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Theorem nninfwlpoimlemg 7173
Description: Lemma for nninfwlpoim 7176. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
nninfwlpoimlemg.f (𝜑𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
Assertion
Ref Expression
nninfwlpoimlemg (𝜑𝐺 ∈ ℕ)
Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemg
Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt2o 6442 . . . . . 6 ∅ ∈ 2o
21a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
3 1lt2o 6443 . . . . . 6 1o ∈ 2o
43a1i 9 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
5 peano2 4595 . . . . . . . 8 (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
65adantl 277 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ ω)
7 nnfi 6872 . . . . . . 7 (suc 𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ Fin)
86, 7syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ Fin)
9 2ssom 6525 . . . . . . . . 9 2o ⊆ ω
10 nninfwlpoimlemg.f . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ω⟶2o)
1110ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝐹:ω⟶2o)
12 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ suc 𝑖)
136adantr 276 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → suc 𝑖 ∈ ω)
14 elnn 4606 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ suc 𝑖 ∧ suc 𝑖 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
1512, 13, 14syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ ω)
1611, 15ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
179, 16sselid 3154 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹𝑥) ∈ ω)
18 peano1 4594 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ ω
1918a1i 9 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → ∅ ∈ ω)
20 nndceq 6500 . . . . . . . 8 (((𝐹𝑥) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID (𝐹𝑥) = ∅)
2117, 19, 20syl2anc 411 . . . . . . 7 (((𝜑𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → DECID (𝐹𝑥) = ∅)
2221ralrimiva 2550 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹𝑥) = ∅)
23 finexdc 6902 . . . . . 6 ((suc 𝑖 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹𝑥) = ∅) → DECID𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅)
248, 22, 23syl2anc 411 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → DECID𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅)
252, 4, 24ifcldcd 3571 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
26 nninfwlpoimlemg.g . . . 4 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
2725, 26fmptd 5671 . . 3 (𝜑𝐺:ω⟶2o)
28 2onn 6522 . . . . 5 2o ∈ ω
2928elexi 2750 . . . 4 2o ∈ V
30 omex 4593 . . . 4 ω ∈ V
3129, 30elmap 6677 . . 3 (𝐺 ∈ (2o𝑚 ω) ↔ 𝐺:ω⟶2o)
3227, 31sylibr 134 . 2 (𝜑𝐺 ∈ (2o𝑚 ω))
33 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
3433iftrued 3542 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o)) = ∅)
35 suceq 4403 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = suc 𝑗 → suc 𝑖 = suc suc 𝑗)
3635rexeqdv 2680 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = suc 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅))
3736ifbid 3556 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = suc 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
38 peano2 4595 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
3938adantl 277 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ ω)
401a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
413a1i 9 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
42 peano2 4595 . . . . . . . . . . . . . 14 (suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ ω)
4339, 42syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
44 nnfi 6872 . . . . . . . . . . . . 13 (suc suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
4543, 44syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
4610ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
47 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc suc 𝑗)
4843adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
49 elnn 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ suc suc 𝑗 ∧ suc suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
5047, 48, 49syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
5146, 50ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
529, 51sselid 3154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹𝑥) ∈ ω)
5318a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
5452, 53, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → DECID (𝐹𝑥) = ∅)
5554ralrimiva 2550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹𝑥) = ∅)
56 finexdc 6902 . . . . . . . . . . . 12 ((suc suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹𝑥) = ∅) → DECID𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
5745, 55, 56syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → DECID𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
5840, 41, 57ifcldcd 3571 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
5926, 37, 39, 58fvmptd3 5610 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
60 df-suc 4372 . . . . . . . . . . . 12 suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
6160rexeqi 2678 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹𝑥) = ∅)
62 rexun 3316 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅))
6361, 62bitri 184 . . . . . . . . . 10 (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅))
64 ifbi 3555 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅)) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅), ∅, 1o))
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . 9 if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅), ∅, 1o)
6659, 65eqtrdi 2226 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅), ∅, 1o))
67 nnfi 6872 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ Fin)
6839, 67syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ Fin)
6910ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
70 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc 𝑗)
7139adantr 276 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → suc 𝑗 ∈ ω)
72 elnn 4606 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ suc 𝑗 ∧ suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
7370, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
7469, 73ffvelcdmd 5653 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹𝑥) ∈ 2o)
759, 74sselid 3154 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹𝑥) ∈ ω)
7618a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
7775, 76, 20syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → DECID (𝐹𝑥) = ∅)
7877ralrimiva 2550 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹𝑥) = ∅)
79 finexdc 6902 . . . . . . . . . 10 ((suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹𝑥) = ∅) → DECID𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
8068, 78, 79syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → DECID𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
81 ifordc 3574 . . . . . . . . 9 (DECID𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
8280, 81syl 14 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
8366, 82eqtrd 2210 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
8483adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
85 suceq 4403 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑗 → suc 𝑖 = suc 𝑗)
8685rexeqdv 2680 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅))
8786ifbid 3556 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
88 simpr 110 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
8940, 41, 80ifcldcd 3571 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
9026, 87, 88, 89fvmptd3 5610 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
9190adantr 276 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
9233iftrued 3542 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = ∅)
9391, 92eqtrd 2210 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺𝑗) = ∅)
9434, 84, 933eqtr4d 2220 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺𝑗))
95 eqimss 3210 . . . . 5 ((𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺𝑗) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗))
9694, 95syl 14 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗))
9759, 58eqeltrd 2254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o)
98 el2oss1o 6444 . . . . . . 7 ((𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
9997, 98syl 14 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
10099adantr 276 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
10190adantr 276 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o))
102 simpr 110 . . . . . . 7 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅)
103102iffalsed 3545 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅, ∅, 1o) = 1o)
104101, 103eqtrd 2210 . . . . 5 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺𝑗) = 1o)
105100, 104sseqtrrd 3195 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗))
106 exmiddc 836 . . . . 5 (DECID𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅))
10780, 106syl 14 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹𝑥) = ∅))
10896, 105, 107mpjaodan 798 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗))
109108ralrimiva 2550 . 2 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗))
110 fveq1 5515 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝐺‘suc 𝑗))
111 fveq1 5515 . . . . 5 (𝑓 = 𝐺 → (𝑓𝑗) = (𝐺𝑗))
112110, 111sseq12d 3187 . . . 4 (𝑓 = 𝐺 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗) ↔ (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗)))
113112ralbidv 2477 . . 3 (𝑓 = 𝐺 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗)))
114 df-nninf 7119 . . 3 = {𝑓 ∈ (2o𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓𝑗)}
115113, 114elrab2 2897 . 2 (𝐺 ∈ ℕ ↔ (𝐺 ∈ (2o𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺𝑗)))
11632, 109, 115sylanbrc 417 1 (𝜑𝐺 ∈ ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  cun 3128  wss 3130  c0 3423  ifcif 3535  {csn 3593  cmpt 4065  suc csuc 4366  ωcom 4590  wf 5213  cfv 5217  (class class class)co 5875  1oc1o 6410  2oc2o 6411  𝑚 cmap 6648  Fincfn 6740  xnninf 7118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-if 3536  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1o 6417  df-2o 6418  df-er 6535  df-map 6650  df-en 6741  df-fin 6743  df-nninf 7119
This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7175
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