ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dvaddxx GIF version

Theorem dvaddxx 14307
Description: The sum rule for derivatives at a point. For the (more general) relation version, see dvaddxxbr 14305. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 25-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
dvadd.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvadd.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvaddxx.g (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvadd.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvadd.df (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
dvadd.dg (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
Assertion
Ref Expression
dvaddxx (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺))β€˜πΆ) = (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) + ((𝑆 D 𝐺)β€˜πΆ)))

Proof of Theorem dvaddxx
Dummy variables 𝑒 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvadd.s . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
2 cnex 7938 . . . . . 6 β„‚ ∈ V
32a1i 9 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
4 addcl 7939 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚)
54adantl 277 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚)
6 dvadd.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
7 dvaddxx.g . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚)
8 dvadd.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
91, 8ssexd 4145 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
10 inidm 3346 . . . . . 6 (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
115, 6, 7, 9, 9, 10off 6098 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚)
12 elpm2r 6669 . . . . 5 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ ((𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺):π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
133, 1, 11, 8, 12syl22anc 1239 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
14 dvfgg 14297 . . . 4 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺) ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺))βŸΆβ„‚)
151, 13, 14syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺))βŸΆβ„‚)
1615ffund 5371 . 2 (πœ‘ β†’ Fun (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)))
17 recnprss 14296 . . . 4 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
181, 17syl 14 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
19 dvadd.df . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
20 elpm2r 6669 . . . . . . 7 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
213, 1, 6, 8, 20syl22anc 1239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
22 dvfgg 14297 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐹 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
231, 21, 22syl2anc 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
24 ffun 5370 . . . . 5 ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (𝑆 D 𝐹))
25 funfvbrb 5632 . . . . 5 (Fun (𝑆 D 𝐹) β†’ (𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐢(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))
2623, 24, 253syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝐢(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))
2719, 26mpbid 147 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ))
28 dvadd.dg . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
29 elpm2r 6669 . . . . . . 7 (((β„‚ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚}) ∧ (𝐺:π‘‹βŸΆβ„‚ ∧ 𝑋 βŠ† 𝑆)) β†’ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
303, 1, 7, 8, 29syl22anc 1239 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆))
31 dvfgg 14297 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ 𝐺 ∈ (β„‚ ↑pm 𝑆)) β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
321, 30, 31syl2anc 411 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚)
33 ffun 5370 . . . . 5 ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)βŸΆβ„‚ β†’ Fun (𝑆 D 𝐺))
34 funfvbrb 5632 . . . . 5 (Fun (𝑆 D 𝐺) β†’ (𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝐢(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜πΆ)))
3532, 33, 343syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝐢(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜πΆ)))
3628, 35mpbid 147 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)β€˜πΆ))
37 eqid 2177 . . 3 (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
386, 8, 7, 18, 27, 36, 37dvaddxxbr 14305 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢(𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) + ((𝑆 D 𝐺)β€˜πΆ)))
39 funbrfv 5557 . 2 (Fun (𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺)) β†’ (𝐢(𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) + ((𝑆 D 𝐺)β€˜πΆ)) β†’ ((𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺))β€˜πΆ) = (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) + ((𝑆 D 𝐺)β€˜πΆ))))
4016, 38, 39sylc 62 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝐹 βˆ˜π‘“ + 𝐺))β€˜πΆ) = (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) + ((𝑆 D 𝐺)β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131  {cpr 3595   class class class wbr 4005  dom cdm 4628   ∘ ccom 4632  Fun wfun 5212  βŸΆwf 5214  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5878   βˆ˜π‘“ cof 6084   ↑pm cpm 6652  β„‚cc 7812  β„cr 7813   + caddc 7817   βˆ’ cmin 8131  abscabs 11009  MetOpencmopn 13585   D cdv 14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933  ax-caucvg 7934  ax-addf 7936
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-of 6086  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-map 6653  df-pm 6654  df-sup 6986  df-inf 6987  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-4 8983  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-xneg 9775  df-xadd 9776  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-rest 12696  df-topgen 12715  df-psmet 13587  df-xmet 13588  df-met 13589  df-bl 13590  df-mopn 13591  df-top 13638  df-topon 13651  df-bases 13683  df-ntr 13736  df-cn 13828  df-cnp 13829  df-tx 13893  df-limced 14265  df-dvap 14266
This theorem is referenced by:  dviaddf  14309
  Copyright terms: Public domain W3C validator