Theorem bezoutlema 12776

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout condition is satisfied by 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlema.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlema.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlema.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlema	⊢ (𝜃 → [𝐴 / 𝑟]𝜑)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡, 𝑠, 𝑟)   𝜃(𝑡, 𝑠, 𝑟)

Proof of Theorem bezoutlema

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9670	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		0z 9655	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		bezoutlema.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 9622	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 8720	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 0) = 0)
6	5	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 1) + 0))
7		bezoutlema.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 9622	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℂ)
9		1cnd 8342	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 8346	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
11	10	addridd 8475	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ((𝐴 · 1) + 0) = (𝐴 · 1))
12	8	mulridd 8343	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
13	6, 11, 12	3eqtrrd 2276	. . 3 ⊢ (𝜃 → 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)))
14		oveq2 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 1 → (𝐴 · 𝑠) = (𝐴 · 1))
15	14	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 1 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)))
16	15	eqeq2d 2250	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 1 → (𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡))))
17		oveq2 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · 0))
18	17	oveq2d 6101	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)))
19	18	eqeq2d 2250	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0))))
20	16, 19	rspc2ev 2945	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
21	1, 2, 13, 20	mp3an12i 1382	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
22		bezoutlema.is-bezout	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
23		eqeq1 2245	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
24	23	2rexbidv 2575	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
25	22, 24	bitrid 192	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
26	25	sbcieg 3084	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
27	7, 26	syl 14	. 2 ⊢ (𝜃 → ([𝐴 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
28	21, 27	mpbird 167	1 ⊢ (𝜃 → [𝐴 / 𝑟]𝜑)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∃wrex 2529  [wsbc 3051  (class class class)co 6085  0cc0 8179  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  ℕ₀cn0 9563  ℤcz 9644

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645

This theorem is used by:  bezoutlemex  12778