Theorem ss2ab 3223

Description: Class abstractions in a subclass relationship. (Contributed by NM, 3-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ss2ab	⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))

Proof of Theorem ss2ab

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfab1 2321	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∣ 𝜑}
2		nfab1 2321	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥{𝑥 ∣ 𝜓}
3	1, 2	dfss2f 3146	. 2 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜓}))
4		abid 2165	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
5		abid 2165	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ 𝜓)
6	4, 5	imbi12i 239	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜓}) ↔ (𝜑 → 𝜓))
7	6	albii 1470	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜑} → 𝑥 ∈ {𝑥 ∣ 𝜓}) ↔ ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))
8	3, 7	bitri 184	1 ⊢ ({𝑥 ∣ 𝜑} ⊆ {𝑥 ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥(𝜑 → 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105  ∀wal 1351   ∈ wcel 2148  {cab 2163   ⊆ wss 3129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-in 3135  df-ss 3142

This theorem is referenced by:  abss  3224  ssab  3225  ss2abi  3227  ss2abdv  3228  ss2rab  3231  rabss2  3238  iotanul  5191  iotass  5193