Theorem prexg 4349

Description: The Axiom of Pairing using class variables. Theorem 7.13 of [Quine] p. 51, but restricted to classes which exist. For proper classes, see prprc 3823, prprc1 3821, and prprc2 3822. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
prexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)

Proof of Theorem prexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3789	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → {𝑥, 𝑦} = {𝑥, 𝐵})
2	1	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ({𝑥, 𝑦} ∈ V ↔ {𝑥, 𝐵} ∈ V))
3		zfpair2 4347	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
4	2, 3	vtoclg 2883	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝑥, 𝐵} ∈ V)
5		preq1 3788	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥, 𝐵} = {𝐴, 𝐵})
6	5	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥, 𝐵} ∈ V ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ V))
7	4, 6	imbitrid 154	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐴, 𝐵} ∈ V))
8	7	vtocleg 2896	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐴, 𝐵} ∈ V))
9	8	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {cpr 3710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716

This theorem is used by:  prelpw  4353  prelpwi  4354  opexg  4368  opi2  4373  opth  4377  opeqsn  4393  opeqpr  4394  uniop  4396  unex  4587  tpexg  4590  op1stb  4624  op1stbg  4625  onun2  4637  opthreg  4703  relop  4930  acexmidlemv  6083  2oex  6704  en2prd  7106  pw2f1odclem  7134  pr2ne  7539  exmidonfinlem  7546  exmidaclem  7565  sup3exmid  9290  xrex  10269  2strbasg  13527  2stropg  13528  xpsfval  13722  prdsex  14256  prdsval  14257  xpsval  14285  struct2slots2dom  16450  structiedg0val  16452  edgstruct  16476  umgrbien  16522  upgr1edc  16533  upgr1eopdc  16535  uspgr1edc  16652  usgr1e  16653  uspgr1eopdc  16655  uspgr1ewopdc  16656  usgr1eop  16657  usgr2v1e2w  16658  vdegp1aid  16726  vdegp1bid  16727  eupth2lemsfi  16890  konigsbergvtx  16894  konigsbergiedg  16895  konigsbergumgr  16899  konigsberglem1  16900  konigsberglem2  16901  konigsberglem3  16902  konigsberglem5  16904  konigsberg  16905  isomninnlem  17250  trilpolemlt1  17262  iswomninnlem  17271  iswomni0  17273  ismkvnnlem  17274