Theorem snexg 4184

Description: A singleton whose element exists is a set. The 𝐴 ∈ V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4180	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		snsspw 3764	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssexg 4142	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   ⊆ wss 3129  𝒫 cpw 3575  {csn 3592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598

This theorem is referenced by:  snex  4185  notnotsnex  4187  exmidsssnc  4203  snelpwi  4212  opexg  4228  opm  4234  tpexg  4444  op1stbg  4479  sucexb  4496  elxp4  5116  elxp5  5117  opabex3d  6121  opabex3  6122  1stvalg  6142  2ndvalg  6143  mpoexxg  6210  cnvf1o  6225  brtpos2  6251  tfr0dm  6322  tfrlemisucaccv  6325  tfrlemibxssdm  6327  tfrlemibfn  6328  tfr1onlemsucaccv  6341  tfr1onlembxssdm  6343  tfr1onlembfn  6344  tfrcllemsucaccv  6354  tfrcllembxssdm  6356  tfrcllembfn  6357  fvdiagfn  6692  ixpsnf1o  6735  mapsnf1o  6736  xpsnen2g  6828  zfz1isolem1  10819  climconst2  11298  ennnfonelemp1  12406  setsvalg  12491  setsex  12493  setsslid  12512  strle1g  12564  1strbas  12575  imasex  12725  imasival  12726  imasbas  12727  imasplusg  12728  imasmulr  12729  mgm1  12788  sgrp1  12815  mnd1  12846  mnd1id  12847  grp1  12975  grp1inv  12976  triv1nsgd  13076  ring1  13234