ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  minmax GIF version

Theorem minmax 10625
Description: Minimum expressed in terms of maximum. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Feb-2021.)
Assertion
Ref Expression
minmax ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))

Proof of Theorem minmax
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 7722 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℝ → -𝑧 ∈ ℝ)
2 elprg 3461 . . . . . . . . . . . 12 (-𝑧 ∈ ℝ → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵)))
31, 2syl 14 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵)))
43adantl 271 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵)))
5 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℝ)
65recnd 7495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑧 ∈ ℂ)
7 simpll 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
87recnd 7495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
96, 8negcon1d 7766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐴 ↔ -𝐴 = 𝑧))
10 eqcom 2090 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐴 = 𝑧𝑧 = -𝐴)
119, 10syl6bb 194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐴𝑧 = -𝐴))
12 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
1312recnd 7495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
146, 13negcon1d 7766 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐵 ↔ -𝐵 = 𝑧))
15 eqcom 2090 . . . . . . . . . . . 12 (-𝐵 = 𝑧𝑧 = -𝐵)
1614, 15syl6bb 194 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 = 𝐵𝑧 = -𝐵))
1711, 16orbi12d 742 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((-𝑧 = 𝐴 ∨ -𝑧 = 𝐵) ↔ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)))
184, 17bitrd 186 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → (-𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵} ↔ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)))
1918rabbidva 2607 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)})
20 dfrab2 3272 . . . . . . . . . 10 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)} = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)} ∩ ℝ)
21 dfpr2 3460 . . . . . . . . . . 11 {-𝐴, -𝐵} = {𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)}
2221ineq1i 3195 . . . . . . . . . 10 ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = ({𝑧 ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)} ∩ ℝ)
2320, 22eqtr4i 2111 . . . . . . . . 9 {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)} = ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ)
24 renegcl 7722 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
25 renegcl 7722 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
26 prssi 3590 . . . . . . . . . . 11 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → {-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ)
2724, 25, 26syl2an 283 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ)
28 df-ss 3010 . . . . . . . . . 10 ({-𝐴, -𝐵} ⊆ ℝ ↔ ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = {-𝐴, -𝐵})
2927, 28sylib 120 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ({-𝐴, -𝐵} ∩ ℝ) = {-𝐴, -𝐵})
3023, 29syl5eq 2132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ (𝑧 = -𝐴𝑧 = -𝐵)} = {-𝐴, -𝐵})
3119, 30eqtrd 2120 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}} = {-𝐴, -𝐵})
3231supeq1d 6661 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) = sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
33 maxcl 10608 . . . . . . 7 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3424, 25, 33syl2an 283 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3532, 34eqeltrd 2164 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3635renegcld 7837 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
37 simpr 108 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 = 𝐴)
3837negeqd 7656 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑦 = -𝐴)
39 maxle1 10609 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
4024, 25, 39syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
4140ad2antrr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝐴 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
4238, 41eqbrtrd 3857 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
43 simpll 496 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
44 simplll 500 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝐴 ∈ ℝ)
4537, 44eqeltrd 2164 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ)
4632negeqd 7656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
4746breq2d 3849 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
4847notbid 627 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
4948adantr 270 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
5034adantr 270 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5150renegcld 7837 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
52 simpr 108 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
5351, 52lenltd 7580 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 < -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
54 lenegcon1 7923 . . . . . . . . . 10 ((sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
5534, 54sylan 277 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ≤ 𝑦 ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
5649, 53, 553bitr2d 214 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
5743, 45, 56syl2anc 403 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
5842, 57mpbird 165 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐴) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
59 simpr 108 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
6059negeqd 7656 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑦 = -𝐵)
61 maxle2 10610 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
6224, 25, 61syl2an 283 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
