Theorem bezoutlemstep 12001

Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemstep.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlemstep.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w	⊢ (𝜃 → 𝑊 ∈ ℕ)
bezoutlemstep.y-is-bezout	⊢ (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.y-nn0	⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w-is-bezout	⊢ (𝜃 → [𝑊 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.sub-gcd	⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
bezoutlemstep.hyp	⊢ ((𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
bezoutlemstep.thx	⊢ Ⅎ𝑥𝜃
bezoutlemstep.thr	⊢ Ⅎ𝑟𝜃

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemstep	⊢ (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑦   𝜑,𝑧   𝜑,𝑠,𝑡   𝜓,𝑧   𝜃,𝑧   𝜃,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑟)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemstep

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemstep.is-bezout	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
2		bezoutlemstep.a	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
3		bezoutlemstep.b	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4		bezoutlemstep.w	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝑊 ∈ ℕ)
5		bezoutlemstep.y-is-bezout	. . . 4 ⊢ (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
6		bezoutlemstep.y-nn0	. . . 4 ⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℕ0)
7		bezoutlemstep.w-is-bezout	. . . 4 ⊢ (𝜃 → [𝑊 / 𝑟]𝜑)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	bezoutlemnewy 12000	. . 3 ⊢ (𝜃 → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)
9		bezoutlemstep.hyp	. . 3 ⊢ ((𝜃 ∧ [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
10	8, 9	mpdan 421	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑))
11		bezoutlemstep.thr	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑟𝜃
12		eqidd 2178	. . . . . 6 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊))
13	6	nn0zd 9376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℤ)
14	13	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑦 ∈ ℤ)
15	4	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑊 ∈ ℕ)
16	13, 4	zmodcld 10348	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜃 → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
17	16	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
18		zq 9629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
19	14, 18	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑦 ∈ ℚ)
20	15	nnzd 9377	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑊 ∈ ℤ)
21		zq 9629	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℤ → 𝑊 ∈ ℚ)
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 𝑊 ∈ ℚ)
23	15	nngt0d 8966	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → 0 < 𝑊)
24		modqlt 10336	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑊 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑊) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
25	19, 22, 23, 24	syl3anc 1238	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
26		modremain 11937	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
27	14, 15, 17, 25, 26	syl112anc 1242	. . . . . 6 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
28	12, 27	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
29		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓)
30		bezoutlemstep.thx	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝜃
31		bezoutlemstep.sub-gcd	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
32	31	sbcbii 3024	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ([𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ [𝑊 / 𝑦]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
33		breq2 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → (𝑧 ∥ 𝑦 ↔ 𝑧 ∥ 𝑊))
34	33	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦) ↔ (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
35	34	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
36	35	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
37	36	sbcieg 2997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑦]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
38	4, 37	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
39	32, 38	bitrid 192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
40	30, 39	sbcbid 3022	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
41		breq2 4009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (𝑧 ∥ 𝑥 ↔ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)))
42	41	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊) ↔ (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
43	42	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
44	43	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
45	44	sbcieg 2997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
46	16, 45	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
47	40, 46	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
48	47	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))))
49	29, 48	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
50	49	r19.21bi 2565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊)))
51	50	imp 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ 𝑊))
52	51	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ 𝑊)
53		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∈ ℕ0)
54	53	nn0zd 9376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∈ ℤ)
55		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑞 ∈ ℤ)
56	55	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑞 ∈ ℤ)
57	20	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑊 ∈ ℤ)
58		dvdsmultr2 11843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝑧 ∥ 𝑊 → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
59	54, 56, 57, 58	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑧 ∥ 𝑊 → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
60	52, 59	mpd 13	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊))
61	51	simpld 112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊))
62	56, 57	zmulcld 9384	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ)
63	17	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
64	63	nn0zd 9376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ)
65		dvds2add 11835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ ∧ (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
66	54, 62, 64, 65	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
67	60, 61, 66	mp2and 433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)))
68		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
69	68	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
70	67, 69	breqtrd 4031	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → 𝑧 ∥ 𝑦)
71	52, 70	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧 ∥ 𝑟) → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))
72	71	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
73	72	ralrimiva 2550	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
74	31	sbcbii 3024	. . . . . . . . 9 ⊢ ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ [𝑊 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
75		breq2 4009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (𝑧 ∥ 𝑥 ↔ 𝑧 ∥ 𝑊))
76	75	anbi1d 465	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦) ↔ (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)))
77	76	imbi2d 230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
78	77	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
79	78	sbcieg 2997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
80	4, 79	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑥 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
81	74, 80	bitrid 192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
82	81	ad3antrrr 492	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧 ∥ 𝑟 → (𝑧 ∥ 𝑊 ∧ 𝑧 ∥ 𝑦))))
83	73, 82	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [𝑊 / 𝑥]𝜓)
84		simplrr 536	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝜑)
85	83, 84	jca 306	. . . . 5 ⊢ ((((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
86	28, 85	rexlimddv 2599	. . . 4 ⊢ (((𝜃 ∧ 𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))
87	86	exp31 364	. . 3 ⊢ (𝜃 → (𝑟 ∈ ℕ0 → (([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))))
88	11, 87	reximdai 2575	. 2 ⊢ (𝜃 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ∧ 𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑)))
89	10, 88	mpd 13	1 ⊢ (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ∧ 𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  Ⅎwnf 1460  [wsb 1762   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  [wsbc 2964   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  0cc0 7814   + caddc 7817   · cmul 7819   < clt 7995  ℕcn 8922  ℕ₀cn0 9179  ℤcz 9256  ℚcq 9622   mod cmo 10325   ∥ cdvds 11797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-mulrcl 7913  ax-addcom 7914  ax-mulcom 7915  ax-addass 7916  ax-mulass 7917  ax-distr 7918  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-1rid 7921  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-precex 7924  ax-cnre 7925  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltwlin 7927  ax-pre-lttrn 7928  ax-pre-apti 7929  ax-pre-ltadd 7930  ax-pre-mulgt0 7931  ax-pre-mulext 7932  ax-arch 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-frec 6395  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001  df-sub 8133  df-neg 8134  df-reap 8535  df-ap 8542  df-div 8633  df-inn 8923  df-2 8981  df-n0 9180  df-z 9257  df-uz 9532  df-q 9623  df-rp 9657  df-fl 10273  df-mod 10326  df-seqfrec 10449  df-exp 10523  df-cj 10854  df-re 10855  df-im 10856  df-rsqrt 11010  df-abs 11011  df-dvds 11798

This theorem is referenced by:  bezoutlemmain  12002