Theorem bezoutlemnewy 11980

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout predicate holds for (𝑦 mod 𝑊). (Contributed by Jim Kingdon, 6-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlemstep.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlemstep.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w	⊢ (𝜃 → 𝑊 ∈ ℕ)
bezoutlemstep.y-is-bezout	⊢ (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
bezoutlemstep.y-nn0	⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℕ0)
bezoutlemstep.w-is-bezout	⊢ (𝜃 → [𝑊 / 𝑟]𝜑)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlemnewy	⊢ (𝜃 → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑠,𝑟,𝑡   𝐵,𝑠,𝑟,𝑡   𝑊,𝑠,𝑟,𝑡   𝑦,𝑠,𝑡   𝜑,𝑠,𝑡   𝜃,𝑠,𝑡   𝑦,𝑟

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑟)   𝜃(𝑦,𝑟)   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑦)   𝑊(𝑦)

Proof of Theorem bezoutlemnewy

Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑞 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bezoutlemstep.w-is-bezout	. . 3 ⊢ (𝜃 → [𝑊 / 𝑟]𝜑)
2		bezoutlemstep.is-bezout	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
3	2	sbcbii 3022	. . . 4 ⊢ ([𝑊 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑊 / 𝑟]∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
4		bezoutlemstep.w	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → 𝑊 ∈ ℕ)
5		eqeq1 2184	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑊 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
6	5	2rexbidv 2502	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑊 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
7	6	sbcieg 2995	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℕ → ([𝑊 / 𝑟]∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
8	4, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑟]∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
9	3, 8	bitrid 192	. . 3 ⊢ (𝜃 → ([𝑊 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
10	1, 9	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
11		bezoutlemstep.y-is-bezout	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → [𝑦 / 𝑟]𝜑)
12		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝐴 · 𝑠) = (𝐴 · 𝑢))
13	12	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑡)))
14	13	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑢 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑡))))
15		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑣 → (𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · 𝑣))
16	15	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑣 → ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
17	16	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑣 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
18	14, 17	cbvrex2v 2717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
19	2, 18	bitri 184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
20	19	sbbii 1765	. . . . . . . 8 ⊢ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 ↔ [𝑦 / 𝑟]∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
21		nfv 1528	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑟∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))
22		eqeq1 2184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) ↔ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
23	22	2rexbidv 2502	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑦 → (∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))))
24	21, 23	sbie 1791	. . . . . . . 8 ⊢ ([𝑦 / 𝑟]∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
25	20, 24	bitri 184	. . . . . . 7 ⊢ ([𝑦 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
26	11, 25	sylib 122	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
27	26	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → ∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
28		bezoutlemstep.y-nn0	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜃 → 𝑦 ∈ ℕ0)
29	28	ad4antr 494	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → 𝑦 ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 9362	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → 𝑦 ∈ ℤ)
31	4	ad4antr 494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → 𝑊 ∈ ℕ)
32	30, 31	zmodcld 10331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
33		zq 9615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℚ)
34	30, 33	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → 𝑦 ∈ ℚ)
35	31	nnzd 9363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → 𝑊 ∈ ℤ)
36		zq 9615	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ ℤ → 𝑊 ∈ ℚ)
37	35, 36	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → 𝑊 ∈ ℚ)
38	31	nngt0d 8952	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → 0 < 𝑊)
39		modqlt 10319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑊 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑊) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
40	34, 37, 38, 39	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)
41		eqid 2177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊)
42		modremain 11917	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)) → ((𝑦 mod 𝑊) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
43	41, 42	mpbii 148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑊 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑦 mod 𝑊) < 𝑊)) → ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
44	30, 31, 32, 40, 43	syl112anc 1242	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → ∃𝑞 ∈ ℤ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
45		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → 𝑢 ∈ ℤ)
