Theorem prexg 4330

Description: The Axiom of Pairing using class variables. Theorem 7.13 of [Quine] p. 51, but restricted to classes which exist. For proper classes, see prprc 3807, prprc1 3805, and prprc2 3806. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
prexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)

Proof of Theorem prexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3774	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → {𝑥, 𝑦} = {𝑥, 𝐵})
2	1	eleq1d 2303	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ({𝑥, 𝑦} ∈ V ↔ {𝑥, 𝐵} ∈ V))
3		zfpair2 4328	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
4	2, 3	vtoclg 2877	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝑥, 𝐵} ∈ V)
5		preq1 3773	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥, 𝐵} = {𝐴, 𝐵})
6	5	eleq1d 2303	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥, 𝐵} ∈ V ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ V))
7	4, 6	imbitrid 154	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐴, 𝐵} ∈ V))
8	7	vtocleg 2890	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐴, 𝐵} ∈ V))
9	8	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815  {cpr 3695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817  df-un 3218  df-sn 3700  df-pr 3701

This theorem is referenced by:  prelpw  4334  prelpwi  4335  opexg  4349  opi2  4354  opth  4358  opeqsn  4374  opeqpr  4375  uniop  4377  unex  4567  tpexg  4570  op1stb  4604  op1stbg  4605  onun2  4617  opthreg  4683  relop  4910  acexmidlemv  6056  2oex  6677  en2prd  7072  pw2f1odclem  7100  pr2ne  7502  exmidonfinlem  7509  exmidaclem  7528  sup3exmid  9251  xrex  10211  2strbasg  13421  2stropg  13422  xpsfval  13616  gsumprval  13666  prdsex  14118  prdsval  14119  xpsval  14147  struct2slots2dom  16163  structiedg0val  16165  edgstruct  16189  umgrbien  16235  upgr1edc  16246  upgr1eopdc  16248  uspgr1edc  16365  usgr1e  16366  uspgr1eopdc  16368  uspgr1ewopdc  16369  usgr1eop  16370  usgr2v1e2w  16371  vdegp1aid  16439  vdegp1bid  16440  eupth2lemsfi  16603  konigsbergvtx  16607  konigsbergiedg  16608  konigsbergumgr  16612  konigsberglem1  16613  konigsberglem2  16614  konigsberglem3  16615  konigsberglem5  16617  konigsberg  16618  isomninnlem  16954  trilpolemlt1  16965  iswomninnlem  16974  iswomni0  16976  ismkvnnlem  16977