ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlemb GIF version

Theorem bezoutlemb 12020
Description: Lemma for Bรฉzout's identity. The is-bezout condition is satisfied by ๐ต. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlema.is-bezout (๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
bezoutlema.a (๐œƒ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
bezoutlema.b (๐œƒ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
Assertion
Ref Expression
bezoutlemb (๐œƒ โ†’ [๐ต / ๐‘Ÿ]๐œ‘)
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก   ๐ต,๐‘Ÿ,๐‘ ,๐‘ก
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ก,๐‘ ,๐‘Ÿ)   ๐œƒ(๐‘ก,๐‘ ,๐‘Ÿ)

Proof of Theorem bezoutlemb
StepHypRef Expression
1 0z 9283 . . 3 0 โˆˆ โ„ค
2 1z 9298 . . 3 1 โˆˆ โ„ค
3 bezoutlema.a . . . . . . 7 (๐œƒ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„•0)
43nn0cnd 9250 . . . . . 6 (๐œƒ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
54mul01d 8369 . . . . 5 (๐œƒ โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
65oveq1d 5906 . . . 4 (๐œƒ โ†’ ((๐ด ยท 0) + (๐ต ยท 1)) = (0 + (๐ต ยท 1)))
7 bezoutlema.b . . . . . . 7 (๐œƒ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„•0)
87nn0cnd 9250 . . . . . 6 (๐œƒ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
9 1cnd 7992 . . . . . 6 (๐œƒ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
108, 9mulcld 7997 . . . . 5 (๐œƒ โ†’ (๐ต ยท 1) โˆˆ โ„‚)
1110addlidd 8126 . . . 4 (๐œƒ โ†’ (0 + (๐ต ยท 1)) = (๐ต ยท 1))
128mulridd 7993 . . . 4 (๐œƒ โ†’ (๐ต ยท 1) = ๐ต)
136, 11, 123eqtrrd 2227 . . 3 (๐œƒ โ†’ ๐ต = ((๐ด ยท 0) + (๐ต ยท 1)))
14 oveq2 5899 . . . . . 6 (๐‘  = 0 โ†’ (๐ด ยท ๐‘ ) = (๐ด ยท 0))
1514oveq1d 5906 . . . . 5 (๐‘  = 0 โ†’ ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)) = ((๐ด ยท 0) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
1615eqeq2d 2201 . . . 4 (๐‘  = 0 โ†’ (๐ต = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)) โ†” ๐ต = ((๐ด ยท 0) + (๐ต ยท ๐‘ก))))
17 oveq2 5899 . . . . . 6 (๐‘ก = 1 โ†’ (๐ต ยท ๐‘ก) = (๐ต ยท 1))
1817oveq2d 5907 . . . . 5 (๐‘ก = 1 โ†’ ((๐ด ยท 0) + (๐ต ยท ๐‘ก)) = ((๐ด ยท 0) + (๐ต ยท 1)))
1918eqeq2d 2201 . . . 4 (๐‘ก = 1 โ†’ (๐ต = ((๐ด ยท 0) + (๐ต ยท ๐‘ก)) โ†” ๐ต = ((๐ด ยท 0) + (๐ต ยท 1))))
2016, 19rspc2ev 2871 . . 3 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง 1 โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต = ((๐ด ยท 0) + (๐ต ยท 1))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐ต = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
211, 2, 13, 20mp3an12i 1352 . 2 (๐œƒ โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐ต = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
22 bezoutlema.is-bezout . . . . 5 (๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)))
23 eqeq1 2196 . . . . . 6 (๐‘Ÿ = ๐ต โ†’ (๐‘Ÿ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)) โ†” ๐ต = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก))))
24232rexbidv 2515 . . . . 5 (๐‘Ÿ = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐‘Ÿ = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก)) โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐ต = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก))))
2522, 24bitrid 192 . . . 4 (๐‘Ÿ = ๐ต โ†’ (๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐ต = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก))))
2625sbcieg 3010 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„•0 โ†’ ([๐ต / ๐‘Ÿ]๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐ต = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก))))
277, 26syl 14 . 2 (๐œƒ โ†’ ([๐ต / ๐‘Ÿ]๐œ‘ โ†” โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„ค โˆƒ๐‘ก โˆˆ โ„ค ๐ต = ((๐ด ยท ๐‘ ) + (๐ต ยท ๐‘ก))))
2821, 27mpbird 167 1 (๐œƒ โ†’ [๐ต / ๐‘Ÿ]๐œ‘)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 105   = wceq 1364   โˆˆ wcel 2160  โˆƒwrex 2469  [wsbc 2977  (class class class)co 5891  0cc0 7830  1c1 7831   + caddc 7833   ยท cmul 7835  โ„•0cn0 9195  โ„คcz 9272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7921  ax-resscn 7922  ax-1cn 7923  ax-1re 7924  ax-icn 7925  ax-addcl 7926  ax-addrcl 7927  ax-mulcl 7928  ax-addcom 7930  ax-mulcom 7931  ax-addass 7932  ax-mulass 7933  ax-distr 7934  ax-i2m1 7935  ax-0lt1 7936  ax-1rid 7937  ax-0id 7938  ax-rnegex 7939  ax-cnre 7941  ax-pre-ltirr 7942  ax-pre-ltwlin 7943  ax-pre-lttrn 7944  ax-pre-ltadd 7946
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-pnf 8013  df-mnf 8014  df-xr 8015  df-ltxr 8016  df-le 8017  df-sub 8149  df-neg 8150  df-inn 8939  df-n0 9196  df-z 9273
This theorem is referenced by:  bezoutlemex  12021
  Copyright terms: Public domain W3C validator