ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjth GIF version

Theorem cjth 11157
Description: The defining property of the complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cjth (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))

Proof of Theorem cjth
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cju 9034 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
2 riotasbc 5915 . . . 4 (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) → [(𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
31, 2syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → [(𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
4 cjval 11156 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
54sbceq1d 3003 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ [(𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
63, 5mpbird 167 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → [(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
7 riotacl 5914 . . . . 5 (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
81, 7syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
94, 8eqeltrd 2282 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10 oveq2 5952 . . . . . 6 (𝑥 = (∗‘𝐴) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
1110eleq1d 2274 . . . . 5 (𝑥 = (∗‘𝐴) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ))
12 oveq2 5952 . . . . . . 7 (𝑥 = (∗‘𝐴) → (𝐴𝑥) = (𝐴 − (∗‘𝐴)))
1312oveq2d 5960 . . . . . 6 (𝑥 = (∗‘𝐴) → (i · (𝐴𝑥)) = (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
1413eleq1d 2274 . . . . 5 (𝑥 = (∗‘𝐴) → ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
1511, 14anbi12d 473 . . . 4 (𝑥 = (∗‘𝐴) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
1615sbcieg 3031 . . 3 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
179, 16syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
186, 17mpbid 147 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1373  wcel 2176  ∃!wreu 2486  [wsbc 2998  cfv 5271  crio 5898  (class class class)co 5944  cc 7923  cr 7924  ici 7927   + caddc 7928   · cmul 7930  cmin 8243  ccj 11150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-cj 11153
This theorem is referenced by:  recl  11164  crre  11168
  Copyright terms: Public domain W3C validator