ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ralunb GIF version

Theorem ralunb 3184
Description: Restricted quantification over a union. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ralunb (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∀𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 𝜑))

Proof of Theorem ralunb
StepHypRef Expression
1 elun 3144 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
21imbi1i 237 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝜑))
3 jaob 667 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)))
42, 3bitri 183 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)))
54albii 1405 . . 3 (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)))
6 19.26 1416 . . 3 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
75, 6bitri 183 . 2 (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
8 df-ral 2365 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑))
9 df-ral 2365 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝜑))
10 df-ral 2365 . . 3 (∀𝑥𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑))
119, 10anbi12i 449 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
127, 8, 113bitr4i 211 1 (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∀𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 665  wal 1288  wcel 1439  wral 2360  cun 3000
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-v 2624  df-un 3006
This theorem is referenced by:  ralun  3185  ralprg  3499  raltpg  3501  ralunsn  3649  rexfiuz  10485  modfsummodlemstep  10914  modfsummod  10915  zsupcllemstep  11282  prmind2  11443  nninfsellemdc  12205  nninfsellemsuc  12207
  Copyright terms: Public domain W3C validator