Theorem dviaddf 15373

Description: The sum rule for everywhere-differentiable functions. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvaddf.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dviaddf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvaddf.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
dvaddf.df	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
dvaddf.dg	⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
dviaddf	⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)))

Proof of Theorem dviaddf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcl 8120	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
2	1	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
3		dvaddf.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
4		cnex 8119	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
6		dvaddf.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
7		dviaddf.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
8		elpm2r 6811	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐹:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
9	5, 3, 6, 7, 8	syl22anc 1272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
10		dvfgg 15356	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐹 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
11	3, 9, 10	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
12		dvaddf.df	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) = 𝑋)
13	12	feq2d 5460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ))
14	11, 13	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):𝑋⟶ℂ)
15		dvaddf.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
16		elpm2r 6811	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ (𝐺:𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
17	5, 3, 15, 7, 16	syl22anc 1272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
18		dvfgg 15356	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ 𝐺 ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
19	3, 17, 18	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ)
20		dvaddf.dg	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐺) = 𝑋)
21	20	feq2d 5460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ ↔ (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ))
22	19, 21	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐺):𝑋⟶ℂ)
23	3, 7	ssexd 4223	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
24		inidm 3413	. . 3 ⊢ (𝑋 ∩ 𝑋) = 𝑋
25	2, 6, 15, 23, 23, 24	off 6229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ)
26		elpm2r 6811	. . . . . 6 ⊢ (((ℂ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ}) ∧ ((𝐹 ∘𝑓 + 𝐺):𝑋⟶ℂ ∧ 𝑋 ⊆ 𝑆)) → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
27	5, 3, 25, 7, 26	syl22anc 1272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆))
28		dvfgg 15356	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
29	3, 27, 28	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))⟶ℂ)
30		recnprss 15355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
31	3, 30	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
32	31, 25, 7	dvbss 15353	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) ⊆ 𝑋)
33		reldvg 15347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ⊆ ℂ ∧ (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺) ∈ (ℂ ↑pm 𝑆)) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
34	31, 27, 33	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
35	34	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
36	6	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
37	7	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑋 ⊆ 𝑆)
38	15	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐺:𝑋⟶ℂ)
39	31	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ⊆ ℂ)
40	12	eleq2d 2299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
41	40	biimpar 297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
42		ffun 5475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐹))
43		funfvbrb 5747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐹) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
44	11, 42, 43	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐹) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥)))
46	41, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐹)((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
47	20	eleq2d 2299	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥 ∈ 𝑋))
48	47	biimpar 297	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺))
49		ffun 5475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 D 𝐺):dom (𝑆 D 𝐺)⟶ℂ → Fun (𝑆 D 𝐺))
50		funfvbrb 5747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Fun (𝑆 D 𝐺) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
51	19, 49, 50	3syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
52	51	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥 ∈ dom (𝑆 D 𝐺) ↔ 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
53	48, 52	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D 𝐺)((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
54		eqid 2229	. . . . . . . 8 ⊢ (MetOpen‘(abs ∘ − )) = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
55	36, 37, 38, 39, 46, 53, 54	dvaddxxbr 15369	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
56		releldm 4958	. . . . . . 7 ⊢ ((Rel (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) ∧ 𝑥(𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))(((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
57	35, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
58	32, 57	eqelssd 3243	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = 𝑋)
59	58	feq2d 5460	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):dom (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))⟶ℂ ↔ (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ))
60	29, 59	mpbid 147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)):𝑋⟶ℂ)
61		eqidd 2230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐹)‘𝑥))
62		eqidd 2230	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥) = ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥))
63	3	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
64	36, 37, 38, 63, 41, 48	dvaddxx 15371	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))‘𝑥) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)))
65	64	eqcomd 2235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (((𝑆 D 𝐹)‘𝑥) + ((𝑆 D 𝐺)‘𝑥)) = ((𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺))‘𝑥))
66	2, 14, 22, 23, 23, 24, 60, 61, 62, 65	offeq 6230	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)) = (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)))
67	66	eqcomd 2235	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝐹 ∘𝑓 + 𝐺)) = ((𝑆 D 𝐹) ∘𝑓 + (𝑆 D 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  {cpr 3667   class class class wbr 4082  dom cdm 4718   ∘ ccom 4722  Rel wrel 4723  Fun wfun 5311  ⟶wf 5313  ‘cfv 5317  (class class class)co 6000   ∘_𝑓 cof 6214   ↑_pm cpm 6794  ℂcc 7993  ℝcr 7994   + caddc 7998   − cmin 8313  abscabs 11503  MetOpencmopn 14499   D cdv 15323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-mulrcl 8094  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-precex 8105  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-apti 8110  ax-pre-ltadd 8111  ax-pre-mulgt0 8112  ax-pre-mulext 8113  ax-arch 8114  ax-caucvg 8115  ax-addf 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-po 4386  df-iso 4387  df-iord 4456  df-on 4458  df-ilim 4459  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-isom 5326  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-of 6216  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-frec 6535  df-map 6795  df-pm 6796  df-sup 7147  df-inf 7148  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-reap 8718  df-ap 8725  df-div 8816  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-4 9167  df-n0 9366  df-z 9443  df-uz 9719  df-q 9811  df-rp 9846  df-xneg 9964  df-xadd 9965  df-seqfrec 10665  df-exp 10756  df-cj 11348  df-re 11349  df-im 11350  df-rsqrt 11504  df-abs 11505  df-rest 13269  df-topgen 13288  df-psmet 14501  df-xmet 14502  df-met 14503  df-bl 14504  df-mopn 14505  df-top 14666  df-topon 14679  df-bases 14711  df-ntr 14764  df-cn 14856  df-cnp 14857  df-tx 14921  df-limced 15324  df-dvap 15325

This theorem is referenced by:  dvmptaddx  15387