xrminmax - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xrminmax 11206

Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrminmax	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < ))

Proof of Theorem xrminmax Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcl 9768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝑧 ∈ ℝ^*)
2		elprg 3596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-_𝑒𝑧 ∈ ℝ^* → (-_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-_𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -_𝑒𝑧 = 𝐵)))
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ^* → (-_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-_𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -_𝑒𝑧 = 𝐵)))
4	3	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-_𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -_𝑒𝑧 = 𝐵)))
5		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
6		simpll 519	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
7	5, 6	xrnegcon1d 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 = 𝐴 ↔ -_𝑒𝐴 = 𝑧))
8		eqcom 2167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-_𝑒𝐴 = 𝑧 ↔ 𝑧 = -_𝑒𝐴)
9	7, 8	bitrdi 195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = -_𝑒𝐴))
10		simplr 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
11	5, 10	xrnegcon1d 11205	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 = 𝐵 ↔ -_𝑒𝐵 = 𝑧))
12		eqcom 2167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-_𝑒𝐵 = 𝑧 ↔ 𝑧 = -_𝑒𝐵)
13	11, 12	bitrdi 195	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑧 = -_𝑒𝐵))
14	9, 13	orbi12d 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → ((-_𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -_𝑒𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)))
15	4, 14	bitrd 187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)))
16	15	rabbidva 2714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → {𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)})
17		dfrab2 3397	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)} = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)} ∩ ℝ^*)
18		dfpr2 3595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} = {𝑧 ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)}
19	18	ineq1i 3319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ∩ ℝ^) = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)} ∩ ℝ^)
20	17, 19	eqtr4i 2189	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)} = ({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ∩ ℝ^*)
21		xnegcl 9768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
22		xnegcl 9768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
23		prssi 3731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^) → {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ⊆ ℝ^)
24	21, 22, 23	syl2an 287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ⊆ ℝ^)
25		df-ss 3129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ⊆ ℝ^* ↔ ({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ∩ ℝ^*) = {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵})
26	24, 25	sylib 121	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → ({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ∩ ℝ^) = {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵})
27	20, 26	syl5eq 2211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → {𝑧 ∈ ℝ^ ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)} = {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵})
28	16, 27	eqtrd 2198	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → {𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵})
29	28	supeq1d 6952	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) = sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
30		xrmaxcl 11193	. . . . . . 7 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^) → sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
31	21, 22, 30	syl2an 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
32	29, 31	eqeltrd 2243	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
33	32	xnegcld 9791	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
34		xnegeq 9763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → -_𝑒𝑦 = -_𝑒𝐴)
35	34	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -_𝑒𝑦 = -_𝑒𝐴)
36		xrmax1sup 11194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒𝐴 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
37	21, 22, 36	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒𝐴 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
38	37	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -_𝑒𝐴 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
39	35, 38	eqbrtrd 4004	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
40		simpll 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
41		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
42		simplll 523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ^)
43	41, 42	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ^)
44		xnegeq 9763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) = sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) → -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) = -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
45	29, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) = -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
46	45	breq2d 3994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ 𝑦 < -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
47	46	notbid 657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
48	47	adantr 274	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
49	31	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
50	49	xnegcld 9791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
51		xrlenlt 7963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
52	50, 51	sylancom 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
53		xleneg 9773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ≤ 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 ≤ -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
54	50, 53	sylancom 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ≤ 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 ≤ -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
55		xnegneg 9769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ → -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) = sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
56	49, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) = sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
57	56	breq2d 3994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑦 ≤ -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
58	54, 57	bitrd 187	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ≤ 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
59	48, 52, 58	3bitr2d 215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
60	40, 43, 59	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
61	39, 60	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ))
62		xnegeq 9763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → -_𝑒𝑦 = -_𝑒𝐵)
63	62	adantl 275	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -_𝑒𝑦 = -_𝑒𝐵)
64		xrmax2sup 11195	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒𝐵 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
65	21, 22, 64	syl2an 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒𝐵 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
66	65	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -_𝑒𝐵 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
67	63, 66	eqbrtrd 4004	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
68		simpll 519	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
69		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
70		simpllr 524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^)
71	69, 70	eqeltrd 2243	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ^)
72	68, 71, 59	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
73	67, 72	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ))
74		elpri 3599	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 𝐵))
75	74	adantl 275	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 𝐵))
76	61, 73, 75	mpjaodan 788	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ))
77	76	ralrimiva 2539	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ))
78	21	ad3antrrr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^)
79	22	ad3antlr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^)
80		simplr 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ^)
81	80	xnegcld 9791	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒𝑦 ∈ ℝ^)
82		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦)
83	45	breq1d 3992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦 ↔ -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦))
84	83	ad2antrr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦 ↔ -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦))
85	82, 84	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦)
86	50	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
87		xltneg 9772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
88	86, 80, 87	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
89	56	breq2d 3994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑦 < -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 < sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
90	89	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → (-_𝑒𝑦 < -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 < sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
91	88, 90	bitrd 187	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
92	85, 91	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒𝑦 < sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
93		xrmaxleastlt 11197	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (-_𝑒𝑦 ∈ ℝ^ ∧ -_𝑒𝑦 < sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < ))) → (-_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐴 ∨ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐵))
94	78, 79, 81, 92, 93	syl22anc 1229	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → (-_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐴 ∨ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐵))
95		simplll 523	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ^)
96		xltneg 9772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) → (𝐴 < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐴))
97	95, 80, 96	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐴))
98		simpllr 524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ^)
99		xltneg 9772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) → (𝐵 < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐵))
100	98, 80, 99	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐵))
101	97, 100	orbi12d 783	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → ((𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦) ↔ (-_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐴 ∨ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐵)))
102	94, 101	mpbird 166	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦))
103		breq1 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝑦))
104		breq1 3985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝐵 < 𝑦))
105	103, 104	rexprg 3628	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦)))
106	105	ad2antrr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦)))
107	102, 106	mpbird 166	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)
108	107	ex 114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
109	108	ralrimiva 2539	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → ∀𝑦 ∈ ℝ^ (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
110		breq2 3986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < )))
111	110	notbid 657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < )))
112	111	ralbidv 2466	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < )))
113		breq1 3985	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦))
114	113	imbi1d 230	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
115	114	ralbidv 2466	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → (∀𝑦 ∈ ℝ^ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ^* (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
116	112, 115	anbi12d 465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ^ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ^ (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))))
117	116	rspcev 2830	. . . 4 ⊢ ((-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ^ (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ^ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ^* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
118	33, 77, 109, 117	syl12anc 1226	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → ∃𝑥 ∈ ℝ^ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ^* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
119		prssi 3731	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ^)
120	118, 119	infxrnegsupex 11204	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ))
121	120, 45	eqtrd 2198	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < ))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 103 ↔ wb 104 ∨ wo 698 = wceq 1343 ∈ wcel 2136 {cab 2151 ∀wral 2444 ∃wrex 2445 {crab 2448 ∩ cin 3115 ⊆ wss 3116 {cpr 3577 class class class wbr 3982 supcsup 6947 infcinf 6948 ℝ^*cxr 7932 < clt 7933 ≤ cle 7934 -_𝑒cxne 9705

