Theorem eqimss 3302

Description: Equality implies the subclass relation. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 21-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eqimss	⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem eqimss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3263	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqimss2  3303  uneqin  3482  ssprsseq  3877  sssnr  3878  sssnm  3879  ssprr  3881  sstpr  3882  snsspw  3889  pwpwssunieq  4101  elpwuni  4102  disjeq2  4110  disjeq1  4113  pwne  4297  pwssunim  4429  poeq2  4445  seeq1  4484  seeq2  4485  trsucss  4568  onsucelsucr  4655  xp11m  5226  funeq  5397  fnresdm  5492  fssxp  5555  ffdm  5558  fcoi1  5572  fof  5615  dff1o2  5644  fvmptss2  5780  fvmptssdm  5790  fprg  5898  dff1o6  5982  tposeq  6518  el2oss1o  6716  nntri1  6769  nntri2or2  6771  nnsseleq  6774  infnninf  7464  infnninfOLD  7465  nninfwlpoimlemg  7515  exmidontri2or  7602  frec2uzf1od  10843  hashinfuni  11216  setsresg  13390  setsslid  13403  strle1g  13460  cncnpi  15329  hmeores  15416  limcimolemlt  15765  recnprss  15788  plycoeid3  15858  0nninf  17047  nninfall  17052