Theorem nninfwlpoimlemg 7151

Description: Lemma for nninfwlpoim 7154. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemg

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6420	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
3		1lt2o 6421	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
5		peano2 4579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
6	5	adantl 275	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ ω)
7		nnfi 6850	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ Fin)
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ Fin)
9		2ssom 6503	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ⊆ ω
10		nninfwlpoimlemg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
11	10	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝐹:ω⟶2o)
12		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ suc 𝑖)
13	6	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → suc 𝑖 ∈ ω)
14		elnn 4590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑖 ∧ suc 𝑖 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
15	12, 13, 14	syl2anc 409	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ ω)
16	11, 15	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
17	9, 16	sselid 3145	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
18		peano1 4578	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → ∅ ∈ ω)
20		nndceq 6478	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
21	17, 19, 20	syl2anc 409	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
22	21	ralrimiva 2543	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
23		finexdc 6880	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝑖 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
24	8, 22, 23	syl2anc 409	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
25	2, 4, 24	ifcldcd 3561	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
26		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
27	25, 26	fmptd 5650	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶2o)
28		2onn 6500	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
29	28	elexi 2742	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
30		omex 4577	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
31	29, 30	elmap 6655	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ↔ 𝐺:ω⟶2o)
32	27, 31	sylibr 133	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω))
33		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
34	33	iftrued 3533	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)) = ∅)
35		suceq 4387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → suc 𝑖 = suc suc 𝑗)
36	35	rexeqdv 2672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
37	36	ifbid 3547	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
38		peano2 4579	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
39	38	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ ω)
40	1	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
41	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
42		peano2 4579	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ ω)
43	39, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
44		nnfi 6850	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
46	10	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
47		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc suc 𝑗)
48	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
49		elnn 4590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ suc suc 𝑗 ∧ suc suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
50	47, 48, 49	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
51	46, 50	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
52	9, 51	sselid 3145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
53	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
54	52, 53, 20	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
55	54	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
56		finexdc 6880	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
57	45, 55, 56	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
58	40, 41, 57	ifcldcd 3561	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
59	26, 37, 39, 58	fvmptd3 5589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
60		df-suc 4356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
61	60	rexeqi 2670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹‘𝑥) = ∅)
62		rexun 3307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅))
63	61, 62	bitri 183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅))
64		ifbi 3546	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅)) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o)
66	59, 65	eqtrdi 2219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o))
67		nnfi 6850	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ Fin)
68	39, 67	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ Fin)
69	10	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
70		simpr 109	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc 𝑗)
71	39	adantr 274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → suc 𝑗 ∈ ω)
72		elnn 4590	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑗 ∧ suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
73	70, 71, 72	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
74	69, 73	ffvelrnd 5632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
75	9, 74	sselid 3145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
76	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
77	75, 76, 20	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
78	77	ralrimiva 2543	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
79		finexdc 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
80	68, 78, 79	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
81		ifordc 3564	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
83	66, 82	eqtrd 2203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
84	83	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
85		suceq 4387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → suc 𝑖 = suc 𝑗)
86	85	rexeqdv 2672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
87	86	ifbid 3547	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
88		simpr 109	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
89	40, 41, 80	ifcldcd 3561	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
90	26, 87, 88, 89	fvmptd3 5589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
91	90	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
92	33	iftrued 3533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = ∅)
93	91, 92	eqtrd 2203	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = ∅)
94	34, 84, 93	3eqtr4d 2213	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺‘𝑗))
95		eqimss 3201	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺‘𝑗) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
96	94, 95	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
97	59, 58	eqeltrd 2247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o)
98		el2oss1o 6422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
99	97, 98	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
100	99	adantr 274	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
101	90	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
102		simpr 109	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
103	102	iffalsed 3536	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = 1o)
104	101, 103	eqtrd 2203	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = 1o)
105	100, 104	sseqtrrd 3186	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
106		exmiddc 831	. . . . 5 ⊢ (DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
107	80, 106	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
108	96, 105, 107	mpjaodan 793	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
109	108	ralrimiva 2543	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
110		fveq1 5495	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝐺‘suc 𝑗))
111		fveq1 5495	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
112	110, 111	sseq12d 3178	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
113	112	ralbidv 2470	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
114		df-nninf 7097	. . 3 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗)}
115	113, 114	elrab2 2889	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ∞ ↔ (𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
116	32, 109, 115	sylanbrc 415	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 703  DECID wdc 829   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ∀wral 2448  ∃wrex 2449   ∪ cun 3119   ⊆ wss 3121  ∅c0 3414  ifcif 3526  {csn 3583   ↦ cmpt 4050  suc csuc 4350  ωcom 4574  ⟶wf 5194  ‘cfv 5198  (class class class)co 5853  1_oc1o 6388  2_oc2o 6389   ↑_𝑚 cmap 6626  Fincfn 6718  ℕ_∞xnninf 7096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1o 6395  df-2o 6396  df-er 6513  df-map 6628  df-en 6719  df-fin 6721  df-nninf 7097

This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7153