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Theorem bezoutlemstep 11079
Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemstep.is-bezout (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlemstep.a (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.b (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w (𝜃𝑊 ∈ ℕ)
bezoutlemstep.y-is-bezout (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.y-nn0 (𝜃𝑦 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w-is-bezout (𝜃[𝑊 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.sub-gcd (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
bezoutlemstep.hyp ((𝜃[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑))
bezoutlemstep.thx 𝑥𝜃
bezoutlemstep.thr 𝑟𝜃
Assertion
Ref Expression
bezoutlemstep (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑦   𝜑,𝑧   𝜑,𝑠,𝑡   𝜓,𝑧   𝜃,𝑧   𝜃,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑟)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemstep
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemstep.is-bezout . . . 4 (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
2 bezoutlemstep.a . . . 4 (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
3 bezoutlemstep.b . . . 4 (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
4 bezoutlemstep.w . . . 4 (𝜃𝑊 ∈ ℕ)
5 bezoutlemstep.y-is-bezout . . . 4 (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
6 bezoutlemstep.y-nn0 . . . 4 (𝜃𝑦 ∈ ℕ0)
7 bezoutlemstep.w-is-bezout . . . 4 (𝜃[𝑊 / 𝑟]𝜑)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7bezoutlemnewy 11078 . . 3 (𝜃[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)
9 bezoutlemstep.hyp . . 3 ((𝜃[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑))
108, 9mpdan 412 . 2 (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑))
11 bezoutlemstep.thr . . 3 𝑟𝜃
12 eqidd 2089 . . . . . 6 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊))
136nn0zd 8836 . . . . . . . 8 (𝜃𝑦 ∈ ℤ)
1413ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑦 ∈ ℤ)
154ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑊 ∈ ℕ)
1613, 4zmodcld 9717 . . . . . . . 8 (𝜃 → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
1716ad2antrr 472 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
18 zq 9080 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
1914, 18syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑦 ∈ ℚ)
2015nnzd 8837 . . . . . . . . 9 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑊 ∈ ℤ)
21 zq 9080 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℤ → 𝑊 ∈ ℚ)
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑊 ∈ ℚ)
2315nngt0d 8437 . . . . . . . 8 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 0 < 𝑊)
24 modqlt 9705 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑊 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑊) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
2519, 22, 23, 24syl3anc 1174 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
26 modremain 11022 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
2714, 15, 17, 25, 26syl112anc 1178 . . . . . 6 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
2812, 27mpbid 145 . . . . 5 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
29 simplrl 502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓)
30 bezoutlemstep.thx . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝜃
31 bezoutlemstep.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
3231sbcbii 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑊 / 𝑦]𝜓[𝑊 / 𝑦]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
33 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑊 → (𝑧𝑦𝑧𝑊))
3433anbi2d 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ (𝑧𝑥𝑧𝑊)))
3534imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
3635ralbidv 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
3736sbcieg 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑦]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
384, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
3932, 38syl5bb 190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
4030, 39sbcbid 2894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
41 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (𝑧𝑥𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)))
4241anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧𝑥𝑧𝑊) ↔ (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊)))
4342imbi2d 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4443ralbidv 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4544sbcieg 2869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4616, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4740, 46bitrd 186 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4847ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4929, 48mpbid 145 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊)))
5049r19.21bi 2461 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊)))
5150imp 122 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))
5251simprd 112 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧𝑊)
53 simplr 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∈ ℕ0)
5453nn0zd 8836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∈ ℤ)
55 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑞 ∈ ℤ)
5655ad2antrr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑞 ∈ ℤ)
5720ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑊 ∈ ℤ)
58 dvdsmultr2 10929 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝑧𝑊𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑧𝑊𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
6052, 59mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊))
6151simpld 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊))
6256, 57zmulcld 8844 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ)
6317ad3antrrr 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
6463nn0zd 8836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ)
65 dvds2add 10923 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ ∧ (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
6654, 62, 64, 65syl3anc 1174 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
6760, 61, 66mp2and 424 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)))
68 simprr 499 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
6968ad2antrr 472 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
7067, 69breqtrd 3861 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧𝑦)
7152, 70jca 300 . . . . . . . . 9 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑧𝑊𝑧𝑦))
7271ex 113 . . . . . . . 8 (((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦)))
7372ralrimiva 2446 . . . . . . 7 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦)))
7431sbcbii 2896 . . . . . . . . 9 ([𝑊 / 𝑥]𝜓[𝑊 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
75 breq2 3841 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑊 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))
7675anbi1d 453 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ (𝑧𝑊𝑧𝑦)))
7776imbi2d 228 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
7877ralbidv 2380 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
7978sbcieg 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
804, 79syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
8174, 80syl5bb 190 . . . . . . . 8 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
8281ad3antrrr 476 . . . . . . 7 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
8373, 82mpbird 165 . . . . . 6 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [𝑊 / 𝑥]𝜓)
84 simplrr 503 . . . . . 6 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝜑)
8583, 84jca 300 . . . . 5 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
8628, 85rexlimddv 2493 . . . 4 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
8786exp31 356 . . 3 (𝜃 → (𝑟 ∈ ℕ0 → (([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))))
8811, 87reximdai 2471 . 2 (𝜃 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑)))
8910, 88mpd 13 1 (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wnf 1394  wcel 1438  [wsb 1692  wral 2359  wrex 2360  [wsbc 2838   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  0cc0 7329   + caddc 7332   · cmul 7334   < clt 7501  cn 8394  0cn0 8643  cz 8720  cq 9073   mod cmo 9694  cdvds 10889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1cn 7417  ax-1re 7418  ax-icn 7419  ax-addcl 7420  ax-addrcl 7421  ax-mulcl 7422  ax-mulrcl 7423  ax-addcom 7424  ax-mulcom 7425  ax-addass 7426  ax-mulass 7427  ax-distr 7428  ax-i2m1 7429  ax-0lt1 7430  ax-1rid 7431  ax-0id 7432  ax-rnegex 7433  ax-precex 7434  ax-cnre 7435  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-ltwlin 7437  ax-pre-lttrn 7438  ax-pre-apti 7439  ax-pre-ltadd 7440  ax-pre-mulgt0 7441  ax-pre-mulext 7442  ax-arch 7443
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-if 3390  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-ilim 4187  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-riota 5590  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-frec 6138  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-sub 7634  df-neg 7635  df-reap 8028  df-ap 8035  df-div 8114  df-inn 8395  df-2 8452  df-n0 8644  df-z 8721  df-uz 8989  df-q 9074  df-rp 9104  df-fl 9642  df-mod 9695  df-iseq 9818  df-seq3 9819  df-exp 9920  df-cj 10241  df-re 10242  df-im 10243  df-rsqrt 10396  df-abs 10397  df-dvds 10890
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