Theorem snexg 4274

Description: A singleton whose element exists is a set. The 𝐴 ∈ V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		snsspw 3847	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssexg 4228	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  {csn 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675

This theorem is referenced by:  snex  4275  notnotsnex  4277  exmidsssnc  4293  snelpwg  4302  snelpwi  4303  opexg  4320  opm  4326  tpexg  4541  op1stbg  4576  sucexb  4595  elxp4  5224  elxp5  5225  opabex3d  6282  opabex3  6283  1stvalg  6304  2ndvalg  6305  mpoexxg  6374  cnvf1o  6389  brtpos2  6416  tfr0dm  6487  tfrlemisucaccv  6490  tfrlemibxssdm  6492  tfrlemibfn  6493  tfr1onlemsucaccv  6506  tfr1onlembxssdm  6508  tfr1onlembfn  6509  tfrcllemsucaccv  6519  tfrcllembxssdm  6521  tfrcllembfn  6522  fvdiagfn  6861  ixpsnf1o  6904  mapsnf1o  6905  xpsnen2g  7012  zfz1isolem1  11103  climconst2  11851  ennnfonelemp1  13026  setsvalg  13111  setsex  13113  setsslid  13132  strle1g  13188  1strbas  13199  pwsval  13373  pwsbas  13374  pwssnf1o  13380  imasex  13387  imasival  13388  imasbas  13389  imasplusg  13390  imasmulr  13391  mgm1  13452  igsumvalx  13471  sgrp1  13493  mnd1  13537  mnd1id  13538  grp1  13688  grp1inv  13689  mulgnngsum  13713  triv1nsgd  13804  ring1  14071  znval  14649  znle  14650  znbaslemnn  14652  znbas  14657  znzrhval  14660  znzrhfo  14661  psrval  14679  psrbasg  14687  psrplusgg  14691  upgr1eopdc  15973  upgr1een  15974  umgr1een  15975  uspgr1eopdc  16093  usgr1eop  16095  1loopgrvd2fi  16155  1loopgrvd0fi  16156  p1evtxdeqfilem  16161  p1evtxdeqfi  16162  p1evtxdp1fi  16163