Theorem dviaddf 15499

Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvaddf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dviaddf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dviaddf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)))

Proof of Theorem dviaddf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8200	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3		dvaddf.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4		cnex 8199	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
6		dvaddf.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7		dviaddf.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8		elpm2r 6878	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9	5, 3, 6, 7, 8	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
10		dvfgg 15482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
11	3, 9, 10	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
12		dvaddf.df	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
13	12	feq2d 5477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
14	11, 13	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
15		dvaddf.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
16		elpm2r 6878	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
17	5, 3, 15, 7, 16	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
18		dvfgg 15482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
19	3, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
20		dvaddf.dg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
21	20	feq2d 5477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
22	19, 21	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
23	3, 7	ssexd 4234	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
24		inidm 3418	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
25	2, 6, 15, 23, 23, 24	off 6257	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
26		elpm2r 6878	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27	5, 3, 25, 7, 26	syl22anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28		dvfgg 15482	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
29	3, 27, 28	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
30		recnprss 15481	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31	3, 30	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
32	31, 25, 7	dvbss 15479	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) ⊆ 𝑋)
33		reldvg 15473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
34	31, 27, 33	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
36	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
37	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
38	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
39	31	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
40	12	eleq2d 2301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
41	40	biimpar 297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
42		ffun 5492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
43		funfvbrb 5769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
44	11, 42, 43	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
46	41, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
47	20	eleq2d 2301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
48	47	biimpar 297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
49		ffun 5492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
50		funfvbrb 5769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
51	19, 49, 50	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
53	48, 52	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
54		eqid 2231	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
55	36, 37, 38, 39, 46, 53, 54	dvaddxxbr 15495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
56		releldm 4973	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) ∧ 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
57	35, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
58	32, 57	eqelssd 3247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = 𝑋)
59	58	feq2d 5477	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
60	29, 59	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
61		eqidd 2232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
62		eqidd 2232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
63	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
64	36, 37, 38, 63, 41, 48	dvaddxx 15497	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
65	64	eqcomd 2237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) = ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))‘𝑥))
66	2, 14, 22, 23, 23, 24, 60, 61, 62, 65	offeq 6258	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
67	66	eqcomd 2237	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  {cpr 3674   class class class wbr 4093  dom cdm 4731   ∘ ccom 4735  Rel wrel 4736  Fun wfun 5327  ⟶wf 5329  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028   ∘_𝑓 cof 6242   ↑_pm cpm 6861  ℂcc 8073  ℝcr 8074   + caddc 8078   − cmin 8392  abscabs 11620  MetOpencmopn 14620   D cdv 15449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-addf 8197

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-map 6862  df-pm 6863  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-xneg 10051  df-xadd 10052  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-rest 13387  df-topgen 13406  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-met 14624  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-top 14792  df-topon 14805  df-bases 14837  df-ntr 14890  df-cn 14982  df-cnp 14983  df-tx 15047  df-limced 15450  df-dvap 15451

This theorem is referenced by:  dvmptaddx  15513