Theorem dviaddf 15095

Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvaddf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dviaddf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dviaddf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)))

Proof of Theorem dviaddf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8032	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3		dvaddf.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4		cnex 8031	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
6		dvaddf.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7		dviaddf.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8		elpm2r 6743	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9	5, 3, 6, 7, 8	syl22anc 1250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
10		dvfgg 15078	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
11	3, 9, 10	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
12		dvaddf.df	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
13	12	feq2d 5407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
14	11, 13	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
15		dvaddf.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
16		elpm2r 6743	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
17	5, 3, 15, 7, 16	syl22anc 1250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
18		dvfgg 15078	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
19	3, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
20		dvaddf.dg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
21	20	feq2d 5407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
22	19, 21	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
23	3, 7	ssexd 4183	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
24		inidm 3381	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
25	2, 6, 15, 23, 23, 24	off 6161	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
26		elpm2r 6743	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27	5, 3, 25, 7, 26	syl22anc 1250	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28		dvfgg 15078	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
29	3, 27, 28	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
30		recnprss 15077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31	3, 30	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
32	31, 25, 7	dvbss 15075	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) ⊆ 𝑋)
33		reldvg 15069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
34	31, 27, 33	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
36	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
37	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
38	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
39	31	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
40	12	eleq2d 2274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
41	40	biimpar 297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
42		ffun 5422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
43		funfvbrb 5687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
44	11, 42, 43	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
46	41, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
47	20	eleq2d 2274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
48	47	biimpar 297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
49		ffun 5422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
50		funfvbrb 5687	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
51	19, 49, 50	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
53	48, 52	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
54		eqid 2204	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
55	36, 37, 38, 39, 46, 53, 54	dvaddxxbr 15091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
56		releldm 4911	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) ∧ 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
57	35, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
58	32, 57	eqelssd 3211	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = 𝑋)
59	58	feq2d 5407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
60	29, 59	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
61		eqidd 2205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
62		eqidd 2205	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
63	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
64	36, 37, 38, 63, 41, 48	dvaddxx 15093	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
65	64	eqcomd 2210	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) = ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))‘𝑥))
66	2, 14, 22, 23, 23, 24, 60, 61, 62, 65	offeq 6162	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
67	66	eqcomd 2210	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165  {cpr 3633   class class class wbr 4043  dom cdm 4673   ∘ ccom 4677  Rel wrel 4678  Fun wfun 5262  ⟶wf 5264  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934   ∘_𝑓 cof 6146   ↑_pm cpm 6726  ℂcc 7905  ℝcr 7906   + caddc 7910   − cmin 8225  abscabs 11227  MetOpencmopn 14221   D cdv 15045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-mulrcl 8006  ax-addcom 8007  ax-mulcom 8008  ax-addass 8009  ax-mulass 8010  ax-distr 8011  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-1rid 8014  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-precex 8017  ax-cnre 8018  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltwlin 8020  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-apti 8022  ax-pre-ltadd 8023  ax-pre-mulgt0 8024  ax-pre-mulext 8025  ax-arch 8026  ax-caucvg 8027  ax-addf 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-if 3571  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-ilim 4414  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-isom 5277  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-of 6148  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-frec 6467  df-map 6727  df-pm 6728  df-sup 7068  df-inf 7069  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-xr 8093  df-ltxr 8094  df-le 8095  df-sub 8227  df-neg 8228  df-reap 8630  df-ap 8637  df-div 8728  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-n0 9278  df-z 9355  df-uz 9631  df-q 9723  df-rp 9758  df-xneg 9876  df-xadd 9877  df-seqfrec 10574  df-exp 10665  df-cj 11072  df-re 11073  df-im 11074  df-rsqrt 11228  df-abs 11229  df-rest 12991  df-topgen 13010  df-psmet 14223  df-xmet 14224  df-met 14225  df-bl 14226  df-mopn 14227  df-top 14388  df-topon 14401  df-bases 14433  df-ntr 14486  df-cn 14578  df-cnp 14579  df-tx 14643  df-limced 15046  df-dvap 15047

This theorem is referenced by:  dvmptaddx  15109