ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ralunb GIF version

Theorem ralunb 3299
Description: Restricted quantification over a union. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ralunb (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∀𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 𝜑))

Proof of Theorem ralunb
StepHypRef Expression
1 elun 3259 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
21imbi1i 237 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝜑))
3 jaob 700 . . . . 5 (((𝑥𝐴𝑥𝐵) → 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)))
42, 3bitri 183 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ ((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)))
54albii 1457 . . 3 (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)))
6 19.26 1468 . . 3 (∀𝑥((𝑥𝐴𝜑) ∧ (𝑥𝐵𝜑)) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
75, 6bitri 183 . 2 (∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
8 df-ral 2447 . 2 (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → 𝜑))
9 df-ral 2447 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐴𝜑))
10 df-ral 2447 . . 3 (∀𝑥𝐵 𝜑 ↔ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑))
119, 10anbi12i 456 . 2 ((∀𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 𝜑) ↔ (∀𝑥(𝑥𝐴𝜑) ∧ ∀𝑥(𝑥𝐵𝜑)))
127, 8, 113bitr4i 211 1 (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵)𝜑 ↔ (∀𝑥𝐴 𝜑 ∧ ∀𝑥𝐵 𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  wo 698  wal 1340  wcel 2135  wral 2442  cun 3110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-ext 2146
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ral 2447  df-v 2724  df-un 3116
This theorem is referenced by:  ralun  3300  ralprg  3622  raltpg  3624  ralunsn  3772  dcfi  6938  rexfiuz  10921  modfsummodlemstep  11388  modfsummod  11389  zsupcllemstep  11867  prmind2  12041  nninfsellemdc  13752  nninfsellemsuc  13754
  Copyright terms: Public domain W3C validator