Theorem snexg 4268

Description: A singleton whose element exists is a set. The 𝐴 ∈ V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4264	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		snsspw 3842	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssexg 4223	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649  {csn 3666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672

This theorem is referenced by:  snex  4269  notnotsnex  4271  exmidsssnc  4287  snelpwg  4296  snelpwi  4297  opexg  4314  opm  4320  tpexg  4535  op1stbg  4570  sucexb  4589  elxp4  5216  elxp5  5217  opabex3d  6272  opabex3  6273  1stvalg  6294  2ndvalg  6295  mpoexxg  6362  cnvf1o  6377  brtpos2  6403  tfr0dm  6474  tfrlemisucaccv  6477  tfrlemibxssdm  6479  tfrlemibfn  6480  tfr1onlemsucaccv  6493  tfr1onlembxssdm  6495  tfr1onlembfn  6496  tfrcllemsucaccv  6506  tfrcllembxssdm  6508  tfrcllembfn  6509  fvdiagfn  6848  ixpsnf1o  6891  mapsnf1o  6892  xpsnen2g  6996  zfz1isolem1  11075  climconst2  11817  ennnfonelemp1  12992  setsvalg  13077  setsex  13079  setsslid  13098  strle1g  13154  1strbas  13165  pwsval  13339  pwsbas  13340  pwssnf1o  13346  imasex  13353  imasival  13354  imasbas  13355  imasplusg  13356  imasmulr  13357  mgm1  13418  igsumvalx  13437  sgrp1  13459  mnd1  13503  mnd1id  13504  grp1  13654  grp1inv  13655  mulgnngsum  13679  triv1nsgd  13770  ring1  14037  znval  14615  znle  14616  znbaslemnn  14618  znbas  14623  znzrhval  14626  znzrhfo  14627  psrval  14645  psrbasg  14653  psrplusgg  14657  upgr1eopdc  15938