Theorem prexg 4307

Description: The Axiom of Pairing using class variables. Theorem 7.13 of [Quine] p. 51, but restricted to classes which exist. For proper classes, see prprc 3786, prprc1 3784, and prprc2 3785. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
prexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)

Proof of Theorem prexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3753	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → {𝑥, 𝑦} = {𝑥, 𝐵})
2	1	eleq1d 2300	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ({𝑥, 𝑦} ∈ V ↔ {𝑥, 𝐵} ∈ V))
3		zfpair2 4306	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
4	2, 3	vtoclg 2865	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝑥, 𝐵} ∈ V)
5		preq1 3752	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥, 𝐵} = {𝐴, 𝐵})
6	5	eleq1d 2300	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥, 𝐵} ∈ V ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ V))
7	4, 6	imbitrid 154	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐴, 𝐵} ∈ V))
8	7	vtocleg 2878	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐴, 𝐵} ∈ V))
9	8	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803  {cpr 3674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pr 4305

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805  df-un 3205  df-sn 3679  df-pr 3680

This theorem is referenced by:  prelpw  4311  prelpwi  4312  opexg  4326  opi2  4331  opth  4335  opeqsn  4351  opeqpr  4352  uniop  4354  unex  4544  tpexg  4547  op1stb  4581  op1stbg  4582  onun2  4594  opthreg  4660  relop  4886  acexmidlemv  6026  2oex  6642  en2prd  7035  pw2f1odclem  7063  pr2ne  7440  exmidonfinlem  7447  exmidaclem  7466  sup3exmid  9180  xrex  10134  2strbasg  13264  2stropg  13265  prdsex  13413  prdsval  13417  xpsfval  13492  xpsval  13496  gsumprval  13543  struct2slots2dom  15959  structiedg0val  15961  edgstruct  15985  umgrbien  16031  upgr1edc  16042  upgr1eopdc  16044  uspgr1edc  16161  usgr1e  16162  uspgr1eopdc  16164  uspgr1ewopdc  16165  usgr1eop  16166  usgr2v1e2w  16167  vdegp1aid  16235  vdegp1bid  16236  eupth2lemsfi  16399  konigsbergvtx  16403  konigsbergiedg  16404  konigsbergumgr  16408  konigsberglem1  16409  konigsberglem2  16410  konigsberglem3  16411  konigsberglem5  16413  konigsberg  16414  isomninnlem  16742  trilpolemlt1  16753  iswomninnlem  16762  iswomni0  16764  ismkvnnlem  16765