Theorem nninfwlpoimlemg 7303

Description: Lemma for nninfwlpoim 7307. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemg

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6550	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
3		1lt2o 6551	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
5		peano2 4661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ ω)
7		nnfi 6995	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ Fin)
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ Fin)
9		2ssom 6633	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ⊆ ω
10		nninfwlpoimlemg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝐹:ω⟶2o)
12		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ suc 𝑖)
13	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → suc 𝑖 ∈ ω)
14		elnn 4672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑖 ∧ suc 𝑖 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ ω)
16	11, 15	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
17	9, 16	sselid 3199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
18		peano1 4660	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → ∅ ∈ ω)
20		nndceq 6608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
22	21	ralrimiva 2581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
23		finexdc 7025	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝑖 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
24	8, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
25	2, 4, 24	ifcldcd 3617	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
26		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
27	25, 26	fmptd 5757	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶2o)
28		2onn 6630	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
29	28	elexi 2789	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
30		omex 4659	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
31	29, 30	elmap 6787	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ↔ 𝐺:ω⟶2o)
32	27, 31	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω))
33		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
34	33	iftrued 3586	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)) = ∅)
35		suceq 4467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → suc 𝑖 = suc suc 𝑗)
36	35	rexeqdv 2712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
37	36	ifbid 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
38		peano2 4661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ ω)
40	1	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
41	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
42		peano2 4661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ ω)
43	39, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
44		nnfi 6995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
46	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc suc 𝑗)
48	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
49		elnn 4672	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ suc suc 𝑗 ∧ suc suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
51	46, 50	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
52	9, 51	sselid 3199	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
53	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
54	52, 53, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
55	54	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
56		finexdc 7025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
57	45, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
58	40, 41, 57	ifcldcd 3617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
59	26, 37, 39, 58	fvmptd3 5696	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
60		df-suc 4436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
61	60	rexeqi 2710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹‘𝑥) = ∅)
62		rexun 3361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅))
63	61, 62	bitri 184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅))
64		ifbi 3600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅)) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o)
66	59, 65	eqtrdi 2256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o))
67		nnfi 6995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ Fin)
68	39, 67	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ Fin)
69	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc 𝑗)
71	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → suc 𝑗 ∈ ω)
72		elnn 4672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑗 ∧ suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
74	69, 73	ffvelcdmd 5739	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
75	9, 74	sselid 3199	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
76	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
77	75, 76, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
78	77	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
79		finexdc 7025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
80	68, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
81		ifordc 3621	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
83	66, 82	eqtrd 2240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
84	83	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
85		suceq 4467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → suc 𝑖 = suc 𝑗)
86	85	rexeqdv 2712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
87	86	ifbid 3601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
88		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
89	40, 41, 80	ifcldcd 3617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
90	26, 87, 88, 89	fvmptd3 5696	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
91	90	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
92	33	iftrued 3586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = ∅)
93	91, 92	eqtrd 2240	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = ∅)
94	34, 84, 93	3eqtr4d 2250	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺‘𝑗))
95		eqimss 3255	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺‘𝑗) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
96	94, 95	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
97	59, 58	eqeltrd 2284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o)
98		el2oss1o 6552	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
99	97, 98	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
100	99	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
101	90	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
102		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
103	102	iffalsed 3589	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = 1o)
104	101, 103	eqtrd 2240	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = 1o)
105	100, 104	sseqtrrd 3240	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
106		exmiddc 838	. . . . 5 ⊢ (DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
107	80, 106	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
108	96, 105, 107	mpjaodan 800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
109	108	ralrimiva 2581	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
110		fveq1 5598	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝐺‘suc 𝑗))
111		fveq1 5598	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
112	110, 111	sseq12d 3232	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
113	112	ralbidv 2508	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
114		df-nninf 7248	. . 3 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗)}
115	113, 114	elrab2 2939	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ∞ ↔ (𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
116	32, 109, 115	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710  DECID wdc 836   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∀wral 2486  ∃wrex 2487   ∪ cun 3172   ⊆ wss 3174  ∅c0 3468  ifcif 3579  {csn 3643   ↦ cmpt 4121  suc csuc 4430  ωcom 4656  ⟶wf 5286  ‘cfv 5290  (class class class)co 5967  1_oc1o 6518  2_oc2o 6519   ↑_𝑚 cmap 6758  Fincfn 6850  ℕ_∞xnninf 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1o 6525  df-2o 6526  df-er 6643  df-map 6760  df-en 6851  df-fin 6853  df-nninf 7248

This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7305  nninfinfwlpolem  7306