ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemstep GIF version

Theorem bezoutlemstep 12011
Description: Lemma for Bรฉzout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemstep.is-bezout (๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
bezoutlemstep.a (๐œƒ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
bezoutlemstep.b (๐œƒ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
bezoutlemstep.w (๐œƒ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
bezoutlemstep.y-is-bezout (๐œƒ โ†’ [๐‘ฆ / ๐‘Ÿ]๐œ‘)
bezoutlemstep.y-nn0 (๐œƒ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
bezoutlemstep.w-is-bezout (๐œƒ โ†’ [๐‘Š / ๐‘Ÿ]๐œ‘)
bezoutlemstep.sub-gcd (๐œ“ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)))
bezoutlemstep.hyp ((๐œƒ โˆง [(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘Ÿ]๐œ‘) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘))
bezoutlemstep.thx โ„ฒ๐‘ฅ๐œƒ
bezoutlemstep.thr โ„ฒ๐‘Ÿ๐œƒ
Assertion
Ref Expression
bezoutlemstep (๐œƒ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 ([๐‘Š / ๐‘ฅ]๐œ“ โˆง ๐œ‘))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก   ๐ต,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก   ๐‘Š,๐‘Ÿ,๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง   ๐‘Š,๐‘ ,๐‘ก,๐‘ฆ   ๐œ‘,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘ ,๐‘ก   ๐œ“,๐‘ง   ๐œƒ,๐‘ง   ๐œƒ,๐‘ ,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘Ÿ)   ๐œ“(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ก,๐‘ ,๐‘Ÿ)   ๐œƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘Ÿ)   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ง)

Proof of Theorem bezoutlemstep
Dummy variable ๐‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemstep.is-bezout . . . 4 (๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
2 bezoutlemstep.a . . . 4 (๐œƒ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
3 bezoutlemstep.b . . . 4 (๐œƒ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
4 bezoutlemstep.w . . . 4 (๐œƒ โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
5 bezoutlemstep.y-is-bezout . . . 4 (๐œƒ โ†’ [๐‘ฆ / ๐‘Ÿ]๐œ‘)
6 bezoutlemstep.y-nn0 . . . 4 (๐œƒ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•0)
7 bezoutlemstep.w-is-bezout . . . 4 (๐œƒ โ†’ [๐‘Š / ๐‘Ÿ]๐œ‘)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7bezoutlemnewy 12010 . . 3 (๐œƒ โ†’ [(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘Ÿ]๐œ‘)
9 bezoutlemstep.hyp . . 3 ((๐œƒ โˆง [(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘Ÿ]๐œ‘) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘))
108, 9mpdan 421 . 2 (๐œƒ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘))
11 bezoutlemstep.thr . . 3 โ„ฒ๐‘Ÿ๐œƒ
12 eqidd 2188 . . . . . 6 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) = (๐‘ฆ mod ๐‘Š))
136nn0zd 9386 . . . . . . . 8 (๐œƒ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
1413ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
154ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„•)
1613, 4zmodcld 10358 . . . . . . . 8 (๐œƒ โ†’ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆˆ โ„•0)
1716ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆˆ โ„•0)
18 zq 9639 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„š)
1914, 18syl 14 . . . . . . . 8 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„š)
2015nnzd 9387 . . . . . . . . 9 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„ค)
21 zq 9639 . . . . . . . . 9 (๐‘Š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„š)
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„š)
2315nngt0d 8976 . . . . . . . 8 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ 0 < ๐‘Š)
24 modqlt 10346 . . . . . . . 8 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„š โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„š โˆง 0 < ๐‘Š) โ†’ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) < ๐‘Š)
2519, 22, 23, 24syl3anc 1248 . . . . . . 7 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) < ๐‘Š)
26 modremain 11947 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘Š) < ๐‘Š)) โ†’ ((๐‘ฆ mod ๐‘Š) = (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ))
2714, 15, 17, 25, 26syl112anc 1252 . . . . . 6 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ ((๐‘ฆ mod ๐‘Š) = (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โ†” โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ))
2812, 27mpbid 147 . . . . 5 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ โ„ค ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)
29 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โ†’ [(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“)
30 bezoutlemstep.thx . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„ฒ๐‘ฅ๐œƒ
31 bezoutlemstep.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ“ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)))
3231sbcbii 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โ†” [๐‘Š / ๐‘ฆ]โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)))
33 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (๐‘ฆ = ๐‘Š โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ โ†” ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))
3433anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘ฆ = ๐‘Š โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š)))
3534imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฆ = ๐‘Š โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
3635ralbidv 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฆ = ๐‘Š โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
3736sbcieg 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘Š โˆˆ โ„• โ†’ ([๐‘Š / ๐‘ฆ]โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
384, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œƒ โ†’ ([๐‘Š / ๐‘ฆ]โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
3932, 38bitrid 192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œƒ โ†’ ([๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
4030, 39sbcbid 3032 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œƒ โ†’ ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โ†” [(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ]โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
