Theorem snexg 4213

Description: A singleton whose element exists is a set. The 𝐴 ∈ V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4209	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		snsspw 3790	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssexg 4168	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153  𝒫 cpw 3601  {csn 3618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624

This theorem is referenced by:  snex  4214  notnotsnex  4216  exmidsssnc  4232  snelpwi  4241  opexg  4257  opm  4263  tpexg  4475  op1stbg  4510  sucexb  4529  elxp4  5153  elxp5  5154  opabex3d  6173  opabex3  6174  1stvalg  6195  2ndvalg  6196  mpoexxg  6263  cnvf1o  6278  brtpos2  6304  tfr0dm  6375  tfrlemisucaccv  6378  tfrlemibxssdm  6380  tfrlemibfn  6381  tfr1onlemsucaccv  6394  tfr1onlembxssdm  6396  tfr1onlembfn  6397  tfrcllemsucaccv  6407  tfrcllembxssdm  6409  tfrcllembfn  6410  fvdiagfn  6747  ixpsnf1o  6790  mapsnf1o  6791  xpsnen2g  6883  zfz1isolem1  10911  climconst2  11434  ennnfonelemp1  12563  setsvalg  12648  setsex  12650  setsslid  12669  strle1g  12724  1strbas  12735  imasex  12888  imasival  12889  imasbas  12890  imasplusg  12891  imasmulr  12892  mgm1  12953  igsumvalx  12972  sgrp1  12994  mnd1  13027  mnd1id  13028  grp1  13178  grp1inv  13179  mulgnngsum  13197  triv1nsgd  13288  ring1  13555  znval  14124  znle  14125  znbaslemnn  14127  znbas  14132  znzrhval  14135  znzrhfo  14136  psrval  14152  psrbasg  14159  psrplusgg  14162