Theorem dfcoels 38412

Description: Alternate definition of the class of coelements on the class 𝐴. (Contributed by Peter Mazsa, 20-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
dfcoels	⊢ ∼ 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}

Distinct variable group:   𝑢,𝐴,𝑥,𝑦

Proof of Theorem dfcoels

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coels 38394	. 2 ⊢ ∼ 𝐴 = ≀ (◡ E ↾ 𝐴)
2		1cossres 38411	. 2 ⊢ ≀ (◡ E ↾ 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)}
3		brcnvep 38247	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢))
4	3	elv 3483	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑥 ↔ 𝑥 ∈ 𝑢)
5		brcnvep 38247	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 ∈ V → (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢))
6	5	elv 3483	. . . . 5 ⊢ (𝑢◡ E 𝑦 ↔ 𝑦 ∈ 𝑢)
7	4, 6	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢))
8	7	rexbii 3092	. . 3 ⊢ (∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦) ↔ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢))
9	8	opabbii 5215	. 2 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑢◡ E 𝑥 ∧ 𝑢◡ E 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}
10	1, 2, 9	3eqtri 2767	1 ⊢ ∼ 𝐴 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑥 ∈ 𝑢 ∧ 𝑦 ∈ 𝑢)}

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148  {copab 5210   E cep 5588  ^◡ccnv 5688   ↾ cres 5691   ≀ ccoss 38162   ∼ ccoels 38163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-eprel 5589  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-res 5701  df-coss 38393  df-coels 38394

This theorem is referenced by:  brcoels  38417