Theorem bezoutlemstep 12403

Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemstep.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlemstep.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w	⊢ (𝜃 → 𝑊 ∈ ℕ)
bezoutlemstep.y-is-bezout	⊢ (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.y-nn0	⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w-is-bezout	⊢ (𝜃 → [𝑊 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.sub-gcd	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
bezoutlemstep.hyp	⊢ ((𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
bezoutlemstep.thx	⊢ Ⅎ𝑥𝜃
bezoutlemstep.thr	⊢ Ⅎ𝑟𝜃

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemstep	⊢ (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑦   𝜑,𝑧   𝜑,𝑠,𝑡   𝜓,𝑧   𝜃,𝑧   𝜃,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑟)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemstep

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemstep.is-bezout	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
2		bezoutlemstep.a	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3		bezoutlemstep.b	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4		bezoutlemstep.w	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝑊 ∈ ℕ)
5		bezoutlemstep.y-is-bezout	. . . 4 ⊢ (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
6		bezoutlemstep.y-nn0	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℕ0)
7		bezoutlemstep.w-is-bezout	. . . 4 ⊢ (𝜃 → [𝑊 / 𝑟]𝜑)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	bezoutlemnewy 12402	. . 3 ⊢ (𝜃 → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)
9		bezoutlemstep.hyp	. . 3 ⊢ ((𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
10	8, 9	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
11		bezoutlemstep.thr	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑟𝜃
12		eqidd 2207	. . . . . 6 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊))
13	6	nn0zd 9523	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑦 ∈ ℤ)
15	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑊 ∈ ℕ)
16	13, 4	zmodcld 10522	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜃 → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
18		zq 9777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑦 ∈ ℚ)
20	15	nnzd 9524	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑊 ∈ ℤ)
21		zq 9777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℤ → 𝑊 ∈ ℚ)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑊 ∈ ℚ)
23	15	nngt0d 9110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 0 < 𝑊)
24		modqlt 10510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑊 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑊) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1250	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
26		modremain 12325	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
27	14, 15, 17, 25, 26	syl112anc 1254	. . . . . 6 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
28	12, 27	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
29		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓)
30		bezoutlemstep.thx	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝜃
31		bezoutlemstep.sub-gcd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
32	31	sbcbii 3062	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ [𝑊 / 𝑦]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
33		breq2 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → (𝑧 ∥ 𝑦 ↔ 𝑧 ∥ 𝑊))
34	33	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦) ↔ (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
35	34	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
36	35	ralbidv 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
37	36	sbcieg 3035	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑦]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
38	4, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
39	32, 38	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
40	30, 39	sbcbid 3060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
41		breq2 4058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (𝑧 ∥ 𝑥 ↔ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)))
42	41	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊) ↔ (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
43	42	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
44	43	ralbidv 2507	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
45	44	sbcieg 3035	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
46	16, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
47	40, 46	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
48	47	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
49	29, 48	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
50	49	r19.21bi 2595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
51	50	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))
52	51	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ 𝑊)
53		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∈ ℕ0)
54	53	nn0zd 9523	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∈ ℤ)
55		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑞 ∈ ℤ)
56	55	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑞 ∈ ℤ)
57	20	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑊 ∈ ℤ)
58		dvdsmultr2 12229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑊 → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑧 ∥ 𝑊 → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
60	52, 59	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊))
61	51	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊))
62	56, 57	zmulcld 9531	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ)
63	17	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
64	63	nn0zd 9523	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ)
65		dvds2add 12221	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ ∧ (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
66	54, 62, 64, 65	syl3anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
67	60, 61, 66	mp2and 433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)))
68		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
69	68	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
70	67, 69	breqtrd 4080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ 𝑦)
71	52, 70	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))
72	71	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
73	72	ralrimiva 2580	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
74	31	sbcbii 3062	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑊 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
75		breq2 4058	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑧 ∥ 𝑥 ↔ 𝑧 ∥ 𝑊))
76	75	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦) ↔ (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
77	76	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
78	77	ralbidv 2507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
79	78	sbcieg 3035	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
80	4, 79	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
81	74, 80	bitrid 192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
82	81	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
83	73, 82	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [𝑊 / 𝑥]𝜓)
84		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝜑)
85	83, 84	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
86	28, 85	rexlimddv 2629	. . . 4 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
87	86	exp31 364	. . 3 ⊢ (𝜃 → (𝑟 ∈ ℕ0 → (([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
88	11, 87	reximdai 2605	. 2 ⊢ (𝜃 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
89	10, 88	mpd 13	1 ⊢ (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  Ⅎwnf 1484  [wsb 1786   ∈ wcel 2177  ∀wral 2485  ∃wrex 2486  [wsbc 3002   class class class wbr 4054  (class class class)co 5962  0cc0 7955   + caddc 7958   · cmul 7960   < clt 8137  ℕcn 9066  ℕ₀cn0 9325  ℤcz 9402  ℚcq 9770   mod cmo 10499   ∥ cdvds 12183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-mulrcl 8054  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-0lt1 8061  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-precex 8065  ax-cnre 8066  ax-pre-ltirr 8067  ax-pre-ltwlin 8068  ax-pre-lttrn 8069  ax-pre-apti 8070  ax-pre-ltadd 8071  ax-pre-mulgt0 8072  ax-pre-mulext 8073  ax-arch 8074

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-po 4356  df-iso 4357  df-iord 4426  df-on 4428  df-ilim 4429  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-recs 6409  df-frec 6495  df-pnf 8139  df-mnf 8140  df-xr 8141  df-ltxr 8142  df-le 8143  df-sub 8275  df-neg 8276  df-reap 8678  df-ap 8685  df-div 8776  df-inn 9067  df-2 9125  df-n0 9326  df-z 9403  df-uz 9679  df-q 9771  df-rp 9806  df-fl 10445  df-mod 10500  df-seqfrec 10625  df-exp 10716  df-cj 11238  df-re 11239  df-im 11240  df-rsqrt 11394  df-abs 11395  df-dvds 12184

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12404