Theorem dfcoels 38453

Description: Alternate definition of the class of coelements on the class 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfcoels	⊢ ∼ 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfcoels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coels 38435	. 2 ⊢ ∼ 𝐴 = ≀ (◡ E ↾ 𝐴)
2		1cossres 38452	. 2 ⊢ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)}
3		brcnvep 38288	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
4	3	elv 3469	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢)
5		brcnvep 38288	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
6	5	elv 3469	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢)
7	4, 6	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢))
8	7	rexbii 3084	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢))
9	8	opabbii 5191	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}
10	1, 2, 9	3eqtri 2763	1 ⊢ ∼ 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wrex 3061  Vcvv 3464   class class class wbr 5124  {copab 5186   E cep 5557  ^◡ccnv 5658   ↾ cres 5661   ≀ ccoss 38204   ∼ ccoels 38205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-br 5125  df-opab 5187  df-eprel 5558  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-res 5671  df-coss 38434  df-coels 38435

This theorem is referenced by:  brcoels  38458