Theorem bezoutlemb 12014

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout condition is satisfied by 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlema.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlema.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlema.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemb	⊢ (𝜃 → [𝐵 / 𝑟]𝜑)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem bezoutlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 9277	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 9292	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		bezoutlema.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 9244	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 8363	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐴 · 0) = 0)
6	5	oveq1d 5903	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)) = (0 + (𝐵 · 1)))
7		bezoutlema.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 9244	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℂ)
9		1cnd 7986	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 7991	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 1) ∈ ℂ)
11	10	addid2d 8120	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (0 + (𝐵 · 1)) = (𝐵 · 1))
12	8	mulridd 7987	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 1) = 𝐵)
13	6, 11, 12	3eqtrrd 2225	. . 3 ⊢ (𝜃 → 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)))
14		oveq2 5896	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐴 · 𝑠) = (𝐴 · 0))
15	14	oveq1d 5903	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)))
16	15	eqeq2d 2199	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡))))
17		oveq2 5896	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 1 → (𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · 1))
18	17	oveq2d 5904	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 1 → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)))
19	18	eqeq2d 2199	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 1 → (𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1))))
20	16, 19	rspc2ev 2868	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1))) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
21	1, 2, 13, 20	mp3an12i 1351	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
22		bezoutlema.is-bezout	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
23		eqeq1 2194	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
24	23	2rexbidv 2512	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
25	22, 24	bitrid 192	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
26	25	sbcieg 3007	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ([𝐵 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
27	7, 26	syl 14	. 2 ⊢ (𝜃 → ([𝐵 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
28	21, 27	mpbird 167	1 ⊢ (𝜃 → [𝐵 / 𝑟]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∃wrex 2466  [wsbc 2974  (class class class)co 5888  0cc0 7824  1c1 7825   + caddc 7827   · cmul 7829  ℕ₀cn0 9189  ℤcz 9266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-ltadd 7940

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-n0 9190  df-z 9267

This theorem is referenced by:  bezoutlemex  12015