Theorem elpri 3593

Description: If a class is an element of a pair, then it is one of the two paired elements. (Contributed by Scott Fenton, 1-Apr-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elpri	⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))

Proof of Theorem elpri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elprg 3590	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} ↔ (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶)))
2	1	ibi 175	1 ⊢ (𝐴 ∈ {𝐵, 𝐶} → (𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 698   = wceq 1342   ∈ wcel 2135  {cpr 3571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-v 2723  df-un 3115  df-sn 3576  df-pr 3577

This theorem is referenced by:  nelpri  3594  nelprd  3596  opth1  4208  0nelop  4220  ontr2exmid  4496  onintexmid  4544  reg3exmidlemwe  4550  funtpg  5233  ftpg  5663  acexmidlemcase  5831  2oconcl  6398  el2oss1o  6402  en2eqpr  6864  eldju1st  7027  nninfisol  7088  finomni  7095  exmidomniim  7096  ismkvnex  7110  exmidonfinlem  7140  exmidfodomrlemr  7149  exmidfodomrlemrALT  7150  exmidaclem  7155  sup3exmid  8843  m1expcl2  10467  maxleim  11133  maxleast  11141  zmaxcl  11152  minmax  11157  xrmaxleim  11171  xrmaxaddlem  11187  xrminmax  11192  prm23lt5  12172  unct  12312  qtopbas  13063  limcimolemlt  13174  recnprss  13197  coseq0negpitopi  13298  012of  13709  2o01f  13710  nninfalllem1  13722  nninfall  13723  nninfsellemqall  13729  nninfomnilem  13732  trilpolemclim  13749  trilpolemcl  13750  trilpolemisumle  13751  trilpolemeq1  13753  trilpolemlt1  13754  iswomni0  13764  nconstwlpolemgt0  13776  nconstwlpolem  13777