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Theorem bezoutlemstep 12001
Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemstep.is-bezout (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlemstep.a (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.b (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w (𝜃𝑊 ∈ ℕ)
bezoutlemstep.y-is-bezout (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.y-nn0 (𝜃𝑦 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w-is-bezout (𝜃[𝑊 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.sub-gcd (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
bezoutlemstep.hyp ((𝜃[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑))
bezoutlemstep.thx 𝑥𝜃
bezoutlemstep.thr 𝑟𝜃
Assertion
Ref Expression
bezoutlemstep (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑦   𝜑,𝑧   𝜑,𝑠,𝑡   𝜓,𝑧   𝜃,𝑧   𝜃,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑟)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemstep
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemstep.is-bezout . . . 4 (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
2 bezoutlemstep.a . . . 4 (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
3 bezoutlemstep.b . . . 4 (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
4 bezoutlemstep.w . . . 4 (𝜃𝑊 ∈ ℕ)
5 bezoutlemstep.y-is-bezout . . . 4 (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
6 bezoutlemstep.y-nn0 . . . 4 (𝜃𝑦 ∈ ℕ0)
7 bezoutlemstep.w-is-bezout . . . 4 (𝜃[𝑊 / 𝑟]𝜑)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7bezoutlemnewy 12000 . . 3 (𝜃[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)
9 bezoutlemstep.hyp . . 3 ((𝜃[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑))
108, 9mpdan 421 . 2 (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑))
11 bezoutlemstep.thr . . 3 𝑟𝜃
12 eqidd 2178 . . . . . 6 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊))
136nn0zd 9376 . . . . . . . 8 (𝜃𝑦 ∈ ℤ)
1413ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑦 ∈ ℤ)
154ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑊 ∈ ℕ)
1613, 4zmodcld 10348 . . . . . . . 8 (𝜃 → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
1716ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
18 zq 9629 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
1914, 18syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑦 ∈ ℚ)
2015nnzd 9377 . . . . . . . . 9 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑊 ∈ ℤ)
21 zq 9629 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℤ → 𝑊 ∈ ℚ)
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑊 ∈ ℚ)
2315nngt0d 8966 . . . . . . . 8 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 0 < 𝑊)
24 modqlt 10336 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑊 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑊) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
2519, 22, 23, 24syl3anc 1238 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
26 modremain 11937 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
2714, 15, 17, 25, 26syl112anc 1242 . . . . . 6 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
2812, 27mpbid 147 . . . . 5 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
29 simplrl 535 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓)
30 bezoutlemstep.thx . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝜃
31 bezoutlemstep.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
3231sbcbii 3024 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑊 / 𝑦]𝜓[𝑊 / 𝑦]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
33 breq2 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑊 → (𝑧𝑦𝑧𝑊))
3433anbi2d 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ (𝑧𝑥𝑧𝑊)))
3534imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
3635ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
3736sbcieg 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑦]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
384, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
3932, 38bitrid 192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
4030, 39sbcbid 3022 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
41 breq2 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (𝑧𝑥𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)))
4241anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧𝑥𝑧𝑊) ↔ (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊)))
4342imbi2d 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4443ralbidv 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4544sbcieg 2997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4616, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4740, 46bitrd 188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4847ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4929, 48mpbid 147 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊)))
5049r19.21bi 2565 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊)))
5150imp 124 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))
5251simprd 114 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧𝑊)
53 simplr 528 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∈ ℕ0)
5453nn0zd 9376 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∈ ℤ)
55 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑞 ∈ ℤ)
5655ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑞 ∈ ℤ)
5720ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑊 ∈ ℤ)
58 dvdsmultr2 11843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝑧𝑊𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑧𝑊𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
6052, 59mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊))
6151simpld 112 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊))
6256, 57zmulcld 9384 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ)
6317ad3antrrr 492 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
6463nn0zd 9376 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ)
65 dvds2add 11835 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ ∧ (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
6654, 62, 64, 65syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
6760, 61, 66mp2and 433 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)))
68 simprr 531 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
6968ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
7067, 69breqtrd 4031 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧𝑦)
7152, 70jca 306 . . . . . . . . 9 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑧𝑊𝑧𝑦))
7271ex 115 . . . . . . . 8 (((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦)))
7372ralrimiva 2550 . . . . . . 7 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦)))
7431sbcbii 3024 . . . . . . . . 9 ([𝑊 / 𝑥]𝜓[𝑊 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
75 breq2 4009 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑊 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))
7675anbi1d 465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ (𝑧𝑊𝑧𝑦)))
7776imbi2d 230 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
7877ralbidv 2477 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
7978sbcieg 2997 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
804, 79syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
8174, 80bitrid 192 . . . . . . . 8 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
8281ad3antrrr 492 . . . . . . 7 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
8373, 82mpbird 167 . . . . . 6 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [𝑊 / 𝑥]𝜓)
84 simplrr 536 . . . . . 6 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝜑)
8583, 84jca 306 . . . . 5 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
8628, 85rexlimddv 2599 . . . 4 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
8786exp31 364 . . 3 (𝜃 → (𝑟 ∈ ℕ0 → (([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))))
8811, 87reximdai 2575 . 2 (𝜃 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑)))
8910, 88mpd 13 1 (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wnf 1460  [wsb 1762  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  [wsbc 2964   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  0cc0 7814   + caddc 7817   · cmul 7819   < clt 7995  cn 8922  0cn0 9179  cz 9256  cq 9622   mod cmo 10325  cdvds 11797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798
This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12002
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