Theorem snexg 4274

Description: A singleton whose element exists is a set. The 𝐴 ∈ V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4270	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		snsspw 3847	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssexg 4228	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652  {csn 3669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675

This theorem is referenced by:  snex  4275  notnotsnex  4277  exmidsssnc  4293  snelpwg  4302  snelpwi  4303  opexg  4320  opm  4326  tpexg  4541  op1stbg  4576  sucexb  4595  elxp4  5224  elxp5  5225  opabex3d  6283  opabex3  6284  1stvalg  6305  2ndvalg  6306  mpoexxg  6375  cnvf1o  6390  brtpos2  6417  tfr0dm  6488  tfrlemisucaccv  6491  tfrlemibxssdm  6493  tfrlemibfn  6494  tfr1onlemsucaccv  6507  tfr1onlembxssdm  6509  tfr1onlembfn  6510  tfrcllemsucaccv  6520  tfrcllembxssdm  6522  tfrcllembfn  6523  fvdiagfn  6862  ixpsnf1o  6905  mapsnf1o  6906  xpsnen2g  7013  zfz1isolem1  11105  climconst2  11856  ennnfonelemp1  13032  setsvalg  13117  setsex  13119  setsslid  13138  strle1g  13194  1strbas  13205  pwsval  13379  pwsbas  13380  pwssnf1o  13386  imasex  13393  imasival  13394  imasbas  13395  imasplusg  13396  imasmulr  13397  mgm1  13458  igsumvalx  13477  sgrp1  13499  mnd1  13543  mnd1id  13544  grp1  13694  grp1inv  13695  mulgnngsum  13719  triv1nsgd  13810  ring1  14078  znval  14656  znle  14657  znbaslemnn  14659  znbas  14664  znzrhval  14667  znzrhfo  14668  psrval  14686  psrbasg  14694  psrplusgg  14698  upgr1eopdc  15980  upgr1een  15981  umgr1een  15982  uspgr1eopdc  16100  usgr1eop  16102  1loopgrvd2fi  16162  1loopgrvd0fi  16163  p1evtxdeqfilem  16168  p1evtxdeqfi  16169  p1evtxdp1fi  16170  eupth2lem3fi  16333