xrminmax - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem xrminmax 11447

Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)

**Assertion**
Ref	Expression
xrminmax	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < ))

Proof of Theorem xrminmax Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xnegcl 9924	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝑧 ∈ ℝ^*)
2		elprg 3643	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-_𝑒𝑧 ∈ ℝ^* → (-_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-_𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -_𝑒𝑧 = 𝐵)))
3	1, 2	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ^* → (-_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-_𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -_𝑒𝑧 = 𝐵)))
4	3	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-_𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -_𝑒𝑧 = 𝐵)))
5		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → 𝑧 ∈ ℝ^*)
6		simpll 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → 𝐴 ∈ ℝ^*)
7	5, 6	xrnegcon1d 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 = 𝐴 ↔ -_𝑒𝐴 = 𝑧))
8		eqcom 2198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-_𝑒𝐴 = 𝑧 ↔ 𝑧 = -_𝑒𝐴)
9	7, 8	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = -_𝑒𝐴))
10		simplr 528	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → 𝐵 ∈ ℝ^*)
11	5, 10	xrnegcon1d 11446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 = 𝐵 ↔ -_𝑒𝐵 = 𝑧))
12		eqcom 2198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (-_𝑒𝐵 = 𝑧 ↔ 𝑧 = -_𝑒𝐵)
13	11, 12	bitrdi 196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑧 = -_𝑒𝐵))
14	9, 13	orbi12d 794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → ((-_𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -_𝑒𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)))
15	4, 14	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑧 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)))
16	15	rabbidva 2751	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → {𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)})
17		dfrab2 3439	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)} = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)} ∩ ℝ^*)
18		dfpr2 3642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} = {𝑧 ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)}
19	18	ineq1i 3361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ∩ ℝ^) = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)} ∩ ℝ^)
20	17, 19	eqtr4i 2220	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑧 ∈ ℝ^* ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)} = ({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ∩ ℝ^*)
21		xnegcl 9924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^*)
22		xnegcl 9924	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ^* → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^*)
23		prssi 3781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^) → {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ⊆ ℝ^)
24	21, 22, 23	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ⊆ ℝ^)
25		df-ss 3170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ⊆ ℝ^* ↔ ({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ∩ ℝ^*) = {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵})
26	24, 25	sylib 122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → ({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵} ∩ ℝ^) = {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵})
27	20, 26	eqtrid 2241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → {𝑧 ∈ ℝ^ ∣ (𝑧 = -_𝑒𝐴 ∨ 𝑧 = -_𝑒𝐵)} = {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵})
28	16, 27	eqtrd 2229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → {𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵})
29	28	supeq1d 7062	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) = sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
30		xrmaxcl 11434	. . . . . . 7 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^) → sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
31	21, 22, 30	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
32	29, 31	eqeltrd 2273	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
33	32	xnegcld 9947	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
34		xnegeq 9919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → -_𝑒𝑦 = -_𝑒𝐴)
35	34	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -_𝑒𝑦 = -_𝑒𝐴)
36		xrmax1sup 11435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒𝐴 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
37	21, 22, 36	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒𝐴 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
38	37	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -_𝑒𝐴 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
39	35, 38	eqbrtrd 4056	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
40		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
41		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
42		simplll 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ^)
43	41, 42	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ^)
44		xnegeq 9919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) = sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) → -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) = -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
45	29, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) = -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
46	45	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ 𝑦 < -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
47	46	notbid 668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
48	47	adantr 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
49	31	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
50	49	xnegcld 9947	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^)
51		xrlenlt 8108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
52	50, 51	sylancom 420	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
53		xleneg 9929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ≤ 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 ≤ -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
54	50, 53	sylancom 420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ≤ 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 ≤ -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
55		xnegneg 9925	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ → -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) = sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
56	49, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) = sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
57	56	breq2d 4046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑦 ≤ -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
58	54, 57	bitrd 188	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ≤ 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
59	48, 52, 58	3bitr2d 216	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
60	40, 43, 59	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
61	39, 60	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ))
62		xnegeq 9919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → -_𝑒𝑦 = -_𝑒𝐵)
63	62	adantl 277	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -_𝑒𝑦 = -_𝑒𝐵)
64		xrmax2sup 11436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒𝐵 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
