Theorem rexprg 3570

Description: Convert a quantification over a pair to a disjunction. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralprg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ralprg.2	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexprg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem rexprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3529	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	rexeqi 2629	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝜑)
3		rexun 3251	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑))
4	2, 3	bitri 183	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑))
5		ralprg.1	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	5	rexsng 3560	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	orbi1d 780	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((∃𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑) ↔ (𝜓 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑)))
8		ralprg.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
9	8	rexsng 3560	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑 ↔ 𝜒))
10	9	orbi2d 779	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ((𝜓 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑) ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)))
11	7, 10	sylan9bb 457	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((∃𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑) ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)))
12	4, 11	syl5bb 191	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 697   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ∃wrex 2415   ∪ cun 3064  {csn 3522  {cpr 3523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-rex 2420  df-v 2683  df-sbc 2905  df-un 3070  df-sn 3528  df-pr 3529

This theorem is referenced by:  rextpg  3572  rexpr  3574  minmax  10994  xrminmax  11027