Theorem nninfwlpoimlemg 7479

Description: Lemma for nninfwlpoim 7483. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemg

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6687	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
3		1lt2o 6688	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
5		peano2 4722	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ ω)
7		nnfi 7140	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ Fin)
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ Fin)
9		2ssom 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ⊆ ω
10		nninfwlpoimlemg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝐹:ω⟶2o)
12		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ suc 𝑖)
13	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → suc 𝑖 ∈ ω)
14		elnn 4733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑖 ∧ suc 𝑖 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ ω)
16	11, 15	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
17	9, 16	sselid 3240	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
18		peano1 4721	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → ∅ ∈ ω)
20		nndceq 6745	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
22	21	ralrimiva 2617	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
23		finexdc 7173	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝑖 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
24	8, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
25	2, 4, 24	ifcldcd 3664	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
26		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
27	25, 26	fmptd 5836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶2o)
28		2onn 6767	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
29	28	elexi 2828	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
30		omex 4720	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
31	29, 30	elmap 6924	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ↔ 𝐺:ω⟶2o)
32	27, 31	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω))
33		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
34	33	iftrued 3633	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)) = ∅)
35		suceq 4528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → suc 𝑖 = suc suc 𝑗)
36	35	rexeqdv 2750	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
37	36	ifbid 3648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
38		peano2 4722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ ω)
40	1	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
41	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
42		peano2 4722	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ ω)
43	39, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
44		nnfi 7140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
46	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc suc 𝑗)
48	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
49		elnn 4733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ suc suc 𝑗 ∧ suc suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
51	46, 50	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
52	9, 51	sselid 3240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
53	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
54	52, 53, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
55	54	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
56		finexdc 7173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
57	45, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
58	40, 41, 57	ifcldcd 3664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
59	26, 37, 39, 58	fvmptd3 5776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
60		df-suc 4497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
61	60	rexeqi 2748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹‘𝑥) = ∅)
62		rexun 3403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅))
63	61, 62	bitri 184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅))
64		ifbi 3647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅)) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o)
66	59, 65	eqtrdi 2283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o))
67		nnfi 7140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ Fin)
68	39, 67	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ Fin)
69	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc 𝑗)
71	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → suc 𝑗 ∈ ω)
72		elnn 4733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑗 ∧ suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
74	69, 73	ffvelcdmd 5818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
75	9, 74	sselid 3240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
76	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
77	75, 76, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
78	77	ralrimiva 2617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
79		finexdc 7173	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
80	68, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
81		ifordc 3668	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
83	66, 82	eqtrd 2267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
84	83	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
85		suceq 4528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → suc 𝑖 = suc 𝑗)
86	85	rexeqdv 2750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
87	86	ifbid 3648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
88		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
89	40, 41, 80	ifcldcd 3664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
90	26, 87, 88, 89	fvmptd3 5776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
91	90	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
92	33	iftrued 3633	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = ∅)
93	91, 92	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = ∅)
94	34, 84, 93	3eqtr4d 2277	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺‘𝑗))
95		eqimss 3296	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺‘𝑗) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
96	94, 95	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
97	59, 58	eqeltrd 2311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o)
98		el2oss1o 6689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
99	97, 98	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
100	99	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
101	90	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
102		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
103	102	iffalsed 3636	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = 1o)
104	101, 103	eqtrd 2267	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = 1o)
105	100, 104	sseqtrrd 3281	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
106		exmiddc 844	. . . . 5 ⊢ (DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
107	80, 106	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
108	96, 105, 107	mpjaodan 806	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
109	108	ralrimiva 2617	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
110		fveq1 5674	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝐺‘suc 𝑗))
111		fveq1 5674	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
112	110, 111	sseq12d 3273	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
113	112	ralbidv 2544	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
114		df-nninf 7424	. . 3 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗)}
115	113, 114	elrab2 2979	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ∞ ↔ (𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
116	32, 109, 115	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 716  DECID wdc 842   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ∀wral 2522  ∃wrex 2523   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214  ∅c0 3512  ifcif 3624  {csn 3694   ↦ cmpt 4176  suc csuc 4491  ωcom 4717  ⟶wf 5353  ‘cfv 5357  (class class class)co 6058  1_oc1o 6653  2_oc2o 6654   ↑_𝑚 cmap 6895  Fincfn 6988  ℕ_∞xnninf 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-map 6897  df-en 6989  df-fin 6991  df-nninf 7424

This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7481  nninfinfwlpolem  7482