Theorem elpri 3717

Description: If a class is an element of a pair, then it is one of the two paired elements. (Contributed by Scott Fenton, 1-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elpri	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))

Proof of Theorem elpri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprg 3714	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
2	1	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 716   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  {cpr 3695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701

This theorem is referenced by:  nelpri  3718  nelprd  3720  elpr2elpr  3885  opth1  4357  0nelop  4369  ontr2exmid  4652  onintexmid  4700  reg3exmidlemwe  4706  funtpg  5412  ftpg  5873  acexmidlemcase  6053  2oconcl  6685  el2oss1o  6689  pw2f1odclem  7100  en2eqpr  7180  2omap  7282  eldju1st  7375  nninfisol  7437  finomni  7444  exmidomniim  7445  ismkvnex  7459  nninfwlpoimlemginf  7480  pr2cv1  7505  exmidonfinlem  7509  exmidfodomrlemr  7518  exmidfodomrlemrALT  7519  exmidaclem  7528  sup3exmid  9248  m1expcl2  10947  maxleim  11915  maxleast  11923  zmaxcl  11934  minmax  11940  xrmaxleim  11954  xrmaxaddlem  11970  xrminmax  11975  bitsinv1lem  12672  nninfctlemfo  12761  prm23lt5  12986  unct  13277  fnpr2ob  13604  fvprif  13607  xpsfeq  13609  qtopbas  15513  limcimolemlt  15655  recnprss  15678  dvmptid  15707  dvmptc  15708  coseq0negpitopi  15827  perfectlem2  15994  lgslem4  16002  lgseisenlem2  16070  2lgslem3  16100  2lgsoddprmlem3  16110  usgredg4  16336  vdegp1aid  16435  konigsberg  16614  012of  16893  2o01f  16894  nninfalllem1  16912  nninfall  16913  nninfsellemqall  16919  nninfomnilem  16922  nnnninfex  16926  nninfnfiinf  16927  trilpolemclim  16946  trilpolemcl  16947  trilpolemisumle  16948  trilpolemeq1  16950  trilpolemlt1  16951  iswomni0  16962  nconstwlpolemgt0  16976  nconstwlpolem  16977