Theorem snexg 4280

Description: A singleton whose element exists is a set. The 𝐴 ∈ V case of Theorem 7.12 of [Quine] p. 51, proved using only Extensionality, Power Set, and Separation. Replacement is not needed. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
snexg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Proof of Theorem snexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwexg 4276	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
2		snsspw 3852	. . 3 ⊢ {𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴
3		ssexg 4233	. . 3 ⊢ (({𝐴} ⊆ 𝒫 𝐴 ∧ 𝒫 𝐴 ∈ V) → {𝐴} ∈ V)
4	2, 3	mpan 424	. 2 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → {𝐴} ∈ V)
5	1, 4	syl 14	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝐴} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201  𝒫 cpw 3656  {csn 3673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679

This theorem is referenced by:  snex  4281  notnotsnex  4283  exmidsssnc  4299  snelpwg  4308  snelpwi  4309  opexg  4326  opm  4332  tpexg  4547  op1stbg  4582  sucexb  4601  elxp4  5231  elxp5  5232  opabex3d  6292  opabex3  6293  1stvalg  6314  2ndvalg  6315  mpoexxg  6384  cnvf1o  6399  suppsnopdc  6428  brtpos2  6460  tfr0dm  6531  tfrlemisucaccv  6534  tfrlemibxssdm  6536  tfrlemibfn  6537  tfr1onlemsucaccv  6550  tfr1onlembxssdm  6552  tfr1onlembfn  6553  tfrcllemsucaccv  6563  tfrcllembxssdm  6565  tfrcllembfn  6566  fvdiagfn  6905  ixpsnf1o  6948  mapsnf1o  6949  xpsnen2g  7056  zfz1isolem1  11150  climconst2  11914  ennnfonelemp1  13090  setsvalg  13175  setsex  13177  setsslid  13196  strle1g  13252  1strbas  13263  pwsval  13437  pwsbas  13438  pwssnf1o  13444  imasex  13451  imasival  13452  imasbas  13453  imasplusg  13454  imasmulr  13455  mgm1  13516  igsumvalx  13535  sgrp1  13557  mnd1  13601  mnd1id  13602  grp1  13752  grp1inv  13753  mulgnngsum  13777  triv1nsgd  13868  ring1  14136  znval  14715  znle  14716  znbaslemnn  14718  znbas  14723  znzrhval  14726  znzrhfo  14727  psrval  14745  psrbasg  14758  psrplusgg  14762  upgr1eopdc  16047  upgr1een  16048  umgr1een  16049  uspgr1eopdc  16167  usgr1eop  16169  1loopgrvd2fi  16229  1loopgrvd0fi  16230  p1evtxdeqfilem  16235  p1evtxdeqfi  16236  p1evtxdp1fi  16237  eupth2lem3fi  16400