65	21, 22, 64	syl2an 289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → -_𝑒𝐵 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -_𝑒𝐵 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
67	63, 66	eqbrtrd 4056	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
68		simpll 527	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ^ ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*))
69		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
70		simpllr 534	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ^)
71	69, 70	eqeltrd 2273	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ^)
72	68, 71, 59	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 ≤ sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
73	67, 72	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ))
74		elpri 3646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 𝐵))
75	74	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 𝐵))
76	61, 73, 75	mpjaodan 799	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ))
77	76	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ))
78	21	ad3antrrr 492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒𝐴 ∈ ℝ^)
79	22	ad3antlr 493	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^)
80		simplr 528	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ^)
81	80	xnegcld 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒𝑦 ∈ ℝ^)
82		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦)
83	45	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦 ↔ -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦))
84	83	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦 ↔ -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦))
85	82, 84	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦)
86	50	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^*)
87		xltneg 9928	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
88	86, 80, 87	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
89	56	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒𝑦 < -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 < sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < )))
90	89	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → (-_𝑒𝑦 < -_𝑒-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) ↔ -_𝑒𝑦 < sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
91	88, 90	bitrd 188	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → (-_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ) < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < )))
92	85, 91	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → -_𝑒𝑦 < sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^, < ))
93		xrmaxleastlt 11438	. . . . . . . . 9 ⊢ (((-_𝑒𝐴 ∈ ℝ^* ∧ -_𝑒𝐵 ∈ ℝ^) ∧ (-_𝑒𝑦 ∈ ℝ^ ∧ -_𝑒𝑦 < sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < ))) → (-_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐴 ∨ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐵))
94	78, 79, 81, 92, 93	syl22anc 1250	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → (-_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐴 ∨ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐵))
95		simplll 533	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ^)
96		xltneg 9928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) → (𝐴 < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐴))
97	95, 80, 96	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐴))
98		simpllr 534	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ^)
99		xltneg 9928	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ^* ∧ 𝑦 ∈ ℝ^*) → (𝐵 < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐵))
100	98, 80, 99	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ↔ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐵))
101	97, 100	orbi12d 794	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → ((𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦) ↔ (-_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐴 ∨ -_𝑒𝑦 < -_𝑒𝐵)))
102	94, 101	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦))
103		breq1 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝑦))
104		breq1 4037	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝐵 < 𝑦))
105	103, 104	rexprg 3675	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^*) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦)))
106	105	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦)))
107	102, 106	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) ∧ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)
108	107	ex 115	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) ∧ 𝑦 ∈ ℝ^) → (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
109	108	ralrimiva 2570	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → ∀𝑦 ∈ ℝ^ (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
110		breq2 4038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < )))
111	110	notbid 668	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < )))
112	111	ralbidv 2497	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < )))
113		breq1 4037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦))
114	113	imbi1d 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^ ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
115	114	ralbidv 2497	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → (∀𝑦 ∈ ℝ^ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ^* (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
116	112, 115	anbi12d 473	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ^ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ^ (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))))
117	116	rspcev 2868	. . . 4 ⊢ ((-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ∈ ℝ^ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ^ (-_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ^ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ^* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
118	33, 77, 109, 117	syl12anc 1247	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → ∃𝑥 ∈ ℝ^ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ^* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
119		prssi 3781	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ^)
120	118, 119	infxrnegsupex 11445	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = -_𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ^* ∣ -_𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ^*, < ))
121	120, 45	eqtrd 2229	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ^* ∧ 𝐵 ∈ ℝ^) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ^, < ) = -_𝑒sup({-_𝑒𝐴, -_𝑒𝐵}, ℝ^*, < ))

Colors of variables: wff set class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 ∨ wo 709 = wceq 1364 ∈ wcel 2167 {cab 2182 ∀wral 2475 ∃wrex 2476 {crab 2479 ∩ cin 3156 ⊆ wss 3157 {cpr 3624 class class class wbr 4034 supcsup 7057 infcinf 7058 ℝ^*cxr 8077 < clt 8078 ≤ cle 8079 -_𝑒cxne 9861

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-isom 5268 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-sup 7059 df-inf 7060 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-rp 9746 df-xneg 9864 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181

This theorem is referenced by: xrmincl 11448 xrmin1inf 11449 xrmin2inf 11450 xrmineqinf 11451 xrltmininf 11452 xrlemininf 11453 xrminltinf 11454 xrminrecl 11455 xrminrpcl 11456 xrminadd 11457

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