ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nninfwlpoimlemg GIF version

Theorem nninfwlpoimlemg 7167
Description: Lemma for nninfwlpoim 7170. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfwlpoimlemg.f (𝜑𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
Assertion
Ref Expression
nninfwlpoimlemg (𝜑𝐺 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemg
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt2o 6436 . . . . . 6 ∅ ∈ 2o
21a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
3 1lt2o 6437 . . . . . 6 1o ∈ 2o
43a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
5 peano2 4591 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
65adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ ω)
7 nnfi 6866 . . . . . . 7 (suc 𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ Fin)
86, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ Fin)
9 2ssom 6519 . . . . . . . . 9 2o ⊆ ω
10 nninfwlpoimlemg.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ω⟶2o)
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝐹:ω⟶2o)
12 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ suc 𝑖)
136adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → suc 𝑖 ∈ ω)
14 elnn 4602 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ suc 𝑖 ∧ suc 𝑖 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ ω)
1611, 15ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
179, 16sselid 3153 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹𝑥) ∈ ω)
18 peano1 4590 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
1918a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → ∅ ∈ ω)
20 nndceq 6494 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑥) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID (𝐹𝑥) = ∅)
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → DECID (𝐹𝑥) = ∅)
2221ralrimiva 2550 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹𝑥) = ∅)
23 finexdc 6896 . . . . . 6 ((suc 𝑖 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹𝑥) = ∅) → DECID𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅)
248, 22, 23syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → DECID𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅)
252, 4, 24ifcldcd 3569 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
26 nninfwlpoimlemg.g . . . 4 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
2725, 26fmptd 5666 . . 3 (𝜑𝐺:ω⟶2o)
28 2onn 6516 . . . . 5 2o ∈ ω
2928elexi 2749 . . . 4 2o ∈ V
30 omex 4589 . . . 4 ω ∈ V
3129, 30elmap 6671 . . 3 (𝐺 ∈ (2o𝑚 ω) ↔ 𝐺:ω⟶2o)
3227, 31sylibr 134 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (2o𝑚 ω))
33 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
3433iftrued 3541 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o)) = ∅)
35 suceq 4399 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = suc 𝑗 → suc 𝑖 = suc suc 𝑗)
3635rexeqdv 2679 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = suc 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅))
3736ifbid 3555 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = suc 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
38 peano2 4591 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ ω)
401a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
413a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
42 peano2 4591 . . . . . . . . . . . . . 14 (suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ ω)
4339, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
44 nnfi 6866 . . . . . . . . . . . . 13 (suc suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
4610ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc suc 𝑗)
4843adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
49 elnn 4602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ suc suc 𝑗 ∧ suc suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
5146, 50ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
529, 51sselid 3153 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹𝑥) ∈ ω)
5318a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
5452, 53, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → DECID (𝐹𝑥) = ∅)
5554ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹𝑥) = ∅)
56 finexdc 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((suc suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹𝑥) = ∅) → DECID𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
5745, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → DECID𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
5840, 41, 57ifcldcd 3569 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
5926, 37, 39, 58fvmptd3 5605 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
60 df-suc 4368 . . . . . . . . . . . 12 suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
6160rexeqi 2677 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹𝑥) = ∅)
62 rexun 3315 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅))
6361, 62bitri 184 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅))
64 ifbi 3554 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅)) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅), ∅, 1o))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅), ∅, 1o)
6659, 65eqtrdi 2226 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅), ∅, 1o))
67 nnfi 6866 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ Fin)
6839, 67syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ Fin)
6910ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
70 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc 𝑗)
7139adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → suc 𝑗 ∈ ω)
72 elnn 4602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ suc 𝑗 ∧ suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
7469, 73ffvelcdmd 5648 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
759, 74sselid 3153 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹𝑥) ∈ ω)
7618a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
7775, 76, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → DECID (𝐹𝑥) = ∅)
7877ralrimiva 2550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹𝑥) = ∅)
79 finexdc 6896 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹𝑥) = ∅) → DECID𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
8068, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → DECID𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
81 ifordc 3572 . . . . . . . . 9 (DECID𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
8280, 81syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
8366, 82eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
8483adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
85 suceq 4399 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → suc 𝑖 = suc 𝑗)
8685rexeqdv 2679 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅))
8786ifbid 3555 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
88 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
8940, 41, 80ifcldcd 3569 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
9026, 87, 88, 89fvmptd3 5605 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
9190adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
9233iftrued 3541 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = ∅)
9391, 92eqtrd 2210 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺𝑗) = ∅)
9434, 84, 933eqtr4d 2220 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺𝑗))
95 eqimss 3209 . . . . 5 ((𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺𝑗) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗))
9694, 95syl 14 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗))
9759, 58eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o)
98 el2oss1o 6438 . . . . . . 7 ((𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
9997, 98syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
10099adantr 276 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
10190adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
102 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
103102iffalsed 3544 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = 1o)
104101, 103eqtrd 2210 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺𝑗) = 1o)
105100, 104sseqtrrd 3194 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗))
106 exmiddc 836 . . . . 5 (DECID𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅))
10780, 106syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅))
10896, 105, 107mpjaodan 798 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗))
109108ralrimiva 2550 . 2 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗))
110 fveq1 5510 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝐺‘suc 𝑗))
111 fveq1 5510 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝑗) = (𝐺𝑗))
112110, 111sseq12d 3186 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗) ↔ (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗)))
113112ralbidv 2477 . . 3 (𝑓 = 𝐺 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗)))
114 df-nninf 7113 . . 3 = {𝑓 ∈ (2o𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗)}
115113, 114elrab2 2896 . 2 (𝐺 ∈ ℕ ↔ (𝐺 ∈ (2o𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗)))
11632, 109, 115sylanbrc 417 1 (𝜑𝐺 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cun 3127  wss 3129  c0 3422  ifcif 3534  {csn 3591  cmpt 4061  suc csuc 4362  ωcom 4586  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  1oc1o 6404  2oc2o 6405  𝑚 cmap 6642  Fincfn 6734  xnninf 7112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1o 6411  df-2o 6412  df-er 6529  df-map 6644  df-en 6735  df-fin 6737  df-nninf 7113
This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7169
  Copyright terms: Public domain W3C validator