41 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š)))
4241anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š) โ†” (๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š)))
4342imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š)) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
4443ralbidv 2487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
4544sbcieg 3007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โ†’ ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ]โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
4616, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œƒ โ†’ ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ]โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
4740, 46bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œƒ โ†’ ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
4847ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โ†’ ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))))
4929, 48mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š)))
5049r19.21bi 2575 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š)))
5150imp 124 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))
5251simprd 114 . . . . . . . . . 10 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š)
53 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
5453nn0zd 9386 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
55 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„ค)
5655ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ๐‘ž โˆˆ โ„ค)
5720ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„ค)
58 dvdsmultr2 11853 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘Š โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐‘ž ยท ๐‘Š)))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐‘ž ยท ๐‘Š)))
6052, 59mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐‘ž ยท ๐‘Š))
6151simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š))
6256, 57zmulcld 9394 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘ž ยท ๐‘Š) โˆˆ โ„ค)
6317ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆˆ โ„•0)
6463nn0zd 9386 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆˆ โ„ค)
65 dvds2add 11845 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ž ยท ๐‘Š) โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘ฆ mod ๐‘Š) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ (๐‘ž ยท ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š))))
6654, 62, 64, 65syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ง โˆฅ (๐‘ž ยท ๐‘Š) โˆง ๐‘ง โˆฅ (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š))))
6760, 61, 66mp2and 433 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)))
68 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)
6968ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)
7067, 69breqtrd 4041 . . . . . . . . . 10 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)
7152, 70jca 306 . . . . . . . . 9 ((((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ))
7271ex 115 . . . . . . . 8 (((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)))
7372ralrimiva 2560 . . . . . . 7 ((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)))
7431sbcbii 3034 . . . . . . . . 9 ([๐‘Š / ๐‘ฅ]๐œ“ โ†” [๐‘Š / ๐‘ฅ]โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)))
75 breq2 4019 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โ†” ๐‘ง โˆฅ ๐‘Š))
7675anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)))
7776imbi2d 230 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ ((๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ))))
7877ralbidv 2487 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘Š โ†’ (โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ))))
7978sbcieg 3007 . . . . . . . . . 10 (๐‘Š โˆˆ โ„• โ†’ ([๐‘Š / ๐‘ฅ]โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ))))
804, 79syl 14 . . . . . . . . 9 (๐œƒ โ†’ ([๐‘Š / ๐‘ฅ]โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘ฅ โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ)) โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ))))
8174, 80bitrid 192 . . . . . . . 8 (๐œƒ โ†’ ([๐‘Š / ๐‘ฅ]๐œ“ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ))))
8281ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โ†’ ([๐‘Š / ๐‘ฅ]๐œ“ โ†” โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„•0 (๐‘ง โˆฅ ๐‘Ÿ โ†’ (๐‘ง โˆฅ ๐‘Š โˆง ๐‘ง โˆฅ ๐‘ฆ))))
8373, 82mpbird 167 . . . . . 6 ((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โ†’ [๐‘Š / ๐‘ฅ]๐œ“)
84 simplrr 536 . . . . . 6 ((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โ†’ ๐œ‘)
8583, 84jca 306 . . . . 5 ((((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โˆง (๐‘ž โˆˆ โ„ค โˆง ((๐‘ž ยท ๐‘Š) + (๐‘ฆ mod ๐‘Š)) = ๐‘ฆ)) โ†’ ([๐‘Š / ๐‘ฅ]๐œ“ โˆง ๐œ‘))
8628, 85rexlimddv 2609 . . . 4 (((๐œƒ โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0) โˆง ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)) โ†’ ([๐‘Š / ๐‘ฅ]๐œ“ โˆง ๐œ‘))
8786exp31 364 . . 3 (๐œƒ โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†’ (([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘) โ†’ ([๐‘Š / ๐‘ฅ]๐œ“ โˆง ๐œ‘))))
8811, 87reximdai 2585 . 2 (๐œƒ โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 ([(๐‘ฆ mod ๐‘Š) / ๐‘ฅ][๐‘Š / ๐‘ฆ]๐œ“ โˆง ๐œ‘) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 ([๐‘Š / ๐‘ฅ]๐œ“ โˆง ๐œ‘)))
8910, 88mpd 13 1 (๐œƒ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 ([๐‘Š / ๐‘ฅ]๐œ“ โˆง ๐œ‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1363  โ„ฒwnf 1470  [wsb 1772   โˆˆ wcel 2158  โˆ€wral 2465  โˆƒwrex 2466  [wsbc 2974   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  0cc0 7824   + caddc 7827   ยท cmul 7829   < clt 8005  โ„•cn 8932  โ„•0cn0 9189  โ„คcz 9266  โ„šcq 9632   mod cmo 10335   โˆฅ cdvds 11807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-fl 10283  df-mod 10336  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-dvds 11808
This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12012
  Copyright terms: Public domain W3C validator