Theorem nninfwlpoimlemg 7175

Description: Lemma for nninfwlpoim 7178. (Contributed by Jim Kingdon, 8-Dec-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
nninfwlpoimlemg.g	⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))

Assertion

Ref	Expression
nninfwlpoimlemg	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)

Distinct variable groups:   𝑖,𝐹   𝜑,𝑖,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥,𝑖)

Proof of Theorem nninfwlpoimlemg

Dummy variables 𝑓 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt2o 6444	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 2o
2	1	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
3		1lt2o 6445	. . . . . 6 ⊢ 1o ∈ 2o
4	3	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
5		peano2 4596	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ ω)
6	5	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ ω)
7		nnfi 6874	. . . . . . 7 ⊢ (suc 𝑖 ∈ ω → suc 𝑖 ∈ Fin)
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → suc 𝑖 ∈ Fin)
9		2ssom 6527	. . . . . . . . 9 ⊢ 2o ⊆ ω
10		nninfwlpoimlemg.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ω⟶2o)
11	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝐹:ω⟶2o)
12		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ suc 𝑖)
13	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → suc 𝑖 ∈ ω)
14		elnn 4607	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑖 ∧ suc 𝑖 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
15	12, 13, 14	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → 𝑥 ∈ ω)
16	11, 15	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
17	9, 16	sselid 3155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
18		peano1 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
19	18	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → ∅ ∈ ω)
20		nndceq 6502	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹‘𝑥) ∈ ω ∧ ∅ ∈ ω) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
21	17, 19, 20	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑖) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
22	21	ralrimiva 2550	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
23		finexdc 6904	. . . . . 6 ⊢ ((suc 𝑖 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑖DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
24	8, 22, 23	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅)
25	2, 4, 24	ifcldcd 3572	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
26		nninfwlpoimlemg.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (𝑖 ∈ ω ↦ if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
27	25, 26	fmptd 5672	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶2o)
28		2onn 6524	. . . . 5 ⊢ 2o ∈ ω
29	28	elexi 2751	. . . 4 ⊢ 2o ∈ V
30		omex 4594	. . . 4 ⊢ ω ∈ V
31	29, 30	elmap 6679	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ↔ 𝐺:ω⟶2o)
32	27, 31	sylibr 134	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω))
33		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
34	33	iftrued 3543	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)) = ∅)
35		suceq 4404	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → suc 𝑖 = suc suc 𝑗)
36	35	rexeqdv 2680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
37	36	ifbid 3557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = suc 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
38		peano2 4596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ ω)
39	38	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ ω)
40	1	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∅ ∈ 2o)
41	3	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 1o ∈ 2o)
42		peano2 4596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ ω)
43	39, 42	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
44		nnfi 6874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (suc suc 𝑗 ∈ ω → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc suc 𝑗 ∈ Fin)
46	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
47		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc suc 𝑗)
48	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → suc suc 𝑗 ∈ ω)
49		elnn 4607	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ suc suc 𝑗 ∧ suc suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
50	47, 48, 49	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
51	46, 50	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
52	9, 51	sselid 3155	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
53	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
54	52, 53, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc suc 𝑗) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
55	54	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
56		finexdc 6904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((suc suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
57	45, 55, 56	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
58	40, 41, 57	ifcldcd 3572	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
59	26, 37, 39, 58	fvmptd3 5611	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
60		df-suc 4373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ suc suc 𝑗 = (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})
61	60	rexeqi 2678	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹‘𝑥) = ∅)
62		rexun 3317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑥 ∈ (suc 𝑗 ∪ {suc 𝑗})(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅))
63	61, 62	bitri 184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅))
64		ifbi 3556	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅)) → if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o))
