Theorem elpri 3690

Description: If a class is an element of a pair, then it is one of the two paired elements. (Contributed by Scott Fenton, 1-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elpri	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))

Proof of Theorem elpri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprg 3687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
2	1	ibi 176	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 713   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  {cpr 3668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-sn 3673  df-pr 3674

This theorem is referenced by:  nelpri  3691  nelprd  3693  elpr2elpr  3857  opth1  4326  0nelop  4338  ontr2exmid  4621  onintexmid  4669  reg3exmidlemwe  4675  funtpg  5378  ftpg  5833  acexmidlemcase  6008  2oconcl  6602  el2oss1o  6606  pw2f1odclem  7015  en2eqpr  7092  eldju1st  7261  nninfisol  7323  finomni  7330  exmidomniim  7331  ismkvnex  7345  nninfwlpoimlemginf  7366  pr2cv1  7391  exmidonfinlem  7394  exmidfodomrlemr  7403  exmidfodomrlemrALT  7404  exmidaclem  7413  sup3exmid  9127  m1expcl2  10813  maxleim  11756  maxleast  11764  zmaxcl  11775  minmax  11781  xrmaxleim  11795  xrmaxaddlem  11811  xrminmax  11816  bitsinv1lem  12512  nninfctlemfo  12601  prm23lt5  12826  unct  13053  fnpr2ob  13413  fvprif  13416  xpsfeq  13418  qtopbas  15236  limcimolemlt  15378  recnprss  15401  dvmptid  15430  dvmptc  15431  coseq0negpitopi  15550  perfectlem2  15714  lgslem4  15722  lgseisenlem2  15790  2lgslem3  15820  2lgsoddprmlem3  15830  usgredg4  16054  012of  16528  2o01f  16529  2omap  16530  nninfalllem1  16546  nninfall  16547  nninfsellemqall  16553  nninfomnilem  16556  nnnninfex  16560  nninfnfiinf  16561  trilpolemclim  16576  trilpolemcl  16577  trilpolemisumle  16578  trilpolemeq1  16580  trilpolemlt1  16581  iswomni0  16591  nconstwlpolemgt0  16604  nconstwlpolem  16605