ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrminmax GIF version

Theorem xrminmax 10873
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 2-May-2023.)
Assertion
Ref Expression
xrminmax ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))

Proof of Theorem xrminmax
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xnegcl 9456 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ* → -𝑒𝑧 ∈ ℝ*)
2 elprg 3494 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝑧 ∈ ℝ* → (-𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑒𝑧 = 𝐵)))
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ* → (-𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑒𝑧 = 𝐵)))
43adantl 273 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑒𝑧 = 𝐵)))
5 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝑧 ∈ ℝ*)
6 simpll 499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝐴 ∈ ℝ*)
75, 6xrnegcon1d 10872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = 𝐴 ↔ -𝑒𝐴 = 𝑧))
8 eqcom 2102 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝐴 = 𝑧𝑧 = -𝑒𝐴)
97, 8syl6bb 195 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = 𝐴𝑧 = -𝑒𝐴))
10 simplr 500 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → 𝐵 ∈ ℝ*)
115, 10xrnegcon1d 10872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = 𝐵 ↔ -𝑒𝐵 = 𝑧))
12 eqcom 2102 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑒𝐵 = 𝑧𝑧 = -𝑒𝐵)
1311, 12syl6bb 195 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 = 𝐵𝑧 = -𝑒𝐵))
149, 13orbi12d 748 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → ((-𝑒𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑒𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 = -𝑒𝐴𝑧 = -𝑒𝐵)))
154, 14bitrd 187 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑧 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑧 = -𝑒𝐴𝑧 = -𝑒𝐵)))
1615rabbidva 2629 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑧 = -𝑒𝐴𝑧 = -𝑒𝐵)})
17 dfrab2 3298 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑧 = -𝑒𝐴𝑧 = -𝑒𝐵)} = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -𝑒𝐴𝑧 = -𝑒𝐵)} ∩ ℝ*)
18 dfpr2 3493 . . . . . . . . . . 11 {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} = {𝑧 ∣ (𝑧 = -𝑒𝐴𝑧 = -𝑒𝐵)}
1918ineq1i 3220 . . . . . . . . . 10 ({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} ∩ ℝ*) = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -𝑒𝐴𝑧 = -𝑒𝐵)} ∩ ℝ*)
2017, 19eqtr4i 2123 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑧 = -𝑒𝐴𝑧 = -𝑒𝐵)} = ({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} ∩ ℝ*)
21 xnegcl 9456 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
22 xnegcl 9456 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ* → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
23 prssi 3625 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} ⊆ ℝ*)
2421, 22, 23syl2an 285 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} ⊆ ℝ*)
25 df-ss 3034 . . . . . . . . . 10 ({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} ⊆ ℝ* ↔ ({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} ∩ ℝ*) = {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵})
2624, 25sylib 121 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵} ∩ ℝ*) = {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵})
2720, 26syl5eq 2144 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑧 = -𝑒𝐴𝑧 = -𝑒𝐵)} = {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵})
2816, 27eqtrd 2132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {-𝑒𝐴, -𝑒𝐵})
2928supeq1d 6789 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
30 xrmaxcl 10860 . . . . . . 7 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3121, 22, 30syl2an 285 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3229, 31eqeltrd 2176 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
3332xnegcld 9479 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
34 xnegeq 9451 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐴 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝐴)
3534adantl 273 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑒𝑦 = -𝑒𝐴)
36 xrmax1sup 10861 . . . . . . . . . 10 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
3721, 22, 36syl2an 285 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐴 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
3837ad2antrr 475 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑒𝐴 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
3935, 38eqbrtrd 3895 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑒𝑦 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
40 simpll 499 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
41 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
42 simplll 503 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ*)
4341, 42eqeltrd 2176 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
44 xnegeq 9451 . . . . . . . . . . . . 13 (sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) → -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
4529, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
4645breq2d 3887 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ↔ 𝑦 < -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
4746notbid 633 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
4847adantr 272 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
4931adantr 272 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5049xnegcld 9479 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
51 xrlenlt 7701 . . . . . . . . . 10 ((-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
5250, 51sylancom 414 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
53 xleneg 9461 . . . . . . . . . . 11 ((-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 ≤ -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
5450, 53sylancom 414 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 ≤ -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
55 xnegneg 9457 . . . . . . . . . . . 12 (sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
5649, 55syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) = sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
5756breq2d 3887 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 ≤ -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒𝑦 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
5854, 57bitrd 187 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ≤ 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
5948, 52, 583bitr2d 215 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒𝑦 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
6040, 43, 59syl2anc 406 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒𝑦 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
6139, 60mpbird 166 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ))
62 xnegeq 9451 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝐵 → -𝑒𝑦 = -𝑒𝐵)
6362adantl 273 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑒𝑦 = -𝑒𝐵)
64 xrmax2sup 10862 . . . . . . . . . 10 ((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐵 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
6521, 22, 64syl2an 285 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → -𝑒𝐵 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
6665ad2antrr 475 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑒𝐵 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
6763, 66eqbrtrd 3895 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑒𝑦 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
