Theorem dfcoels 35835

Description: Alternate definition of the class of coelements on the class 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfcoels	⊢ ∼ 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfcoels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coels 35820	. 2 ⊢ ∼ 𝐴 = ≀ (◡ E ↾ 𝐴)
2		1cossres 35834	. 2 ⊢ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)}
3		brcnvep 35686	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
4	3	elv 3446	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢)
5		brcnvep 35686	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
6	5	elv 3446	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢)
7	4, 6	anbi12i 629	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢))
8	7	rexbii 3210	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢))
9	8	opabbii 5097	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}
10	1, 2, 9	3eqtri 2825	1 ⊢ ∼ 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wrex 3107  Vcvv 3441   class class class wbr 5030  {copab 5092   E cep 5429  ^◡ccnv 5518   ↾ cres 5521   ≀ ccoss 35613   ∼ ccoels 35614

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-br 5031  df-opab 5093  df-eprel 5430  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-res 5531  df-coss 35819  df-coels 35820

This theorem is referenced by:  brcoels  35840