Theorem sseq1 3265

Description: Equality theorem for subclasses. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 21-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sseq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3257	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		sstr2 3249	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶))
4		sstr2 3249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
6	3, 5	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
7	1, 6	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  sseq12  3267  sseq1i  3268  sseq1d  3271  nssne2  3301  sbss  3621  pwjust  3675  elpw  3680  elpwg  3682  sssnr  3862  ssprr  3865  sstpr  3866  unimax  3953  trss  4222  elssabg  4265  bnd2  4291  exmidexmid  4314  exmidsssn  4320  exmidsssnc  4321  exmid1stab  4326  mss  4347  exss  4348  frforeq2  4471  ordtri2orexmid  4650  ontr2exmid  4652  onsucsssucexmid  4654  reg2exmidlema  4661  sucprcreg  4676  ordtri2or2exmid  4698  ontri2orexmidim  4699  onintexmid  4700  tfis  4710  tfisi  4714  elomssom  4732  nnregexmid  4748  releq  4837  xpsspw  4867  iss  5089  relcnvtr  5287  iotass  5335  fununi  5429  funcnvuni  5430  funimaexglem  5444  ffoss  5652  ssimaex  5743  tfrlem1  6552  el2oss1o  6689  nnsucsssuc  6738  qsss  6841  phpm  7133  ssfiexmid  7144  ssfiexmidt  7146  findcard2d  7161  findcard2sd  7162  diffifi  7164  isinfinf  7167  fiintim  7204  fisseneq  7208  fidcenumlemrk  7237  fidcenumlemr  7238  sbthlem2  7241  isbth  7250  ctssdclemr  7416  onntri45  7564  papeq1  7573  tapeq1  7582  elinp  7805  sup3exmid  9251  zfz1isolem1  11240  zfz1iso  11241  fimaxre2  11941  sumeq1  12069  fsum2d  12150  fsumabs  12180  fsumiun  12192  prodeq1f  12267  fprod2d  12338  exmidunben  13265  ctiunct  13279  ssomct  13284  restsspw  13550  lspval  14668  uniopn  14996  fiinopn  14999  fiinbas  15044  baspartn  15045  eltg2  15048  eltg3  15052  topbas  15062  clsval  15106  neival  15138  neiint  15140  neipsm  15149  opnneissb  15150  opnssneib  15151  innei  15158  restbasg  15163  cnpdis  15237  txbas  15253  eltx  15254  neitx  15263  txlm  15274  blssexps  15424  blssex  15425  neibl  15486  metrest  15501  xmettx  15505  tgioo  15549  tgqioo  15550  limcimolemlt  15659  recnprss  15682  dvmptfsum  15720  lpvtx  16204  issubgr2  16383  subgrprop2  16385  egrsubgr  16388  0uhgrsubgr  16390  bj-om  16847  bj-2inf  16848  bj-nntrans  16861  bj-omtrans  16866  subctctexmid  16914  domomsubct  16915  pw1nct  16917