Theorem dvdsprmpweqnn 12867

Description: If an integer greater than 1 divides a prime power, it is a (proper) prime power. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprmpweqnn	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 9769	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2		dvdsprmpweq 12866	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
3	1, 2	syl3an2 1305	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
4	3	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
5		df-n0 9378	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
6	5	rexeqi 2733	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃↑𝑛))
7		rexun 3384	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
9		0z 9465	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		oveq2 6015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑0))
11	10	eqeq2d 2241	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
12	11	rexsng 3707	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0))
14		prmnn 12640	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	nncnd 9132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16	15	exp0d 10897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) = 1)
17	16	3ad2ant1 1042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑0) = 1)
18	17	eqeq2d 2241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) ↔ 𝐴 = 1))
19		eluz2b3 9807	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≠ 1))
20		eqneqall 2410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
21	20	com12 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
22	19, 21	simplbiim 387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
23	22	3ad2ant2 1043	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
24	18, 23	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
25	24	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑0) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
26	25	impd 254	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑0) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
27	13, 26	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
28	27	jao1i 801	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
29	8, 28	sylbi 121	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
30	4, 29	mpcom 36	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
31	30	ex 115	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 713   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400  ∃wrex 2509   ∪ cun 3195  {csn 3666   class class class wbr 4083  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  0cc0 8007  1c1 8008  ℕcn 9118  2c2 9169  ℕ₀cn0 9377  ℤcz 9454  ℤ_≥cuz 9730  ↑cexp 10768   ∥ cdvds 12306  ℙcprime 12637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-mulrcl 8106  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-precex 8117  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123  ax-pre-mulgt0 8124  ax-pre-mulext 8125  ax-arch 8126  ax-caucvg 8127

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 836  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-isom 5327  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sup 7159  df-inf 7160  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-reap 8730  df-ap 8737  df-div 8828  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-n0 9378  df-xnn0 9441  df-z 9455  df-uz 9731  df-q 9823  df-rp 9858  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-fl 10498  df-mod 10553  df-seqfrec 10678  df-exp 10769  df-cj 11361  df-re 11362  df-im 11363  df-rsqrt 11517  df-abs 11518  df-dvds 12307  df-gcd 12483  df-prm 12638  df-pc 12816

This theorem is referenced by:  difsqpwdvds  12869