Theorem snexg 4227

Description: A singleton whose element exists is a set. The 𝐴 ∈ V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4223	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		snsspw 3804	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssexg 4182	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ⊆ wss 3165  𝒫 cpw 3615  {csn 3632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-v 2773  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638

This theorem is referenced by:  snex  4228  notnotsnex  4230  exmidsssnc  4246  snelpwi  4255  opexg  4271  opm  4277  tpexg  4490  op1stbg  4525  sucexb  4544  elxp4  5169  elxp5  5170  opabex3d  6205  opabex3  6206  1stvalg  6227  2ndvalg  6228  mpoexxg  6295  cnvf1o  6310  brtpos2  6336  tfr0dm  6407  tfrlemisucaccv  6410  tfrlemibxssdm  6412  tfrlemibfn  6413  tfr1onlemsucaccv  6426  tfr1onlembxssdm  6428  tfr1onlembfn  6429  tfrcllemsucaccv  6439  tfrcllembxssdm  6441  tfrcllembfn  6442  fvdiagfn  6779  ixpsnf1o  6822  mapsnf1o  6823  xpsnen2g  6923  zfz1isolem1  10983  climconst2  11573  ennnfonelemp1  12748  setsvalg  12833  setsex  12835  setsslid  12854  strle1g  12909  1strbas  12920  pwsval  13094  pwsbas  13095  pwssnf1o  13101  imasex  13108  imasival  13109  imasbas  13110  imasplusg  13111  imasmulr  13112  mgm1  13173  igsumvalx  13192  sgrp1  13214  mnd1  13258  mnd1id  13259  grp1  13409  grp1inv  13410  mulgnngsum  13434  triv1nsgd  13525  ring1  13792  znval  14369  znle  14370  znbaslemnn  14372  znbas  14377  znzrhval  14380  znzrhfo  14381  psrval  14399  psrbasg  14407  psrplusgg  14411