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1435 ax-7 1436 ax-gen 1437 ax-ie1 1481 ax-ie2 1482 ax-8 1492 ax-10 1493 ax-11 1494 ax-i12 1495 ax-bndl 1497 ax-4 1498 ax-17 1514 ax-i9 1518 ax-ial 1522 ax-i5r 1523 ax-13 2138 ax-14 2139 ax-ext 2147 ax-coll 4097 ax-sep 4100 ax-nul 4108 ax-pow 4153 ax-pr 4187 ax-un 4411 ax-setind 4514 ax-iinf 4565 ax-cnex 7844 ax-resscn 7845 ax-1cn 7846 ax-1re 7847 ax-icn 7848 ax-addcl 7849 ax-addrcl 7850 ax-mulcl 7851 ax-mulrcl 7852 ax-addcom 7853 ax-mulcom 7854 ax-addass 7855 ax-mulass 7856 ax-distr 7857 ax-i2m1 7858 ax-0lt1 7859 ax-1rid 7860 ax-0id 7861 ax-rnegex 7862 ax-precex 7863 ax-cnre 7864 ax-pre-ltirr 7865 ax-pre-ltwlin 7866 ax-pre-lttrn 7867 ax-pre-apti 7868 ax-pre-ltadd 7869 ax-pre-mulgt0 7870 ax-pre-mulext 7871 ax-arch 7872 ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 825 df-3or 969 df-3an 970 df-tru 1346 df-fal 1349 df-nf 1449 df-sb 1751 df-eu 2017 df-mo 2018 df-clab 2152 df-cleq 2158 df-clel 2161 df-nfc 2297 df-ne 2337 df-nel 2432 df-ral 2449 df-rex 2450 df-reu 2451 df-rmo 2452 df-rab 2453 df-v 2728 df-sbc 2952 df-csb 3046 df-dif 3118 df-un 3120 df-in 3122 df-ss 3129 df-nul 3410 df-if 3521 df-pw 3561 df-sn 3582 df-pr 3583 df-op 3585 df-uni 3790 df-int 3825 df-iun 3868 df-br 3983 df-opab 4044 df-mpt 4045 df-tr 4081 df-id 4271 df-po 4274 df-iso 4275 df-iord 4344 df-on 4346 df-ilim 4347 df-suc 4349 df-iom 4568 df-xp 4610 df-rel 4611 df-cnv 4612 df-co 4613 df-dm 4614 df-rn 4615 df-res 4616 df-ima 4617 df-iota 5153 df-fun 5190 df-fn 5191 df-f 5192 df-f1 5193 df-fo 5194 df-f1o 5195 df-fv 5196 df-isom 5197 df-riota 5798 df-ov 5845 df-oprab 5846 df-mpo 5847 df-1st 6108 df-2nd 6109 df-recs 6273 df-frec 6359 df-sup 6949 df-inf 6950 df-pnf 7935 df-mnf 7936 df-xr 7937 df-ltxr 7938 df-le 7939 df-sub 8071 df-neg 8072 df-reap 8473 df-ap 8480 df-div 8569 df-inn 8858 df-2 8916 df-3 8917 df-4 8918 df-n0 9115 df-z 9192 df-uz 9467 df-rp 9590 df-xneg 9708 df-seqfrec 10381 df-exp 10455 df-cj 10784 df-re 10785 df-im 10786 df-rsqrt 10940 df-abs 10941

This theorem is referenced by: xrmincl 11207 xrmin1inf 11208 xrmin2inf 11209 xrmineqinf 11210 xrltmininf 11211 xrlemininf 11212 xrminltinf 11213 xrminrecl 11214 xrminrpcl 11215 xrminadd 11216

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