Theorem bezoutlemb 11481

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout condition is satisfied by 𝐵. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlema.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlema.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlema.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemb	⊢ (𝜃 → [𝐵 / 𝑟]𝜑)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem bezoutlemb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 8917	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		1z 8932	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
3		bezoutlema.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 8884	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 8022	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐴 · 0) = 0)
6	5	oveq1d 5721	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)) = (0 + (𝐵 · 1)))
7		bezoutlema.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 8884	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℂ)
9		1cnd 7654	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 7658	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 1) ∈ ℂ)
11	10	addid2d 7783	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (0 + (𝐵 · 1)) = (𝐵 · 1))
12	8	mulid1d 7655	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 1) = 𝐵)
13	6, 11, 12	3eqtrrd 2137	. . 3 ⊢ (𝜃 → 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)))
14		oveq2 5714	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐴 · 𝑠) = (𝐴 · 0))
15	14	oveq1d 5721	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 0 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)))
16	15	eqeq2d 2111	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 0 → (𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡))))
17		oveq2 5714	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 1 → (𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · 1))
18	17	oveq2d 5722	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 1 → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1)))
19	18	eqeq2d 2111	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 1 → (𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1))))
20	16, 19	rspc2ev 2758	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ ∧ 𝐵 = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 1))) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
21	1, 2, 13, 20	mp3an12i 1287	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
22		bezoutlema.is-bezout	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
23		eqeq1 2106	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
24	23	2rexbidv 2419	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
25	22, 24	syl5bb 191	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐵 → (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
26	25	sbcieg 2893	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 → ([𝐵 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
27	7, 26	syl 14	. 2 ⊢ (𝜃 → ([𝐵 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐵 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
28	21, 27	mpbird 166	1 ⊢ (𝜃 → [𝐵 / 𝑟]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1299   ∈ wcel 1448  ∃wrex 2376  [wsbc 2862  (class class class)co 5706  0cc0 7500  1c1 7501   + caddc 7503   · cmul 7505  ℕ₀cn0 8829  ℤcz 8906

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-1cn 7588  ax-1re 7589  ax-icn 7590  ax-addcl 7591  ax-addrcl 7592  ax-mulcl 7593  ax-addcom 7595  ax-mulcom 7596  ax-addass 7597  ax-mulass 7598  ax-distr 7599  ax-i2m1 7600  ax-0lt1 7601  ax-1rid 7602  ax-0id 7603  ax-rnegex 7604  ax-cnre 7606  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-lttrn 7609  ax-pre-ltadd 7611

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 931  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-int 3719  df-br 3876  df-opab 3930  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fv 5067  df-riota 5662  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678  df-sub 7806  df-neg 7807  df-inn 8579  df-n0 8830  df-z 8907

This theorem is referenced by:  bezoutlemex  11482