Theorem 1cossres 38425

Description: The class of cosets by a restriction. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
1cossres	⊢ ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)}

Distinct variable groups:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦   𝑢,𝑅,𝑥,𝑦

Proof of Theorem 1cossres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coss 38407	. 2 ⊢ ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦)}
2		df-rex 3071	. . . 4 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)))
3		anandi 676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑦)))
4		brres 6011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ V → (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥)))
5	4	elv 3486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥))
6		brres 6011	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑦)))
7	6	elv 3486	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦 ↔ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑦))
8	5, 7	anbi12i 628	. . . . . 6 ⊢ ((𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦) ↔ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑥) ∧ (𝑢 ∈ 𝐴 ∧ 𝑢𝑅𝑦)))
9	3, 8	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ ((𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)) ↔ (𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦))
10	9	exbii 1847	. . . 4 ⊢ (∃𝑢(𝑢 ∈ 𝐴 ∧ (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑢(𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦))
11	2, 10	bitri 275	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦) ↔ ∃𝑢(𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦))
12	11	opabbii 5218	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑥 ∧ 𝑢(𝑅 ↾ 𝐴)𝑦)}
13	1, 12	eqtr4i 2768	1 ⊢ ≀ (𝑅 ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∃wex 1778   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  Vcvv 3481   class class class wbr 5151  {copab 5213   ↾ cres 5695   ≀ ccoss 38176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-nul 4343  df-if 4535  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-br 5152  df-opab 5214  df-xp 5699  df-res 5705  df-coss 38407

This theorem is referenced by:  dfcoels  38426