Theorem bezoutlema 12515

Description: Lemma for Bézout's identity. The is-bezout condition is satisfied by 𝐴. (Contributed by Jim Kingdon, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
bezoutlema.is-bezout	⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
bezoutlema.a	⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
bezoutlema.b	⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
bezoutlema	⊢ (𝜃 → [𝐴 / 𝑟]𝜑)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑟,𝑠,𝑡   𝐵,𝑟,𝑠,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,𝑠,𝑟)   𝜃(𝑡,𝑠,𝑟)

Proof of Theorem bezoutlema

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9468	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		0z 9453	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
3		bezoutlema.b	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℕ0)
4	3	nn0cnd 9420	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐵 ∈ ℂ)
5	4	mul01d 8535	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐵 · 0) = 0)
6	5	oveq2d 6016	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)) = ((𝐴 · 1) + 0))
7		bezoutlema.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℕ0)
8	7	nn0cnd 9420	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 𝐴 ∈ ℂ)
9		1cnd 8158	. . . . . 6 ⊢ (𝜃 → 1 ∈ ℂ)
10	8, 9	mulcld 8163	. . . . 5 ⊢ (𝜃 → (𝐴 · 1) ∈ ℂ)
11	10	addridd 8291	. . . 4 ⊢ (𝜃 → ((𝐴 · 1) + 0) = (𝐴 · 1))
12	8	mulridd 8159	. . . 4 ⊢ (𝜃 → (𝐴 · 1) = 𝐴)
13	6, 11, 12	3eqtrrd 2267	. . 3 ⊢ (𝜃 → 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)))
14		oveq2 6008	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 1 → (𝐴 · 𝑠) = (𝐴 · 1))
15	14	oveq1d 6015	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 1 → ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)))
16	15	eqeq2d 2241	. . . 4 ⊢ (𝑠 = 1 → (𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡))))
17		oveq2 6008	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝐵 · 𝑡) = (𝐵 · 0))
18	17	oveq2d 6016	. . . . 5 ⊢ (𝑡 = 0 → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0)))
19	18	eqeq2d 2241	. . . 4 ⊢ (𝑡 = 0 → (𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0))))
20	16, 19	rspc2ev 2922	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝐴 = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 0))) → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
21	1, 2, 13, 20	mp3an12i 1375	. 2 ⊢ (𝜃 → ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
22		bezoutlema.is-bezout	. . . . 5 ⊢ (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)))
23		eqeq1 2236	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
24	23	2rexbidv 2555	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝑟 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡)) ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
25	22, 24	bitrid 192	. . . 4 ⊢ (𝑟 = 𝐴 → (𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
26	25	sbcieg 3061	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ([𝐴 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
27	7, 26	syl 14	. 2 ⊢ (𝜃 → ([𝐴 / 𝑟]𝜑 ↔ ∃𝑠 ∈ ℤ ∃𝑡 ∈ ℤ 𝐴 = ((𝐴 · 𝑠) + (𝐵 · 𝑡))))
28	21, 27	mpbird 167	1 ⊢ (𝜃 → [𝐴 / 𝑟]𝜑)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∃wrex 2509  [wsbc 3028  (class class class)co 6000  0cc0 7995  1c1 7996   + caddc 7998   · cmul 8000  ℕ₀cn0 9365  ℤcz 9442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-mulcom 8096  ax-addass 8097  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-1rid 8102  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-cnre 8106  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-ltwlin 8108  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-xr 8181  df-ltxr 8182  df-le 8183  df-sub 8315  df-neg 8316  df-inn 9107  df-n0 9366  df-z 9443

This theorem is referenced by:  bezoutlemex  12517