Theorem rexprg 3760

Description: Convert a quantification over a pair to a disjunction. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralprg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ralprg.2	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))

Assertion

Ref	Expression
rexprg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem rexprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3715	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
2	1	rexeqi 2754	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝜑)
3		rexun 3409	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ ({𝐴} ∪ {𝐵})𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑))
4	2, 3	bitri 184	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (∃𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑))
5		ralprg.1	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
6	5	rexsng 3749	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (∃𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ↔ 𝜓))
7	6	orbi1d 803	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((∃𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑) ↔ (𝜓 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑)))
8		ralprg.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
9	8	rexsng 3749	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑 ↔ 𝜒))
10	9	orbi2d 802	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ((𝜓 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑) ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)))
11	7, 10	sylan9bb 466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((∃𝑥 ∈ {𝐴}𝜑 ∨ ∃𝑥 ∈ {𝐵}𝜑) ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)))
12	4, 11	bitrid 192	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∃𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∨ 𝜒)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529   ∪ cun 3218  {csn 3708  {cpr 3709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-sn 3714  df-pr 3715

This theorem is referenced by:  rextpg  3762  rexpr  3764  minmax  11979  xrminmax  12014