Theorem prexg 4349

Description: The Axiom of Pairing using class variables. Theorem 7.13 of [Quine] p. 51, but restricted to classes which exist. For proper classes, see prprc 3823, prprc1 3821, and prprc2 3822. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
prexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)

Proof of Theorem prexg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		preq2 3789	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → {𝑥, 𝑦} = {𝑥, 𝐵})
2	1	eleq1d 2307	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → ({𝑥, 𝑦} ∈ V ↔ {𝑥, 𝐵} ∈ V))
3		zfpair2 4347	. . . . 5 ⊢ {𝑥, 𝑦} ∈ V
4	2, 3	vtoclg 2883	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝑥, 𝐵} ∈ V)
5		preq1 3788	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → {𝑥, 𝐵} = {𝐴, 𝐵})
6	5	eleq1d 2307	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ({𝑥, 𝐵} ∈ V ↔ {𝐴, 𝐵} ∈ V))
7	4, 6	imbitrid 154	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐴, 𝐵} ∈ V))
8	7	vtocleg 2896	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐵 ∈ 𝑊 → {𝐴, 𝐵} ∈ V))
9	8	imp 124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {𝐴, 𝐵} ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {cpr 3710

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-un 3224  df-sn 3715  df-pr 3716

This theorem is used by:  prelpw  4353  prelpwi  4354  opexg  4368  opi2  4373  opth  4377  opeqsn  4393  opeqpr  4394  uniop  4396  unex  4587  tpexg  4590  op1stb  4624  op1stbg  4625  onun2  4637  opthreg  4703  relop  4930  acexmidlemv  6083  2oex  6704  en2prd  7106  pw2f1odclem  7134  pr2ne  7539  exmidonfinlem  7546  exmidaclem  7565  sup3exmid  9290  xrex  10269  2strbasg  13525  2stropg  13526  xpsfval  13720  prdsex  14223  prdsval  14224  xpsval  14252  struct2slots2dom  16401  structiedg0val  16403  edgstruct  16427  umgrbien  16473  upgr1edc  16484  upgr1eopdc  16486  uspgr1edc  16603  usgr1e  16604  uspgr1eopdc  16606  uspgr1ewopdc  16607  usgr1eop  16608  usgr2v1e2w  16609  vdegp1aid  16677  vdegp1bid  16678  eupth2lemsfi  16841  konigsbergvtx  16845  konigsbergiedg  16846  konigsbergumgr  16850  konigsberglem1  16851  konigsberglem2  16852  konigsberglem3  16853  konigsberglem5  16855  konigsberg  16856  isomninnlem  17201  trilpolemlt1  17212  iswomninnlem  17221  iswomni0  17223  ismkvnnlem  17224