6362ad2antrr 472 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝐵 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
6460, 63eqbrtrd 3857 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
65 simpll 496 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ))
66 simpllr 501 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
6759, 66eqeltrd 2164 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → 𝑦 ∈ ℝ)
6865, 67, 56syl2anc 403 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → (¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ↔ -𝑦 ≤ sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < )))
6964, 68mpbird 165 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) ∧ 𝑦 = 𝐵) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
70 elpri 3464 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐵))
7170adantl 271 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → (𝑦 = 𝐴𝑦 = 𝐵))
7258, 69, 71mpjaodan 747 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵}) → ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
7372ralrimiva 2446 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
7424ad3antrrr 476 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝐴 ∈ ℝ)
7525ad3antlr 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝐵 ∈ ℝ)
76 simplr 497 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
7776renegcld 7837 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝑦 ∈ ℝ)
7834ad2antrr 472 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
79 simpr 108 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦)
8046breq1d 3847 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 ↔ -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦))
8180ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 ↔ -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦))
8279, 81mpbid 145 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ) < 𝑦)
8378, 76, 82ltnegcon1d 7978 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → -𝑦 < sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
84 maxleastlt 10613 . . . . . . . . 9 (((-𝐴 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ∈ ℝ) ∧ (-𝑦 ∈ ℝ ∧ -𝑦 < sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))) → (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵))
8574, 75, 77, 83, 84syl22anc 1175 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵))
86 simplll 500 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝐴 ∈ ℝ)
8786, 76ltnegd 7976 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝐴))
88 simpllr 501 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → 𝐵 ∈ ℝ)
8988, 76ltnegd 7976 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐵 < 𝑦 ↔ -𝑦 < -𝐵))
9087, 89orbi12d 742 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → ((𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦) ↔ (-𝑦 < -𝐴 ∨ -𝑦 < -𝐵)))
9185, 90mpbird 165 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦))
92 breq1 3840 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝑦𝐴 < 𝑦))
93 breq1 3840 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑦𝐵 < 𝑦))
9492, 93rexprg 3489 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
9594ad2antrr 472 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → (∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦 ↔ (𝐴 < 𝑦𝐵 < 𝑦)))
9691, 95mpbird 165 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)
9796ex 113 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
9897ralrimiva 2446 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))
99 breq2 3841 . . . . . . . 8 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (𝑦 < 𝑥𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )))
10099notbid 627 . . . . . . 7 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )))
101100ralbidv 2380 . . . . . 6 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < )))
102 breq1 3840 . . . . . . . 8 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦))
103102imbi1d 229 . . . . . . 7 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → ((𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
104103ralbidv 2380 . . . . . 6 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → (∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
105101, 104anbi12d 457 . . . . 5 (𝑥 = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) → ((∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))))
106105rspcev 2722 . . . 4 ((-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (-sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ) < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦))) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
10736, 73, 98, 106syl12anc 1172 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ {𝐴, 𝐵} ¬ 𝑦 < 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑥 < 𝑦 → ∃𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}𝑧 < 𝑦)))
108 prssi 3590 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → {𝐴, 𝐵} ⊆ ℝ)
109107, 108infrenegsupex 9051 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({𝑧 ∈ ℝ ∣ -𝑧 ∈ {𝐴, 𝐵}}, ℝ, < ))
110109, 46eqtrd 2120 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → inf({𝐴, 𝐵}, ℝ, < ) = -sup({-𝐴, -𝐵}, ℝ, < ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 664   = wceq 1289  wcel 1438  {cab 2074  wral 2359  wrex 2360  {crab 2363  cin 2996  wss 2997  {cpr 3442   class class class wbr 3837  supcsup 6656  infcinf 6657  cr 7328   < clt 7501  cle 7502  -cneg 7633
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443  ax-caucvg 7444
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-isom 5011  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-sup 6658  df-inf 6659  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-3 8453  df-4 8454  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-rp 9104  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397
This theorem is referenced by:  min1inf  10626  min2inf  10627  lemininf  10628  ltmininf  10629
  Copyright terms: Public domain W3C validator