Theorem bezoutlema 12002

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout condition is satisfied by 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlema.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlema.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlema.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlema	⊢ (𝜃 → [𝐴 / 𝑟]𝜑)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem bezoutlema

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9281	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		0z 9266	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		bezoutlema.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 9233	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 8352	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 0) = 0)
6	5	oveq2d 5893	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 1) + 0))
7		bezoutlema.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 9233	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℂ)
9		1cnd 7975	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 7980	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
11	10	addid1d 8108	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ((𝐴 · 1) + 0) = (𝐴 · 1))
12	8	mulridd 7976	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
13	6, 11, 12	3eqtrrd 2215	. . 3 ⊢ (𝜃 → 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)))
14		oveq2 5885	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 1 → (𝐴 · 𝑠) = (𝐴 · 1))
15	14	oveq1d 5892	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 1 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)))
16	15	eqeq2d 2189	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 1 → (𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡))))
17		oveq2 5885	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · 0))
18	17	oveq2d 5893	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)))
19	18	eqeq2d 2189	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0))))
20	16, 19	rspc2ev 2858	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
21	1, 2, 13, 20	mp3an12i 1341	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
22		bezoutlema.is-bezout	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
23		eqeq1 2184	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
24	23	2rexbidv 2502	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
25	22, 24	bitrid 192	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
26	25	sbcieg 2997	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
27	7, 26	syl 14	. 2 ⊢ (𝜃 → ([𝐴 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
28	21, 27	mpbird 167	1 ⊢ (𝜃 → [𝐴 / 𝑟]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∃wrex 2456  [wsbc 2964  (class class class)co 5877  0cc0 7813  1c1 7814   + caddc 7816   · cmul 7818  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256

This theorem is referenced by:  bezoutlemex  12004