Theorem elpri 3599

Description: If a class is an element of a pair, then it is one of the two paired elements. (Contributed by Scott Fenton, 1-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elpri	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))

Proof of Theorem elpri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprg 3596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
2	1	ibi 175	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  {cpr 3577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-v 2728  df-un 3120  df-sn 3582  df-pr 3583

This theorem is referenced by:  nelpri  3600  nelprd  3602  opth1  4214  0nelop  4226  ontr2exmid  4502  onintexmid  4550  reg3exmidlemwe  4556  funtpg  5239  ftpg  5669  acexmidlemcase  5837  2oconcl  6407  el2oss1o  6411  en2eqpr  6873  eldju1st  7036  nninfisol  7097  finomni  7104  exmidomniim  7105  ismkvnex  7119  exmidonfinlem  7149  exmidfodomrlemr  7158  exmidfodomrlemrALT  7159  exmidaclem  7164  sup3exmid  8852  m1expcl2  10477  maxleim  11147  maxleast  11155  zmaxcl  11166  minmax  11171  xrmaxleim  11185  xrmaxaddlem  11201  xrminmax  11206  prm23lt5  12195  unct  12375  qtopbas  13162  limcimolemlt  13273  recnprss  13296  coseq0negpitopi  13397  lgslem4  13544  012of  13875  2o01f  13876  nninfalllem1  13888  nninfall  13889  nninfsellemqall  13895  nninfomnilem  13898  trilpolemclim  13915  trilpolemcl  13916  trilpolemisumle  13917  trilpolemeq1  13919  trilpolemlt1  13920  iswomni0  13930  nconstwlpolemgt0  13942  nconstwlpolem  13943