Theorem cjth 11272

Description: The defining property of the complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
cjth	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))

Proof of Theorem cjth

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cju 9069	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
2		riotasbc 5938	. . . 4 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → [(℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
3	1, 2	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → [(℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
4		cjval 11271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
5	4	sbceq1d 3010	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ [(℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)))
6	3, 5	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → [(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ))
7		riotacl 5937	. . . . 5 ⊢ (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
8	1, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (℩𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
9	4, 8	eqeltrd 2284	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10		oveq2 5975	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
11	10	eleq1d 2276	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ))
12		oveq2 5975	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (𝐴 − 𝑥) = (𝐴 − (∗‘𝐴)))
13	12	oveq2d 5983	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (i · (𝐴 − 𝑥)) = (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
14	13	eleq1d 2276	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → ((i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
15	11, 14	anbi12d 473	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (∗‘𝐴) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
16	15	sbcieg 3038	. . 3 ⊢ ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
17	9, 16	syl 14	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − 𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
18	6, 17	mpbid 147	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178  ∃!wreu 2488  [wsbc 3005  ‘cfv 5290  ℩crio 5921  (class class class)co 5967  ℂcc 7958  ℝcr 7959  ici 7962   + caddc 7963   · cmul 7965   − cmin 8278  ∗ccj 11265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-cj 11268

This theorem is referenced by:  recl  11279  crre  11283