Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | renegcl 8141 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈
ℝ) |
2 | | elprg 3581 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (-𝑧 ∈ ℝ → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵))) |
3 | 1, 2 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 ∈ ℝ → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵))) |
4 | 3 | adantl 275 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵))) |
5 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈
ℝ) |
6 | 5 | recnd 7909 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈
ℂ) |
7 | | simpll 519 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℝ) |
8 | 7 | recnd 7909 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈
ℂ) |
9 | 6, 8 | negcon1d 8185 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐴 ↔ -𝐴 = 𝑧)) |
10 | | eqcom 2159 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (-𝐴 = 𝑧 ↔ 𝑧 = -𝐴) |
11 | 9, 10 | bitrdi 195 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐴 ↔ 𝑧 = -𝐴)) |
12 | | simplr 520 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈
ℝ) |
13 | 12 | recnd 7909 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈
ℂ) |
14 | 6, 13 | negcon1d 8185 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝑧)) |
15 | | eqcom 2159 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (-𝐵 = 𝑧 ↔ 𝑧 = -𝐵) |
16 | 14, 15 | bitrdi 195 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐵 ↔ 𝑧 = -𝐵)) |
17 | 11, 16 | orbi12d 783 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵))) |
18 | 4, 17 | bitrd 187 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵))) |
19 | 18 | rabbidva 2700 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)}) |
20 | | dfrab2 3383 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} ∩ ℝ) |
21 | | dfpr2 3580 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {-𝐴, -𝐵} = {𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} |
22 | 21 | ineq1i 3305 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} ∩ ℝ) |
23 | 20, 22 | eqtr4i 2181 |
. . . . . . . . 9
⊢ {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} = ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) |
24 | | renegcl 8141 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈
ℝ) |
25 | | renegcl 8141 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈
ℝ) |
26 | | prssi 3716 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → {-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ) |
27 | 24, 25, 26 | syl2an 287 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ) |
28 | | df-ss 3115 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ ↔ ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = {-𝐴, -𝐵}) |
29 | 27, 28 | sylib 121 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = {-𝐴, -𝐵}) |
30 | 23, 29 | syl5eq 2202 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴 ∨ 𝑧 = -𝐵)} = {-𝐴, -𝐵}) |
31 | 19, 30 | eqtrd 2190 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {-𝐴, -𝐵}) |
32 | 31 | supeq1d 6934 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
33 | | maxcl 11122 |
. . . . . . 7
⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) →
sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
34 | 24, 25, 33 | syl2an 287 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
35 | 32, 34 | eqeltrd 2234 |
. . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
36 | 35 | renegcld 8260 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
37 | | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴) |
38 | 37 | negeqd 8075 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑦 = -𝐴) |
39 | | maxle1 11123 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
40 | 24, 25, 39 | syl2an 287 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
41 | 40 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
42 | 38, 41 | eqbrtrd 3989 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
43 | | simpll 519 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) |
44 | | simplll 523 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ) |
45 | 37, 44 | eqeltrd 2234 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ) |
46 | 32 | negeqd 8075 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
47 | 46 | breq2d 3979 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) |
48 | 47 | notbid 657 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬
𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) |
49 | 48 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬
𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) |
50 | 34 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) →
sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
51 | 50 | renegcld 8260 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) →
-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
52 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈
ℝ) |
53 | 51, 52 | lenltd 7998 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) →
(-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) |
54 | | lenegcon1 8346 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈
ℝ ∧ 𝑦 ∈
ℝ) → (-sup({-𝐴,
-𝐵}, ℝ, < ) ≤
𝑦 ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) |
55 | 34, 54 | sylan 281 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) →
(-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) |
56 | 49, 53, 55 | 3bitr2d 215 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬
𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) |
57 | 43, 45, 56 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) |
58 | 42, 57 | mpbird 166 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )) |
59 | | simpr 109 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵) |
60 | 59 | negeqd 8075 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑦 = -𝐵) |
61 | | maxle2 11124 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
62 | 24, 25, 61 | syl2an 287 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
63 | 62 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
64 | 60, 63 | eqbrtrd 3989 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
65 | | simpll 519 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) |
66 | | simpllr 524 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ) |
67 | 59, 66 | eqeltrd 2234 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ) |
68 | 65, 67, 56 | syl2anc 409 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) |
69 | 64, 68 | mpbird 166 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )) |
70 | | elpri 3584 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 𝐵)) |
71 | 70 | adantl 275 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝑦 = 𝐴 ∨ 𝑦 = 𝐵)) |
72 | 58, 69, 71 | mpjaodan 788 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )) |
73 | 72 | ralrimiva 2530 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )) |
74 | 24 | ad3antrrr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝐴 ∈ ℝ) |
75 | 25 | ad3antlr 485 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝐵 ∈ ℝ) |
76 | | simplr 520 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ) |
77 | 76 | renegcld 8260 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ) |
78 | 34 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
79 | | simpr 109 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) |
80 | 46 | breq1d 3977 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
(-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 ↔ -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦)) |
81 | 80 | ad2antrr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 ↔ -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦)) |
82 | 79, 81 | mpbid 146 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦) |
83 | 78, 76, 82 | ltnegcon1d 8405 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝑦 < sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |
84 | | maxleastlt 11127 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) → (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵)) |
85 | 74, 75, 77, 83, 84 | syl22anc 1221 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵)) |
86 | | simplll 523 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ) |
87 | 86, 76 | ltnegd 8403 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝐴)) |
88 | | simpllr 524 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ) |
89 | 88, 76 | ltnegd 8403 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝐵)) |
90 | 87, 89 | orbi12d 783 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → ((𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦) ↔ (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵))) |
91 | 85, 90 | mpbird 166 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦)) |
92 | | breq1 3970 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝐴 < 𝑦)) |
93 | | breq1 3970 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝐵 < 𝑦)) |
94 | 92, 93 | rexprg 3613 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
(∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦))) |
95 | 94 | ad2antrr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦 ∨ 𝐵 < 𝑦))) |
96 | 91, 95 | mpbird 166 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧
-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) |
97 | 96 | ex 114 |
. . . . 5
⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) →
(-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)) |
98 | 97 | ralrimiva 2530 |
. . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
∀𝑦 ∈ ℝ
(-sup({𝑧 ∈ ℝ
∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)) |
99 | | breq2 3971 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑥 ↔ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))) |
100 | 99 | notbid 657 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))) |
101 | 100 | ralbidv 2457 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))) |
102 | | breq1 3970 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦)) |
103 | 102 | imbi1d 230 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) |
104 | 103 | ralbidv 2457 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) |
105 | 101, 104 | anbi12d 465 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))) |
106 | 105 | rspcev 2816 |
. . . 4
⊢
((-sup({𝑧 ∈
ℝ ∣ -𝑧 ∈
{𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧
(∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) |
107 | 36, 73, 98, 106 | syl12anc 1218 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
∃𝑥 ∈ ℝ
(∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) |
108 | | prssi 3716 |
. . 3
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ) |
109 | 107, 108 | infrenegsupex 9511 |
. 2
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )) |
110 | 109, 46 | eqtrd 2190 |
1
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) →
inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )) |