65	63, 64	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ if(∃𝑥 ∈ suc suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o)
66	59, 65	eqtrdi 2226	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o))
67		nnfi 6874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (suc 𝑗 ∈ ω → suc 𝑗 ∈ Fin)
68	39, 67	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → suc 𝑗 ∈ Fin)
69	10	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝐹:ω⟶2o)
70		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ suc 𝑗)
71	39	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → suc 𝑗 ∈ ω)
72		elnn 4607	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ suc 𝑗 ∧ suc 𝑗 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
73	70, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → 𝑥 ∈ ω)
74	69, 73	ffvelcdmd 5654	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ 2o)
75	9, 74	sselid 3155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → (𝐹‘𝑥) ∈ ω)
76	18	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → ∅ ∈ ω)
77	75, 76, 20	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ 𝑥 ∈ suc 𝑗) → DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
78	77	ralrimiva 2550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅)
79		finexdc 6904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((suc 𝑗 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ suc 𝑗DECID (𝐹‘𝑥) = ∅) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
80	68, 78, 79	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
81		ifordc 3575	. . . . . . . . 9 ⊢ (DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
82	80, 81	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if((∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅), ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
83	66, 82	eqtrd 2210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
84	83	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, if(∃𝑥 ∈ {suc 𝑗} (𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o)))
85		suceq 4404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → suc 𝑖 = suc 𝑗)
86	85	rexeqdv 2680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅ ↔ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
87	86	ifbid 3557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑖(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
88		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → 𝑗 ∈ ω)
89	40, 41, 80	ifcldcd 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) ∈ 2o)
90	26, 87, 88, 89	fvmptd3 5611	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
91	90	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
92	33	iftrued 3543	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = ∅)
93	91, 92	eqtrd 2210	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = ∅)
94	34, 84, 93	3eqtr4d 2220	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺‘𝑗))
95		eqimss 3211	. . . . 5 ⊢ ((𝐺‘suc 𝑗) = (𝐺‘𝑗) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
96	94, 95	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
97	59, 58	eqeltrd 2254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o)
98		el2oss1o 6446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺‘suc 𝑗) ∈ 2o → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
99	97, 98	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
100	99	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ 1o)
101	90	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o))
102		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅)
103	102	iffalsed 3546	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → if(∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅, ∅, 1o) = 1o)
104	101, 103	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘𝑗) = 1o)
105	100, 104	sseqtrrd 3196	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) ∧ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
106		exmiddc 836	. . . . 5 ⊢ (DECID ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
107	80, 106	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅ ∨ ¬ ∃𝑥 ∈ suc 𝑗(𝐹‘𝑥) = ∅))
108	96, 105, 107	mpjaodan 798	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
109	108	ralrimiva 2550	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗))
110		fveq1 5516	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓‘suc 𝑗) = (𝐺‘suc 𝑗))
111		fveq1 5516	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (𝑓‘𝑗) = (𝐺‘𝑗))
112	110, 111	sseq12d 3188	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → ((𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
113	112	ralbidv 2477	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐺 → (∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗) ↔ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
114		df-nninf 7121	. . 3 ⊢ ℕ∞ = {𝑓 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∣ ∀𝑗 ∈ ω (𝑓‘suc 𝑗) ⊆ (𝑓‘𝑗)}
115	113, 114	elrab2 2898	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ ℕ∞ ↔ (𝐺 ∈ (2o ↑𝑚 ω) ∧ ∀𝑗 ∈ ω (𝐺‘suc 𝑗) ⊆ (𝐺‘𝑗)))
116	32, 109, 115	sylanbrc 417	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℕ∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708  DECID wdc 834   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456   ∪ cun 3129   ⊆ wss 3131  ∅c0 3424  ifcif 3536  {csn 3594   ↦ cmpt 4066  suc csuc 4367  ωcom 4591  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  1_oc1o 6412  2_oc2o 6413   ↑_𝑚 cmap 6650  Fincfn 6742  ℕ_∞xnninf 7120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1o 6419  df-2o 6420  df-er 6537  df-map 6652  df-en 6743  df-fin 6745  df-nninf 7121

This theorem is referenced by:  nninfwlpoimlemdc  7177