Theorem bezoutlemb 12321

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout condition is satisfied by 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlema.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlema.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlema.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemb	⊢ (𝜃 → [𝐵 / 𝑟]𝜑)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem bezoutlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9383	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 9398	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		bezoutlema.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 9350	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 8465	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐴 · 0) = 0)
6	5	oveq1d 5959	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)) = (0 + (𝐵 · 1)))
7		bezoutlema.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 9350	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℂ)
9		1cnd 8088	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 8093	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 1) ∈ ℂ)
11	10	addlidd 8222	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (0 + (𝐵 · 1)) = (𝐵 · 1))
12	8	mulridd 8089	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 1) = 𝐵)
13	6, 11, 12	3eqtrrd 2243	. . 3 ⊢ (𝜃 → 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)))
14		oveq2 5952	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐴 · 𝑠) = (𝐴 · 0))
15	14	oveq1d 5959	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)))
16	15	eqeq2d 2217	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡))))
17		oveq2 5952	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 1 → (𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · 1))
18	17	oveq2d 5960	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 1 → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)))
19	18	eqeq2d 2217	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 1 → (𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1))))
20	16, 19	rspc2ev 2892	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1))) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
21	1, 2, 13, 20	mp3an12i 1354	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
22		bezoutlema.is-bezout	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
23		eqeq1 2212	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
24	23	2rexbidv 2531	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
25	22, 24	bitrid 192	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
26	25	sbcieg 3031	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ([𝐵 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
27	7, 26	syl 14	. 2 ⊢ (𝜃 → ([𝐵 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
28	21, 27	mpbird 167	1 ⊢ (𝜃 → [𝐵 / 𝑟]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ∃wrex 2485  [wsbc 2998  (class class class)co 5944  0cc0 7925  1c1 7926   + caddc 7928   · cmul 7930  ℕ₀cn0 9295  ℤcz 9372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-n0 9296  df-z 9373

This theorem is referenced by:  bezoutlemex  12322