Theorem dvdsprmpweqnn 12703

Description: If an integer greater than 1 divides a prime power, it is a (proper) prime power. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprmpweqnn	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 9694	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2		dvdsprmpweq 12702	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
3	1, 2	syl3an2 1284	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
4	3	imp 124	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
5		df-n0 9303	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
6	5	rexeqi 2708	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃↑𝑛))
7		rexun 3354	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
8	6, 7	bitri 184	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
9		0z 9390	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		oveq2 5959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑0))
11	10	eqeq2d 2218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
12	11	rexsng 3675	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0))
14		prmnn 12476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	nncnd 9057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16	15	exp0d 10819	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) = 1)
17	16	3ad2ant1 1021	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑0) = 1)
18	17	eqeq2d 2218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) ↔ 𝐴 = 1))
19		eluz2b3 9732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≠ 1))
20		eqneqall 2387	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
21	20	com12 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
22	19, 21	simplbiim 387	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
23	22	3ad2ant2 1022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
24	18, 23	sylbid 150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
25	24	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑0) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
26	25	impd 254	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑0) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
27	13, 26	sylbi 121	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
28	27	jao1i 798	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
29	8, 28	sylbi 121	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
30	4, 29	mpcom 36	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
31	30	ex 115	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 710   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ≠ wne 2377  ∃wrex 2486   ∪ cun 3165  {csn 3634   class class class wbr 4047  ‘cfv 5276  (class class class)co 5951  0cc0 7932  1c1 7933  ℕcn 9043  2c2 9094  ℕ₀cn0 9302  ℤcz 9379  ℤ_≥cuz 9655  ↑cexp 10690   ∥ cdvds 12142  ℙcprime 12473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1cn 8025  ax-1re 8026  ax-icn 8027  ax-addcl 8028  ax-addrcl 8029  ax-mulcl 8030  ax-mulrcl 8031  ax-addcom 8032  ax-mulcom 8033  ax-addass 8034  ax-mulass 8035  ax-distr 8036  ax-i2m1 8037  ax-0lt1 8038  ax-1rid 8039  ax-0id 8040  ax-rnegex 8041  ax-precex 8042  ax-cnre 8043  ax-pre-ltirr 8044  ax-pre-ltwlin 8045  ax-pre-lttrn 8046  ax-pre-apti 8047  ax-pre-ltadd 8048  ax-pre-mulgt0 8049  ax-pre-mulext 8050  ax-arch 8051  ax-caucvg 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 833  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-if 3573  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-po 4347  df-iso 4348  df-iord 4417  df-on 4419  df-ilim 4420  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-isom 5285  df-riota 5906  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-frec 6484  df-1o 6509  df-2o 6510  df-er 6627  df-en 6835  df-sup 7093  df-inf 7094  df-pnf 8116  df-mnf 8117  df-xr 8118  df-ltxr 8119  df-le 8120  df-sub 8252  df-neg 8253  df-reap 8655  df-ap 8662  df-div 8753  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-n0 9303  df-xnn0 9366  df-z 9380  df-uz 9656  df-q 9748  df-rp 9783  df-fz 10138  df-fzo 10272  df-fl 10420  df-mod 10475  df-seqfrec 10600  df-exp 10691  df-cj 11197  df-re 11198  df-im 11199  df-rsqrt 11353  df-abs 11354  df-dvds 12143  df-gcd 12319  df-prm 12474  df-pc 12652

This theorem is referenced by:  difsqpwdvds  12705