Theorem snexg 4214

Description: A singleton whose element exists is a set. The 𝐴 ∈ V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4210	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		snsspw 3791	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssexg 4169	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3154  𝒫 cpw 3602  {csn 3619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625

This theorem is referenced by:  snex  4215  notnotsnex  4217  exmidsssnc  4233  snelpwi  4242  opexg  4258  opm  4264  tpexg  4476  op1stbg  4511  sucexb  4530  elxp4  5154  elxp5  5155  opabex3d  6175  opabex3  6176  1stvalg  6197  2ndvalg  6198  mpoexxg  6265  cnvf1o  6280  brtpos2  6306  tfr0dm  6377  tfrlemisucaccv  6380  tfrlemibxssdm  6382  tfrlemibfn  6383  tfr1onlemsucaccv  6396  tfr1onlembxssdm  6398  tfr1onlembfn  6399  tfrcllemsucaccv  6409  tfrcllembxssdm  6411  tfrcllembfn  6412  fvdiagfn  6749  ixpsnf1o  6792  mapsnf1o  6793  xpsnen2g  6885  zfz1isolem1  10914  climconst2  11437  ennnfonelemp1  12566  setsvalg  12651  setsex  12653  setsslid  12672  strle1g  12727  1strbas  12738  imasex  12891  imasival  12892  imasbas  12893  imasplusg  12894  imasmulr  12895  mgm1  12956  igsumvalx  12975  sgrp1  12997  mnd1  13030  mnd1id  13031  grp1  13181  grp1inv  13182  mulgnngsum  13200  triv1nsgd  13291  ring1  13558  znval  14135  znle  14136  znbaslemnn  14138  znbas  14143  znzrhval  14146  znzrhfo  14147  psrval  14163  psrbasg  14170  psrplusgg  14173