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Theorem bezoutlemstep 11592
Description: Lemma for Bézout's identity. This is the induction step for the proof by induction. (Contributed by Jim Kingdon, 3-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlemstep.is-bezout (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlemstep.a (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.b (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w (𝜃𝑊 ∈ ℕ)
bezoutlemstep.y-is-bezout (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.y-nn0 (𝜃𝑦 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w-is-bezout (𝜃[𝑊 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.sub-gcd (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
bezoutlemstep.hyp ((𝜃[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑))
bezoutlemstep.thx 𝑥𝜃
bezoutlemstep.thr 𝑟𝜃
Assertion
Ref Expression
bezoutlemstep (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡   𝑊,𝑟,𝑥,𝑦,𝑧   𝑊,𝑠,𝑡,𝑦   𝜑,𝑧   𝜑,𝑠,𝑡   𝜓,𝑧   𝜃,𝑧   𝜃,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑟)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑟)   𝐴(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem bezoutlemstep
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bezoutlemstep.is-bezout . . . 4 (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
2 bezoutlemstep.a . . . 4 (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
3 bezoutlemstep.b . . . 4 (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
4 bezoutlemstep.w . . . 4 (𝜃𝑊 ∈ ℕ)
5 bezoutlemstep.y-is-bezout . . . 4 (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
6 bezoutlemstep.y-nn0 . . . 4 (𝜃𝑦 ∈ ℕ0)
7 bezoutlemstep.w-is-bezout . . . 4 (𝜃[𝑊 / 𝑟]𝜑)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7bezoutlemnewy 11591 . . 3 (𝜃[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)
9 bezoutlemstep.hyp . . 3 ((𝜃[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑))
108, 9mpdan 415 . 2 (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑))
11 bezoutlemstep.thr . . 3 𝑟𝜃
12 eqidd 2116 . . . . . 6 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊))
136nn0zd 9125 . . . . . . . 8 (𝜃𝑦 ∈ ℤ)
1413ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑦 ∈ ℤ)
154ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑊 ∈ ℕ)
1613, 4zmodcld 10069 . . . . . . . 8 (𝜃 → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
1716ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
18 zq 9370 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
1914, 18syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑦 ∈ ℚ)
2015nnzd 9126 . . . . . . . . 9 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑊 ∈ ℤ)
21 zq 9370 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ℤ → 𝑊 ∈ ℚ)
2220, 21syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 𝑊 ∈ ℚ)
2315nngt0d 8724 . . . . . . . 8 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → 0 < 𝑊)
24 modqlt 10057 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑊 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑊) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
2519, 22, 23, 24syl3anc 1199 . . . . . . 7 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
26 modremain 11533 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
2714, 15, 17, 25, 26syl112anc 1203 . . . . . 6 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
2812, 27mpbid 146 . . . . 5 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
29 simplrl 507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓)
30 bezoutlemstep.thx . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝜃
31 bezoutlemstep.sub-gcd . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
3231sbcbii 2938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ([𝑊 / 𝑦]𝜓[𝑊 / 𝑦]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
33 breq2 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑊 → (𝑧𝑦𝑧𝑊))
3433anbi2d 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ (𝑧𝑥𝑧𝑊)))
3534imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑊 → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
3635ralbidv 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
3736sbcieg 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑦]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
384, 37syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
3932, 38syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
4030, 39sbcbid 2936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓[(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))))
41 breq2 3901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (𝑧𝑥𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)))
4241anbi1d 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧𝑥𝑧𝑊) ↔ (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊)))
4342imbi2d 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4443ralbidv 2412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝑦 mod 𝑊) → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4544sbcieg 2911 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4616, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑊)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4740, 46bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜃 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4847ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))))
4929, 48mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊)))
5049r19.21bi 2495 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑟 → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊)))
5150imp 123 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊) ∧ 𝑧𝑊))
5251simprd 113 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧𝑊)
53 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∈ ℕ0)
5453nn0zd 9125 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∈ ℤ)
55 simprl 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑞 ∈ ℤ)
5655ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑞 ∈ ℤ)
5720ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑊 ∈ ℤ)
58 dvdsmultr2 11440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℤ) → (𝑧𝑊𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
5954, 56, 57, 58syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑧𝑊𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊)))
6052, 59mpd 13 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊))
6151simpld 111 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊))
6256, 57zmulcld 9133 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ)
6317ad3antrrr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
6463nn0zd 9125 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ)
65 dvds2add 11434 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ (𝑞 · 𝑊) ∈ ℤ ∧ (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℤ) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
6654, 62, 64, 65syl3anc 1199 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → ((𝑧 ∥ (𝑞 · 𝑊) ∧ 𝑧 ∥ (𝑦 mod 𝑊)) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊))))
6760, 61, 66mp2and 427 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧 ∥ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)))
68 simprr 504 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
6968ad2antrr 477 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
7067, 69breqtrd 3922 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → 𝑧𝑦)
7152, 70jca 302 . . . . . . . . 9 ((((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) ∧ 𝑧𝑟) → (𝑧𝑊𝑧𝑦))
7271ex 114 . . . . . . . 8 (((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) ∧ 𝑧 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦)))
7372ralrimiva 2480 . . . . . . 7 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦)))
7431sbcbii 2938 . . . . . . . . 9 ([𝑊 / 𝑥]𝜓[𝑊 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)))
75 breq2 3901 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑊 → (𝑧𝑥𝑧𝑊))
7675anbi1d 458 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧𝑥𝑧𝑦) ↔ (𝑧𝑊𝑧𝑦)))
7776imbi2d 229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑊 → ((𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
7877ralbidv 2412 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑊 → (∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
7978sbcieg 2911 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
804, 79syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑥𝑧𝑦)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
8174, 80syl5bb 191 . . . . . . . 8 (𝜃 → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
8281ad3antrrr 481 . . . . . . 7 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ0 (𝑧𝑟 → (𝑧𝑊𝑧𝑦))))
8373, 82mpbird 166 . . . . . 6 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [𝑊 / 𝑥]𝜓)
84 simplrr 508 . . . . . 6 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝜑)
8583, 84jca 302 . . . . 5 ((((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
8628, 85rexlimddv 2529 . . . 4 (((𝜃𝑟 ∈ ℕ0) ∧ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑)) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
8786exp31 359 . . 3 (𝜃 → (𝑟 ∈ ℕ0 → (([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑) → ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))))
8811, 87reximdai 2505 . 2 (𝜃 → (∃𝑟 ∈ ℕ0 ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑥][𝑊 / 𝑦]𝜓𝜑) → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑)))
8910, 88mpd 13 1 (𝜃 → ∃𝑟 ∈ ℕ0 ([𝑊 / 𝑥]𝜓𝜑))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wnf 1419  wcel 1463  [wsb 1718  wral 2391  wrex 2392  [wsbc 2880   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740  0cc0 7584   + caddc 7587   · cmul 7589   < clt 7764  cn 8680  0cn0 8931  cz 9008  cq 9363   mod cmo 10046  cdvds 11400
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8396  df-inn 8681  df-2 8739  df-n0 8932  df-z 9009  df-uz 9279  df-q 9364  df-rp 9394  df-fl 9994  df-mod 10047  df-seqfrec 10170  df-exp 10244  df-cj 10565  df-re 10566  df-im 10567  df-rsqrt 10721  df-abs 10722  df-dvds 11401
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