Theorem dvdsprmpweqnn 12267

Description: If an integer greater than 1 divides a prime power, it is a (proper) prime power. (Contributed by AV, 13-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsprmpweqnn	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝑃,𝑛

Proof of Theorem dvdsprmpweqnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 9504	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
2		dvdsprmpweq 12266	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
3	1, 2	syl3an2 1262	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
4	3	imp 123	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
5		df-n0 9115	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 = (ℕ ∪ {0})
6	5	rexeqi 2666	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃↑𝑛))
7		rexun 3302	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ (ℕ ∪ {0})𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
8	6, 7	bitri 183	. . . 4 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
9		0z 9202	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
10		oveq2 5850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑃↑𝑛) = (𝑃↑0))
11	10	eqeq2d 2177	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
12	11	rexsng 3617	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0)))
13	9, 12	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) ↔ 𝐴 = (𝑃↑0))
14		prmnn 12042	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
15	14	nncnd 8871	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
16	15	exp0d 10582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃↑0) = 1)
17	16	3ad2ant1 1008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑃↑0) = 1)
18	17	eqeq2d 2177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) ↔ 𝐴 = 1))
19		eluz2b3 9542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ≠ 1))
20		eqneqall 2346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
21	20	com12 30	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ≠ 1 → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
22	19, 21	simplbiim 385	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
23	22	3ad2ant2 1009	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = 1 → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
24	18, 23	sylbid 149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 = (𝑃↑0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
25	24	com12 30	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑0) → ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))))
26	25	impd 252	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = (𝑃↑0) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
27	13, 26	sylbi 120	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
28	27	jao1i 786	. . . 4 ⊢ ((∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛) ∨ ∃𝑛 ∈ {0}𝐴 = (𝑃↑𝑛)) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
29	8, 28	sylbi 120	. . 3 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑃↑𝑛) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))
30	4, 29	mpcom 36	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁)) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛))
31	30	ex 114	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∥ (𝑃↑𝑁) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑃↑𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ wo 698   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ≠ wne 2336  ∃wrex 2445   ∪ cun 3114  {csn 3576   class class class wbr 3982  ‘cfv 5188  (class class class)co 5842  0cc0 7753  1c1 7754  ℕcn 8857  2c2 8908  ℕ₀cn0 9114  ℤcz 9191  ℤ_≥cuz 9466  ↑cexp 10454   ∥ cdvds 11727  ℙcprime 12039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871  ax-arch 7872  ax-caucvg 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-if 3521  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-ilim 4347  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-isom 5197  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-frec 6359  df-1o 6384  df-2o 6385  df-er 6501  df-en 6707  df-sup 6949  df-inf 6950  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-div 8569  df-inn 8858  df-2 8916  df-3 8917  df-4 8918  df-n0 9115  df-xnn0 9178  df-z 9192  df-uz 9467  df-q 9558  df-rp 9590  df-fz 9945  df-fzo 10078  df-fl 10205  df-mod 10258  df-seqfrec 10381  df-exp 10455  df-cj 10784  df-re 10785  df-im 10786  df-rsqrt 10940  df-abs 10941  df-dvds 11728  df-gcd 11876  df-prm 12040  df-pc 12217

This theorem is referenced by:  difsqpwdvds  12269