ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  bezoutlema GIF version

Theorem bezoutlema 11714
Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout condition is satisfied by 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
bezoutlema.is-bezout (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlema.a (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlema.b (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
bezoutlema (𝜃[𝐴 / 𝑟]𝜑)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem bezoutlema
StepHypRef Expression
1 1z 9100 . . 3 1 ∈ ℤ
2 0z 9085 . . 3 0 ∈ ℤ
3 bezoutlema.b . . . . . . 7 (𝜃𝐵 ∈ ℕ0)
43nn0cnd 9052 . . . . . 6 (𝜃𝐵 ∈ ℂ)
54mul01d 8175 . . . . 5 (𝜃 → (𝐵 · 0) = 0)
65oveq2d 5794 . . . 4 (𝜃 → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 1) + 0))
7 bezoutlema.a . . . . . . 7 (𝜃𝐴 ∈ ℕ0)
87nn0cnd 9052 . . . . . 6 (𝜃𝐴 ∈ ℂ)
9 1cnd 7802 . . . . . 6 (𝜃 → 1 ∈ ℂ)
108, 9mulcld 7806 . . . . 5 (𝜃 → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
1110addid1d 7931 . . . 4 (𝜃 → ((𝐴 · 1) + 0) = (𝐴 · 1))
128mulid1d 7803 . . . 4 (𝜃 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
136, 11, 123eqtrrd 2178 . . 3 (𝜃𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)))
14 oveq2 5786 . . . . . 6 (𝑠 = 1 → (𝐴 · 𝑠) = (𝐴 · 1))
1514oveq1d 5793 . . . . 5 (𝑠 = 1 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)))
1615eqeq2d 2152 . . . 4 (𝑠 = 1 → (𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡))))
17 oveq2 5786 . . . . . 6 (𝑡 = 0 → (𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · 0))
1817oveq2d 5794 . . . . 5 (𝑡 = 0 → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)))
1918eqeq2d 2152 . . . 4 (𝑡 = 0 → (𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0))))
2016, 19rspc2ev 2805 . . 3 ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
211, 2, 13, 20mp3an12i 1320 . 2 (𝜃 → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
22 bezoutlema.is-bezout . . . . 5 (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
23 eqeq1 2147 . . . . . 6 (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
24232rexbidv 2461 . . . . 5 (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
2522, 24syl5bb 191 . . . 4 (𝑟 = 𝐴 → (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
2625sbcieg 2942 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
277, 26syl 14 . 2 (𝜃 → ([𝐴 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
2821, 27mpbird 166 1 (𝜃[𝐴 / 𝑟]𝜑)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1332  wcel 1481  wrex 2418  [wsbc 2910  (class class class)co 5778  0cc0 7640  1c1 7641   + caddc 7643   · cmul 7645  0cn0 8997  cz 9074
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4050  ax-pow 4102  ax-pr 4135  ax-un 4359  ax-setind 4456  ax-cnex 7731  ax-resscn 7732  ax-1cn 7733  ax-1re 7734  ax-icn 7735  ax-addcl 7736  ax-addrcl 7737  ax-mulcl 7738  ax-addcom 7740  ax-mulcom 7741  ax-addass 7742  ax-mulass 7743  ax-distr 7744  ax-i2m1 7745  ax-0lt1 7746  ax-1rid 7747  ax-0id 7748  ax-rnegex 7749  ax-cnre 7751  ax-pre-ltirr 7752  ax-pre-ltwlin 7753  ax-pre-lttrn 7754  ax-pre-ltadd 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2689  df-sbc 2911  df-dif 3074  df-un 3076  df-in 3078  df-ss 3085  df-pw 3513  df-sn 3534  df-pr 3535  df-op 3537  df-uni 3741  df-int 3776  df-br 3934  df-opab 3994  df-id 4219  df-xp 4549  df-rel 4550  df-cnv 4551  df-co 4552  df-dm 4553  df-iota 5092  df-fun 5129  df-fv 5135  df-riota 5734  df-ov 5781  df-oprab 5782  df-mpo 5783  df-pnf 7822  df-mnf 7823  df-xr 7824  df-ltxr 7825  df-le 7826  df-sub 7955  df-neg 7956  df-inn 8741  df-n0 8998  df-z 9075
This theorem is referenced by:  bezoutlemex  11716
  Copyright terms: Public domain W3C validator