Theorem sseq1 3250

Description: Equality theorem for subclasses. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 21-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sseq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3242	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		sstr2 3234	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶))
4		sstr2 3234	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
6	3, 5	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
7	1, 6	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  sseq12  3252  sseq1i  3253  sseq1d  3256  nssne2  3286  sbss  3602  pwjust  3653  elpw  3658  elpwg  3660  sssnr  3836  ssprr  3839  sstpr  3840  unimax  3927  trss  4196  elssabg  4238  bnd2  4263  exmidexmid  4286  exmidsssn  4292  exmidsssnc  4293  exmid1stab  4298  mss  4318  exss  4319  frforeq2  4442  ordtri2orexmid  4621  ontr2exmid  4623  onsucsssucexmid  4625  reg2exmidlema  4632  sucprcreg  4647  ordtri2or2exmid  4669  ontri2orexmidim  4670  onintexmid  4671  tfis  4681  tfisi  4685  elomssom  4703  nnregexmid  4719  releq  4808  xpsspw  4838  iss  5059  relcnvtr  5256  iotass  5304  fununi  5398  funcnvuni  5399  funimaexglem  5413  ffoss  5616  ssimaex  5707  tfrlem1  6474  el2oss1o  6611  nnsucsssuc  6660  qsss  6763  phpm  7052  ssfiexmid  7063  ssfiexmidt  7065  findcard2d  7080  findcard2sd  7081  diffifi  7083  isinfinf  7086  fiintim  7123  fisseneq  7127  fidcenumlemrk  7153  fidcenumlemr  7154  sbthlem2  7157  isbth  7166  ctssdclemr  7311  onntri45  7459  tapeq1  7471  elinp  7694  sup3exmid  9137  zfz1isolem1  11105  zfz1iso  11106  fimaxre2  11792  sumeq1  11920  fsum2d  12001  fsumabs  12031  fsumiun  12043  prodeq1f  12118  fprod2d  12189  exmidunben  13052  ctiunct  13066  ssomct  13071  restsspw  13337  lspval  14410  uniopn  14731  fiinopn  14734  fiinbas  14779  baspartn  14780  eltg2  14783  eltg3  14787  topbas  14797  clsval  14841  neival  14873  neiint  14875  neipsm  14884  opnneissb  14885  opnssneib  14886  innei  14893  restbasg  14898  cnpdis  14972  txbas  14988  eltx  14989  neitx  14998  txlm  15009  blssexps  15159  blssex  15160  neibl  15221  metrest  15236  xmettx  15240  tgioo  15284  tgqioo  15285  limcimolemlt  15394  recnprss  15417  dvmptfsum  15455  lpvtx  15936  issubgr2  16115  subgrprop2  16117  egrsubgr  16120  0uhgrsubgr  16122  bj-om  16558  bj-2inf  16559  bj-nntrans  16572  bj-omtrans  16577  subctctexmid  16627  domomsubct  16628  pw1nct  16630