68 simpll 499 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
69 simpr 109 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
70 simpllr 504 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7169, 70eqeltrd 2176 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ*)
7268, 71, 59syl2anc 406 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒𝑦 ≤ sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
7367, 72mpbird 166 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ))
74 elpri 3497 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐵))
7574adantl 273 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐵))
7661, 73, 75mpjaodan 753 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ))
7776ralrimiva 2464 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ))
7821ad3antrrr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → -𝑒𝐴 ∈ ℝ*)
7922ad3antlr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → -𝑒𝐵 ∈ ℝ*)
80 simplr 500 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ*)
8180xnegcld 9479 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → -𝑒𝑦 ∈ ℝ*)
82 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦)
8345breq1d 3885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (-𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) < 𝑦))
8483ad2antrr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → (-𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) < 𝑦))
8582, 84mpbid 146 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) < 𝑦)
8650adantr 272 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
87 xltneg 9460 . . . . . . . . . . . 12 ((-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
8886, 80, 87syl2anc 406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → (-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
8956breq2d 3887 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒𝑦 < -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒𝑦 < sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
9089adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → (-𝑒𝑦 < -𝑒-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) ↔ -𝑒𝑦 < sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
9188, 90bitrd 187 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → (-𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ) < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < )))
9285, 91mpbid 146 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → -𝑒𝑦 < sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
93 xrmaxleastlt 10864 . . . . . . . . 9 (((-𝑒𝐴 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (-𝑒𝑦 ∈ ℝ* ∧ -𝑒𝑦 < sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))) → (-𝑒𝑦 < -𝑒𝐴 ∨ -𝑒𝑦 < -𝑒𝐵))
9478, 79, 81, 92, 93syl22anc 1185 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → (-𝑒𝑦 < -𝑒𝐴 ∨ -𝑒𝑦 < -𝑒𝐵))
95 simplll 503 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ*)
96 xltneg 9460 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝐴))
9795, 80, 96syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝐴))
98 simpllr 504 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ*)
99 xltneg 9460 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑦 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝐵))
10098, 80, 99syl2anc 406 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ↔ -𝑒𝑦 < -𝑒𝐵))
10197, 100orbi12d 748 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → ((𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦) ↔ (-𝑒𝑦 < -𝑒𝐴 ∨ -𝑒𝑦 < -𝑒𝐵)))
10294, 101mpbird 166 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦))
103 breq1 3878 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝑦𝐴 < 𝑦))
104 breq1 3878 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦𝐵 < 𝑦))
105103, 104rexprg 3522 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
106105ad2antrr 475 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
107102, 106mpbird 166 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) ∧ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)
108107ex 114 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ 𝑦 ∈ ℝ*) → (-𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
109108ralrimiva 2464 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ∀𝑦 ∈ ℝ* (-𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
110 breq2 3879 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < )))
111110notbid 633 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < )))
112111ralbidv 2396 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < )))
113 breq1 3878 . . . . . . . 8 (𝑥 = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦))
114113imbi1d 230 . . . . . . 7 (𝑥 = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ (-𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
115114ralbidv 2396 . . . . . 6 (𝑥 = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) → (∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
116112, 115anbi12d 460 . . . . 5 (𝑥 = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))))
117116rspcev 2744 . . . 4 ((-𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (-𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
11833, 77, 109, 117syl12anc 1182 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ* (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
119 prssi 3625 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ*)
120118, 119infxrnegsupex 10871 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({𝑧 ∈ ℝ* ∣ -𝑒𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ*, < ))
121120, 45eqtrd 2132 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ*, < ) = -𝑒sup({-𝑒𝐴, -𝑒𝐵}, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 670   = wceq 1299  wcel 1448  {cab 2086  wral 2375  wrex 2376  {crab 2379  cin 3020  wss 3021  {cpr 3475   class class class wbr 3875  supcsup 6784  infcinf 6785  *cxr 7671   < clt 7672  cle 7673  -𝑒cxne 9397
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-nul 3994  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-iinf 4440  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-mulrcl 7594  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-precex 7605  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-apti 7610  ax-pre-ltadd 7611  ax-pre-mulgt0 7612  ax-pre-mulext 7613  ax-arch 7614  ax-caucvg 7615
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 787  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rmo 2383  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-nul 3311  df-if 3422  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-tr 3967  df-id 4153  df-po 4156  df-iso 4157  df-iord 4226  df-on 4228  df-ilim 4229  df-suc 4231  df-iom 4443  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-isom 5068  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-1st 5969  df-2nd 5970  df-recs 6132  df-frec 6218  df-sup 6786  df-inf 6787  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-reap 8203  df-ap 8210  df-div 8294  df-inn 8579  df-2 8637  df-3 8638  df-4 8639  df-n0 8830  df-z 8907  df-uz 9177  df-rp 9292  df-xneg 9400  df-seqfrec 10060  df-exp 10134  df-cj 10455  df-re 10456  df-im 10457  df-rsqrt 10610  df-abs 10611
This theorem is referenced by:  xrmincl  10874  xrmin1inf  10875  xrmin2inf  10876  xrmineqinf  10877  xrltmininf  10878  xrlemininf  10879  xrminltinf  10880  xrminrecl  10881  xrminrpcl  10882  xrminadd  10883
  Copyright terms: Public domain W3C validator