Theorem sseq1 3265

Description: Equality theorem for subclasses. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 21-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
sseq1	⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Proof of Theorem sseq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3257	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2		sstr2 3249	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶))
3	2	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐶 → 𝐵 ⊆ 𝐶))
4		sstr2 3249	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
5	4	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐶))
6	3, 5	impbid 129	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))
7	1, 6	sylbi 121	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 ⊆ 𝐶 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ⊆ wss 3214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-in 3220  df-ss 3227

This theorem is referenced by:  sseq12  3267  sseq1i  3268  sseq1d  3271  nssne2  3301  sbss  3621  pwjust  3675  elpw  3680  elpwg  3682  sssnr  3862  ssprr  3865  sstpr  3866  unimax  3953  trss  4222  elssabg  4265  bnd2  4291  exmidexmid  4314  exmidsssn  4320  exmidsssnc  4321  exmid1stab  4326  mss  4347  exss  4348  frforeq2  4471  ordtri2orexmid  4650  ontr2exmid  4652  onsucsssucexmid  4654  reg2exmidlema  4661  sucprcreg  4676  ordtri2or2exmid  4698  ontri2orexmidim  4699  onintexmid  4700  tfis  4710  tfisi  4714  elomssom  4732  nnregexmid  4748  releq  4837  xpsspw  4867  iss  5089  relcnvtr  5287  iotass  5335  fununi  5429  funcnvuni  5430  funimaexglem  5444  ffoss  5652  ssimaex  5743  tfrlem1  6552  el2oss1o  6689  nnsucsssuc  6738  qsss  6841  phpm  7133  ssfiexmid  7144  ssfiexmidt  7146  findcard2d  7161  findcard2sd  7162  diffifi  7164  isinfinf  7167  fiintim  7204  fisseneq  7208  fidcenumlemrk  7237  fidcenumlemr  7238  sbthlem2  7241  isbth  7250  ctssdclemr  7416  onntri45  7564  papeq1  7573  tapeq1  7582  elinp  7805  sup3exmid  9248  zfz1isolem1  11237  zfz1iso  11238  fimaxre2  11937  sumeq1  12065  fsum2d  12146  fsumabs  12176  fsumiun  12188  prodeq1f  12263  fprod2d  12334  exmidunben  13261  ctiunct  13275  ssomct  13280  restsspw  13546  lspval  14650  uniopn  14978  fiinopn  14981  fiinbas  15026  baspartn  15027  eltg2  15030  eltg3  15034  topbas  15044  clsval  15088  neival  15120  neiint  15122  neipsm  15131  opnneissb  15132  opnssneib  15133  innei  15140  restbasg  15145  cnpdis  15219  txbas  15235  eltx  15236  neitx  15245  txlm  15256  blssexps  15406  blssex  15407  neibl  15468  metrest  15483  xmettx  15487  tgioo  15531  tgqioo  15532  limcimolemlt  15641  recnprss  15664  dvmptfsum  15702  lpvtx  16186  issubgr2  16365  subgrprop2  16367  egrsubgr  16370  0uhgrsubgr  16372  bj-om  16819  bj-2inf  16820  bj-nntrans  16833  bj-omtrans  16838  subctctexmid  16886  domomsubct  16887  pw1nct  16889