ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cjth GIF version

Theorem cjth 10646
Description: The defining property of the complex conjugate. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
cjth (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))

Proof of Theorem cjth
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cju 8739 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
2 riotasbc 5749 . . . 4 (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) → [(𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
31, 2syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → [(𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
4 cjval 10645 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) = (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
54sbceq1d 2915 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ [(𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)))
63, 5mpbird 166 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → [(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ))
7 riotacl 5748 . . . . 5 (∃!𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
81, 7syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ ℂ ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ)) ∈ ℂ)
94, 8eqeltrd 2217 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (∗‘𝐴) ∈ ℂ)
10 oveq2 5786 . . . . . 6 (𝑥 = (∗‘𝐴) → (𝐴 + 𝑥) = (𝐴 + (∗‘𝐴)))
1110eleq1d 2209 . . . . 5 (𝑥 = (∗‘𝐴) → ((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ↔ (𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ))
12 oveq2 5786 . . . . . . 7 (𝑥 = (∗‘𝐴) → (𝐴𝑥) = (𝐴 − (∗‘𝐴)))
1312oveq2d 5794 . . . . . 6 (𝑥 = (∗‘𝐴) → (i · (𝐴𝑥)) = (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))))
1413eleq1d 2209 . . . . 5 (𝑥 = (∗‘𝐴) → ((i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ ↔ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
1511, 14anbi12d 465 . . . 4 (𝑥 = (∗‘𝐴) → (((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
1615sbcieg 2942 . . 3 ((∗‘𝐴) ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
179, 16syl 14 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ([(∗‘𝐴) / 𝑥]((𝐴 + 𝑥) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴𝑥)) ∈ ℝ) ↔ ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ)))
186, 17mpbid 146 1 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 + (∗‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (i · (𝐴 − (∗‘𝐴))) ∈ ℝ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  ∃!wreu 2419  [wsbc 2910  cfv 5127  crio 5733  (class class class)co 5778  cc 7638  cr 7639  ici 7642   + caddc 7643   · cmul 7645  cmin 7953  ccj 10639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-mulrcl 7739  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-precex 7750  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-apti 7755  ax-pre-ltadd 7756  ax-pre-mulgt0 7757
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-br 3934  df-opab 3994  df-mpt 3995  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-ltxr 7825  df-sub 7955  df-neg 7956  df-reap 8357  df-cj 10642
This theorem is referenced by:  recl  10653  crre  10657
  Copyright terms: Public domain W3C validator