Theorem snexg 4218

Description: A singleton whose element exists is a set. The 𝐴 ∈ V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4214	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		snsspw 3795	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssexg 4173	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  𝒫 cpw 3606  {csn 3623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629

This theorem is referenced by:  snex  4219  notnotsnex  4221  exmidsssnc  4237  snelpwi  4246  opexg  4262  opm  4268  tpexg  4480  op1stbg  4515  sucexb  4534  elxp4  5158  elxp5  5159  opabex3d  6187  opabex3  6188  1stvalg  6209  2ndvalg  6210  mpoexxg  6277  cnvf1o  6292  brtpos2  6318  tfr0dm  6389  tfrlemisucaccv  6392  tfrlemibxssdm  6394  tfrlemibfn  6395  tfr1onlemsucaccv  6408  tfr1onlembxssdm  6410  tfr1onlembfn  6411  tfrcllemsucaccv  6421  tfrcllembxssdm  6423  tfrcllembfn  6424  fvdiagfn  6761  ixpsnf1o  6804  mapsnf1o  6805  xpsnen2g  6897  zfz1isolem1  10951  climconst2  11475  ennnfonelemp1  12650  setsvalg  12735  setsex  12737  setsslid  12756  strle1g  12811  1strbas  12822  pwsval  12995  pwsbas  12996  pwssnf1o  13002  imasex  13009  imasival  13010  imasbas  13011  imasplusg  13012  imasmulr  13013  mgm1  13074  igsumvalx  13093  sgrp1  13115  mnd1  13159  mnd1id  13160  grp1  13310  grp1inv  13311  mulgnngsum  13335  triv1nsgd  13426  ring1  13693  znval  14270  znle  14271  znbaslemnn  14273  znbas  14278  znzrhval  14281  znzrhfo  14282  psrval  14300  psrbasg  14308  psrplusgg  14312