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑢 ∈ ℤ)
47		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑞 ∈ ℤ)
48		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → 𝑠 ∈ ℤ)
49	48	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑠 ∈ ℤ)
50	47, 49	zmulcld 9370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑞 · 𝑠) ∈ ℤ)
51	46, 50	zsubcld 9369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑢 − (𝑞 · 𝑠)) ∈ ℤ)
52		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → 𝑣 ∈ ℤ)
53	52	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℤ)
54		simplrr 536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → 𝑡 ∈ ℤ)
55	54	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑡 ∈ ℤ)
56	47, 55	zmulcld 9370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑞 · 𝑡) ∈ ℤ)
57	53, 56	zsubcld 9369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑣 − (𝑞 · 𝑡)) ∈ ℤ)
58		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)))
59		simpr 110	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
60	59	ad3antrrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
61	60	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑞 · 𝑊) = (𝑞 · ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
62	47	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑞 ∈ ℂ)
63		bezoutlemstep.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
64	63	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝐴 ∈ ℕ0)
65	64	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝐴 ∈ ℂ)
66	49	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑠 ∈ ℂ)
67	65, 66	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝐴 · 𝑠) ∈ ℂ)
68		bezoutlemstep.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
69	68	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℕ0)
70	69	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝐵 ∈ ℂ)
71	55	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑡 ∈ ℂ)
72	70, 71	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝐵 · 𝑡) ∈ ℂ)
73	62, 67, 72	adddid 7972	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑞 · ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) = ((𝑞 · (𝐴 · 𝑠)) + (𝑞 · (𝐵 · 𝑡))))
74	62, 65, 66	mul12d 8099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑞 · (𝐴 · 𝑠)) = (𝐴 · (𝑞 · 𝑠)))
75	62, 70, 71	mul12d 8099	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑞 · (𝐵 · 𝑡)) = (𝐵 · (𝑞 · 𝑡)))
76	74, 75	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ((𝑞 · (𝐴 · 𝑠)) + (𝑞 · (𝐵 · 𝑡))) = ((𝐴 · (𝑞 · 𝑠)) + (𝐵 · (𝑞 · 𝑡))))
77	61, 73, 76	3eqtrd 2214	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑞 · 𝑊) = ((𝐴 · (𝑞 · 𝑠)) + (𝐵 · (𝑞 · 𝑡))))
78	58, 77	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑦 − (𝑞 · 𝑊)) = (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) − ((𝐴 · (𝑞 · 𝑠)) + (𝐵 · (𝑞 · 𝑡)))))
79		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)
80	28	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
81	80	nn0cnd 9220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℂ)
82	31	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑊 ∈ ℕ)
83	82	nncnd 8922	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑊 ∈ ℂ)
84	62, 83	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑞 · 𝑊) ∈ ℂ)
85	34	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑦 ∈ ℚ)
86	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑊 ∈ ℚ)
87	38	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 0 < 𝑊)
88	85, 86, 87	modqcld 10314	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℚ)
89		qcn 9623	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℚ → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℂ)
90	88, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℂ)
91	81, 84, 90	subaddd 8276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ((𝑦 − (𝑞 · 𝑊)) = (𝑦 mod 𝑊) ↔ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦))
92	79, 91	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑦 − (𝑞 · 𝑊)) = (𝑦 mod 𝑊))
93	46	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑢 ∈ ℂ)
94	65, 93	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝐴 · 𝑢) ∈ ℂ)
95	53	zcnd 9365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → 𝑣 ∈ ℂ)
96	70, 95	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝐵 · 𝑣) ∈ ℂ)
97	62, 66	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑞 · 𝑠) ∈ ℂ)
98	65, 97	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝐴 · (𝑞 · 𝑠)) ∈ ℂ)
99	62, 71	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑞 · 𝑡) ∈ ℂ)
100	70, 99	mulcld 7968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝐵 · (𝑞 · 𝑡)) ∈ ℂ)
101	94, 96, 98, 100	addsub4d 8305	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) − ((𝐴 · (𝑞 · 𝑠)) + (𝐵 · (𝑞 · 𝑡)))) = (((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · (𝑞 · 𝑠))) + ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · (𝑞 · 𝑡)))))
102	78, 92, 101	3eqtr3d 2218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑦 mod 𝑊) = (((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · (𝑞 · 𝑠))) + ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · (𝑞 · 𝑡)))))
103	65, 93, 97	subdid 8361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) = ((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · (𝑞 · 𝑠))))
104	70, 95, 99	subdid 8361	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝐵 · (𝑣 − (𝑞 · 𝑡))) = ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · (𝑞 · 𝑡))))
105	103, 104	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · (𝑣 − (𝑞 · 𝑡)))) = (((𝐴 · 𝑢) − (𝐴 · (𝑞 · 𝑠))) + ((𝐵 · 𝑣) − (𝐵 · (𝑞 · 𝑡)))))
