Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cossres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cossres 37237
Description: The class of cosets by a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
1cossres ≀ (𝑅𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)}
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦

Proof of Theorem 1cossres
StepHypRef Expression
1 df-coss 37219 . 2 ≀ (𝑅𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦)}
2 df-rex 3072 . . . 4 (∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)))
3 anandi 675 . . . . . 6 ((𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑦)))
4 brres 5986 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥)))
54elv 3481 . . . . . . 7 (𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
6 brres 5986 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑢(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑦)))
76elv 3481 . . . . . . 7 (𝑢(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑦))
85, 7anbi12i 628 . . . . . 6 ((𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑦)))
93, 8bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)) ↔ (𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦))
109exbii 1851 . . . 4 (∃𝑢(𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑢(𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦))
112, 10bitri 275 . . 3 (∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦))
1211opabbii 5214 . 2 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦)}
131, 12eqtr4i 2764 1 ≀ (𝑅𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wrex 3071  Vcvv 3475   class class class wbr 5147  {copab 5209  cres 5677  ccoss 36981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-res 5687  df-coss 37219
This theorem is referenced by:  dfcoels  37238
  Copyright terms: Public domain W3C validator