Theorem raltpg 3675

Description: Convert a quantification over a triple to a conjunction. (Contributed by NM, 17-Sep-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ralprg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
ralprg.2	⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
raltpg.3	⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝜑 ↔ 𝜃))

Assertion

Ref	Expression
raltpg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ (𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜃)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜓,𝑥   𝜒,𝑥   𝜃,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem raltpg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralprg.1	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
2		ralprg.2	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝜑 ↔ 𝜒))
3	1, 2	ralprg 3673	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ↔ (𝜓 ∧ 𝜒)))
4		raltpg.3	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐶 → (𝜑 ↔ 𝜃))
5	4	ralsng 3662	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ {𝐶}𝜑 ↔ 𝜃))
6	3, 5	bi2anan9 606	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐶}𝜑) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ 𝜃)))
7	6	3impa 1196	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐶}𝜑) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ 𝜃)))
8		df-tp 3630	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵, 𝐶} = ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})
9	8	raleqi 2697	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ ∀𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})𝜑)
10		ralunb 3344	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ ({𝐴, 𝐵} ∪ {𝐶})𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐶}𝜑))
11	9, 10	bitri 184	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵}𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ {𝐶}𝜑))
12		df-3an 982	. 2 ⊢ ((𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜃) ↔ ((𝜓 ∧ 𝜒) ∧ 𝜃))
13	7, 11, 12	3bitr4g 223	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (∀𝑥 ∈ {𝐴, 𝐵, 𝐶}𝜑 ↔ (𝜓 ∧ 𝜒 ∧ 𝜃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475   ∪ cun 3155  {csn 3622  {cpr 3623  {ctp 3624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630

This theorem is referenced by:  raltp  3679  sumtp  11579