Theorem dfcoels 39197

Description: Alternate definition of the class of coelements on the class 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfcoels	⊢ ∼ 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfcoels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coels 39179	. 2 ⊢ ∼ 𝐴 = ≀ (◡ E ↾ 𝐴)
2		1cossres 39196	. 2 ⊢ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)}
3		brcnvep 38947	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
4	3	elv 3459	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢)
5		brcnvep 38947	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
6	5	elv 3459	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢)
7	4, 6	anbi12i 639	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢))
8	7	rexbii 3111	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢))
9	8	opabbii 5177	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}
10	1, 2, 9	3eqtri 2789	1 ⊢ ∼ 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569  ∃wrex 3088  Vcvv 3454   class class class wbr 5108  {copab 5172   E cep 5559  ^◡ccnv 5659   ↾ cres 5662   ≀ ccoss 38860   ∼ ccoels 38861

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-pr 5403

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-br 5109  df-opab 5173  df-eprel 5560  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-res 5672  df-coss 39178  df-coels 39179

This theorem is used by:  brcoels  39202