ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvaddxx GIF version

Theorem dvaddxx 14103
Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (more general) relation version, see dvaddxxbr 14101. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvadd.x (𝜑𝑋𝑆)
dvaddxx.g (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvadd.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvadd.df (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
dvadd.dg (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
Assertion
Ref Expression
dvaddxx (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvaddxx
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
2 cnex 7934 . . . . . 6 ℂ ∈ V
32a1i 9 . . . . 5 (𝜑 → ℂ ∈ V)
4 addcl 7935 . . . . . . 7 ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
54adantl 277 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
6 dvadd.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
7 dvaddxx.g . . . . . 6 (𝜑𝐺:𝑋⟶ℂ)
8 dvadd.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑆)
91, 8ssexd 4143 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ V)
10 inidm 3344 . . . . . 6 (𝑋𝑋) = 𝑋
115, 6, 7, 9, 9, 10off 6094 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
12 elpm2r 6665 . . . . 5 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ ((𝐹𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
133, 1, 11, 8, 12syl22anc 1239 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
14 dvfgg 14093 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝐹𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
151, 13, 14syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
1615ffund 5369 . 2 (𝜑 → Fun (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)))
17 recnprss 14092 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
181, 17syl 14 . . 3 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
19 dvadd.df . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
20 elpm2r 6665 . . . . . . 7 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
213, 1, 6, 8, 20syl22anc 1239 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
22 dvfgg 14093 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
231, 21, 22syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
24 ffun 5368 . . . . 5 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
25 funfvbrb 5629 . . . . 5 (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
2623, 24, 253syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
2719, 26mpbid 147 . . 3 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))
28 dvadd.dg . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
29 elpm2r 6665 . . . . . . 7 (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
303, 1, 7, 8, 29syl22anc 1239 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
31 dvfgg 14093 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
321, 30, 31syl2anc 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
33 ffun 5368 . . . . 5 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
34 funfvbrb 5629 . . . . 5 (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝐶)))
3532, 33, 343syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝐶(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝐶)))
3628, 35mpbid 147 . . 3 (𝜑𝐶(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝐶))
37 eqid 2177 . . 3 (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
386, 8, 7, 18, 27, 36, 37dvaddxxbr 14101 . 2 (𝜑𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝐶)))
39 funbrfv 5554 . 2 (Fun (𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺)) → (𝐶(𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝐶)) → ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝐶))))
4016, 38, 39sylc 62 1 (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹𝑓 + 𝐺))‘𝐶) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  wss 3129  {cpr 3593   class class class wbr 4003  dom cdm 4626  ccom 4630  Fun wfun 5210  wf 5212  cfv 5216  (class class class)co 5874  𝑓 cof 6080  pm cpm 6648  cc 7808  cr 7809   + caddc 7813  cmin 8127  abscabs 11005  MetOpencmopn 13381   D cdv 14060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928  ax-arch 7929  ax-caucvg 7930  ax-addf 7932
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-ilim 4369  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-isom 5225  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-of 6082  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-frec 6391  df-map 6649  df-pm 6650  df-sup 6982  df-inf 6983  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-div 8629  df-inn 8919  df-2 8977  df-3 8978  df-4 8979  df-n0 9176  df-z 9253  df-uz 9528  df-q 9619  df-rp 9653  df-xneg 9771  df-xadd 9772  df-seqfrec 10445  df-exp 10519  df-cj 10850  df-re 10851  df-im 10852  df-rsqrt 11006  df-abs 11007  df-rest 12689  df-topgen 12708  df-psmet 13383  df-xmet 13384  df-met 13385  df-bl 13386  df-mopn 13387  df-top 13434  df-topon 13447  df-bases 13479  df-ntr 13532  df-cn 13624  df-cnp 13625  df-tx 13689  df-limced 14061  df-dvap 14062
This theorem is referenced by:  dviaddf  14105
  Copyright terms: Public domain W3C validator