Theorem bezoutlemstep 12752

Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemstep.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlemstep.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w	⊢ (𝜃 → 𝑊 ∈ ℕ)
bezoutlemstep.y-is-bezout	⊢ (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.y-nn0	⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w-is-bezout	⊢ (𝜃 → [𝑊 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.sub-gcd	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
bezoutlemstep.hyp	⊢ ((𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
bezoutlemstep.thx	⊢ Ⅎ𝑥𝜃
bezoutlemstep.thr	⊢ Ⅎ𝑟𝜃

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemstep	⊢ (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑦   𝜑,𝑧   𝜑,𝑠,𝑡   𝜓,𝑧   𝜃,𝑧   𝜃,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑟)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemstep

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemstep.is-bezout	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
2		bezoutlemstep.a	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3		bezoutlemstep.b	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4		bezoutlemstep.w	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝑊 ∈ ℕ)
5		bezoutlemstep.y-is-bezout	. . . 4 ⊢ (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
6		bezoutlemstep.y-nn0	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℕ0)
7		bezoutlemstep.w-is-bezout	. . . 4 ⊢ (𝜃 → [𝑊 / 𝑟]𝜑)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	bezoutlemnewy 12751	. . 3 ⊢ (𝜃 → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)
9		bezoutlemstep.hyp	. . 3 ⊢ ((𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
10	8, 9	mpdan 425	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
11		bezoutlemstep.thr	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑟𝜃
12		eqidd 2239	. . . . . 6 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊))
13	6	nn0zd 9745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑦 ∈ ℤ)
15	4	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑊 ∈ ℕ)
16	13, 4	zmodcld 10760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜃 → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
17	16	ad2antrr 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
18		zq 10005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑦 ∈ ℚ)
20	15	nnzd 9746	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑊 ∈ ℤ)
21		zq 10005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℤ → 𝑊 ∈ ℚ)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑊 ∈ ℚ)
23	15	nngt0d 9327	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 0 < 𝑊)
24		modqlt 10748	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑊 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑊) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
26		modremain 12674	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
27	14, 15, 17, 25, 26	syl112anc 1282	. . . . . 6 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
28	12, 27	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
29		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓)
30		bezoutlemstep.thx	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝜃
31		bezoutlemstep.sub-gcd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
32	31	sbcbii 3111	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ [𝑊 / 𝑦]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
33		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → (𝑧 ∥ 𝑦 ↔ 𝑧 ∥ 𝑊))
34	33	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦) ↔ (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
35	34	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
36	35	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
37	36	sbcieg 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑦]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
38	4, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
39	32, 38	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
40	30, 39	sbcbid 3109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
41		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (𝑧 ∥ 𝑥 ↔ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)))
42	41	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊) ↔ (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
43	42	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
44	43	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
45	44	sbcieg 3084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
46	16, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
47	40, 46	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
48	47	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
49	29, 48	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
50	49	r19.21bi 2638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
51	50	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))
52	51	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ 𝑊)
53		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∈ ℕ0)
54	53	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∈ ℤ)
55		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑞 ∈ ℤ)
56	55	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑞 ∈ ℤ)
57	20	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑊 ∈ ℤ)
58		dvdsmultr2 12578	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑊 → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑧 ∥ 𝑊 → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
60	52, 59	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊))
61	51	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊))
62	56, 57	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ)
63	17	ad3antrrr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
64	63	nn0zd 9745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ)
65		dvds2add 12570	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ ∧ (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
66	54, 62, 64, 65	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
67	60, 61, 66	mp2and 437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)))
68		simprr 537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
69	68	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
70	67, 69	breqtrd 4151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ 𝑦)
71	52, 70	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))
72	71	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
73	72	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
74	31	sbcbii 3111	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑊 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
75		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑧 ∥ 𝑥 ↔ 𝑧 ∥ 𝑊))
76	75	anbi1d 469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦) ↔ (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
77	76	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
78	77	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
79	78	sbcieg 3084	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
80	4, 79	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
81	74, 80	bitrid 192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
82	81	ad3antrrr 496	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
83	73, 82	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [𝑊 / 𝑥]𝜓)
84		simplrr 542	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝜑)
85	83, 84	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
86	28, 85	rexlimddv 2673	. . . 4 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
87	86	exp31 364	. . 3 ⊢ (𝜃 → (𝑟 ∈ ℕ0 → (([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
88	11, 87	reximdai 2648	. 2 ⊢ (𝜃 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
89	10, 88	mpd 13	1 ⊢ (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402  Ⅎwnf 1513  [wsb 1815   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  [wsbc 3051   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075  0cc0 8169   + caddc 8172   · cmul 8174   < clt 8350  ℕcn 9283  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℚcq 9998   mod cmo 10737   ∥ cdvds 12532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-cj 11585  df-re 11586  df-im 11587  df-rsqrt 11742  df-abs 11743  df-dvds 12533

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12753