106	102, 105	eqtr4d 2213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · (𝑣 − (𝑞 · 𝑡)))))
107		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = (𝑣 − (𝑞 · 𝑡)) → (𝐵 · 𝑘) = (𝐵 · (𝑣 − (𝑞 · 𝑡))))
108	107	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = (𝑣 − (𝑞 · 𝑡)) → ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · (𝑣 − (𝑞 · 𝑡)))))
109	108	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = (𝑣 − (𝑞 · 𝑡)) → ((𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · 𝑘)) ↔ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · (𝑣 − (𝑞 · 𝑡))))))
110	109	rspcev 2841	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑣 − (𝑞 · 𝑡)) ∈ ℤ ∧ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · (𝑣 − (𝑞 · 𝑡))))) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · 𝑘)))
111	57, 106, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · 𝑘)))
112		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = (𝑢 − (𝑞 · 𝑠)) → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))))
113	112	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 = (𝑢 − (𝑞 · 𝑠)) → ((𝐴 · 𝑗) + (𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · 𝑘)))
114	113	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑢 − (𝑞 · 𝑠)) → ((𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑗) + (𝐵 · 𝑘)) ↔ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · 𝑘))))
115	114	rexbidv 2478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑢 − (𝑞 · 𝑠)) → (∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑗) + (𝐵 · 𝑘)) ↔ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · 𝑘))))
116	115	rspcev 2841	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑢 − (𝑞 · 𝑠)) ∈ ℤ ∧ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · (𝑢 − (𝑞 · 𝑠))) + (𝐵 · 𝑘))) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑗) + (𝐵 · 𝑘)))
117	51, 111, 116	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑗) + (𝐵 · 𝑘)))
118		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑠 → (𝐴 · 𝑗) = (𝐴 · 𝑠))
119	118	oveq1d 5884	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑠 → ((𝐴 · 𝑗) + (𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑘)))
120	119	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑠 → ((𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑗) + (𝐵 · 𝑘)) ↔ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑘))))
121		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → (𝐵 · 𝑘) = (𝐵 · 𝑡))
122	121	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑘)) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
123	122	eqeq2d 2189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑡 → ((𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑘)) ↔ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
124	120, 123	cbvrex2v 2717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑗 ∈ ℤ ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑗) + (𝐵 · 𝑘)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
125	117, 124	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
126	32	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → (𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0)
127		eqeq1 2184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = (𝑦 mod 𝑊) → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
128	127	2rexbidv 2502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = (𝑦 mod 𝑊) → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
129	128	sbcieg 2995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 mod 𝑊) ∈ ℕ0 → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
130	126, 129	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ (𝑦 mod 𝑊) = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
131	125, 130	mpbird 167	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
132	2	sbcbii 3022	. . . . . . . . 9 ⊢ ([(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑 ↔ [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
133	131, 132	sylibr 134	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) ∧ (𝑞 ∈ ℤ ∧ ((𝑞 · 𝑊) + (𝑦 mod 𝑊)) = 𝑦)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)
134	44, 133	rexlimddv 2599	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) ∧ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣))) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)
135	134	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) ∧ (𝑢 ∈ ℤ ∧ 𝑣 ∈ ℤ)) → (𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑))
136	135	rexlimdvva 2602	. . . . 5 ⊢ (((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → (∃𝑢 ∈ ℤ ∃𝑣 ∈ ℤ 𝑦 = ((𝐴 · 𝑢) + (𝐵 · 𝑣)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑))
137	27, 136	mpd 13	. . . 4 ⊢ (((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) ∧ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)
138	137	ex 115	. . 3 ⊢ ((𝜃 ∧ (𝑠 ∈ ℤ ∧ 𝑡 ∈ ℤ)) → (𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑))
139	138	rexlimdvva 2602	. 2 ⊢ (𝜃 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑊 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑))
140	10, 139	mpd 13	1 ⊢ (𝜃 → [(𝑦 mod 𝑊) / 𝑟]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353  [wsb 1762   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  [wsbc 2962   class class class wbr 4000  (class class class)co 5869  ℂcc 7800  0cc0 7802   + caddc 7805   · cmul 7807   < clt 7982   − cmin 8118  ℕcn 8908  ℕ₀cn0 9165  ℤcz 9242  ℚcq 9608   mod cmo 10308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-fl 10256  df-mod 10309  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-dvds 11779

This theorem is referenced by:  bezoutlemstep  11981