Users' Mathboxes Mathbox for Peter Mazsa < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  1cossres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1cossres 37812
Description: The class of cosets by a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
1cossres ≀ (𝑅𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)}
Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦

Proof of Theorem 1cossres
StepHypRef Expression
1 df-coss 37794 . 2 ≀ (𝑅𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦)}
2 df-rex 3065 . . . 4 (∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)))
3 anandi 673 . . . . . 6 ((𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑦)))
4 brres 5982 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ V → (𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥)))
54elv 3474 . . . . . . 7 (𝑢(𝑅𝐴)𝑥 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥))
6 brres 5982 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ V → (𝑢(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑦)))
76elv 3474 . . . . . . 7 (𝑢(𝑅𝐴)𝑦 ↔ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑦))
85, 7anbi12i 626 . . . . . 6 ((𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦) ↔ ((𝑢𝐴𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑢𝐴𝑢𝑅𝑦)))
93, 8bitr4i 278 . . . . 5 ((𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)) ↔ (𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦))
109exbii 1842 . . . 4 (∃𝑢(𝑢𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑢(𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦))
112, 10bitri 275 . . 3 (∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦))
1211opabbii 5208 . 2 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢(𝑅𝐴)𝑥𝑢(𝑅𝐴)𝑦)}
131, 12eqtr4i 2757 1 ≀ (𝑅𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑢𝑅𝑥𝑢𝑅𝑦)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wrex 3064  Vcvv 3468   class class class wbr 5141  {copab 5203  cres 5671  ccoss 37556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-br 5142  df-opab 5204  df-xp 5675  df-res 5681  df-coss 37794
This theorem is referenced by:  dfcoels  37813
  Copyright terms: Public domain W3C validator