Theorem eqimss 3302

Description: Equality implies the subclass relation. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 21-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eqimss	⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem eqimss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqss 3263	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	simplbi 274	1 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  eqimss2  3303  uneqin  3482  ssprsseq  3877  sssnr  3878  sssnm  3879  ssprr  3881  sstpr  3882  snsspw  3889  pwpwssunieq  4101  elpwuni  4102  disjeq2  4110  disjeq1  4113  pwne  4299  pwssunim  4431  poeq2  4447  seeq1  4486  seeq2  4487  trsucss  4570  onsucelsucr  4657  xp11m  5229  funeq  5400  fnresdm  5495  fssxp  5558  ffdm  5561  fcoi1  5575  fof  5618  dff1o2  5647  fvmptss2  5783  fvmptssdm  5793  fprg  5901  dff1o6  5985  tposeq  6522  el2oss1o  6720  nntri1  6773  nntri2or2  6775  nnsseleq  6778  infnninf  7470  infnninfOLD  7471  nninfwlpoimlemg  7521  exmidontri2or  7608  frec2uzf1od  10864  hashinfuni  11238  setsresg  13448  setsslid  13461  strle1g  13519  cncnpi  15454  hmeores  15541  limcimolemlt  15890  recnprss  15913  plycoeid3  15983  0nninf  17253  nninfall  17258