
6	3, 5	impbid 128	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
7	1, 6	sylbi 120	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ⊆ wss 3115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-11 1494  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-in 3121  df-ss 3128

This theorem is referenced by:  sseq12  3166  sseq1i  3167  sseq1d  3170  nssne2  3200  sbss  3516  pwjust  3559  elpw  3564  elpwg  3566  sssnr  3732  ssprr  3735  sstpr  3736  unimax  3822  trss  4088  elssabg  4126  bnd2  4151  exmidexmid  4174  exmidsssn  4180  exmidsssnc  4181  mss  4203  exss  4204  frforeq2  4322  ordtri2orexmid  4499  ontr2exmid  4501  onsucsssucexmid  4503  reg2exmidlema  4510  sucprcreg  4525  ordtri2or2exmid  4547  ontri2orexmidim  4548  onintexmid  4549  tfis  4559  tfisi  4563  elomssom  4581  nnregexmid  4597  releq  4685  xpsspw  4715  iss  4929  relcnvtr  5122  iotass  5169  fununi  5255  funcnvuni  5256  funimaexglem  5270  ffoss  5463  ssimaex  5546  tfrlem1  6272  el2oss1o  6407  nnsucsssuc  6456  qsss  6556  phpm  6827  ssfiexmid  6838  findcard2d  6853  findcard2sd  6854  diffifi  6856  isinfinf  6859  fiintim  6890  fisseneq  6893  fidcenumlemrk  6915  fidcenumlemr  6916  sbthlem2  6919  isbth  6928  ctssdclemr  7073  onntri45  7193  elinp  7411  sup3exmid  8848  zfz1isolem1  10749  zfz1iso  10750  fimaxre2  11164  sumeq1  11292  fsum2d  11372  fsumabs  11402  fsumiun  11414  prodeq1f  11489  fprod2d  11560  exmidunben  12355  ctiunct  12369  ssomct  12374  restsspw  12561  uniopn  12599  fiinopn  12602  fiinbas  12647  baspartn  12648  eltg2  12653  eltg3  12657  topbas  12667  clsval  12711  neival  12743  neiint  12745  neipsm  12754  opnneissb  12755  opnssneib  12756  innei  12763  restbasg  12768  cnpdis  12842  txbas  12858  eltx  12859  neitx  12868  txlm  12879  blssexps  13029  blssex  13030  neibl  13091  metrest  13106  xmettx  13110  tgioo  13146  tgqioo  13147  limcimolemlt  13233  recnprss  13256  bj-om  13779  bj-2inf  13780  bj-nntrans  13793  bj-omtrans  13798  exmid1stab  13840  subctctexmid  13841  pw1nct  13843