Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj1033 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj1033 32266
 Description: Technical lemma for bnj69 32307. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj1033.1 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj1033.2 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj1033.3 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
bnj1033.4 (𝜃 ↔ (𝑅 FrSe 𝐴𝑋𝐴))
bnj1033.5 (𝜏 ↔ (𝐵 ∈ V ∧ TrFo(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∧ pred(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵))
bnj1033.6 (𝜂𝑧 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj1033.7 (𝜁 ↔ (𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖)))
bnj1033.8 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj1033.9 𝐾 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
bnj1033.10 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜃𝜏𝜒𝜁) → 𝑧𝐵)
Assertion
Ref Expression
bnj1033 ((𝜃𝜏) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝑧,𝐴,𝑓,𝑖,𝑛   𝑧,𝐵   𝐷,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝑧,𝑅   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝑧,𝑋   𝜏,𝑓,𝑖,𝑛,𝑧   𝜃,𝑓,𝑖,𝑛,𝑧   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑧,𝑓,𝑛)   𝜓(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜒(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜃(𝑦)   𝜏(𝑦)   𝜂(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜁(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐷(𝑦,𝑧,𝑓,𝑛)   𝐾(𝑦,𝑧,𝑓,𝑖,𝑛)

Proof of Theorem bnj1033
StepHypRef Expression
1 bnj1033.1 . . . . 5 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
2 bnj1033.2 . . . . 5 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
3 bnj1033.8 . . . . 5 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4 bnj1033.9 . . . . 5 𝐾 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
5 bnj1033.3 . . . . 5 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
61, 2, 3, 4, 5bnj983 32248 . . . 4 (𝑧 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖)))
7 19.42v 1955 . . . . . . . . . 10 (∃𝑖((𝜃𝜏) ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ((𝜃𝜏) ∧ ∃𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
8 df-3an 1086 . . . . . . . . . . 11 ((𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ((𝜃𝜏) ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
98exbii 1849 . . . . . . . . . 10 (∃𝑖(𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑖((𝜃𝜏) ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
10 df-3an 1086 . . . . . . . . . 10 ((𝜃𝜏 ∧ ∃𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ((𝜃𝜏) ∧ ∃𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
117, 9, 103bitr4i 306 . . . . . . . . 9 (∃𝑖(𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (𝜃𝜏 ∧ ∃𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
1211exbii 1849 . . . . . . . 8 (∃𝑛𝑖(𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑛(𝜃𝜏 ∧ ∃𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
13 19.42v 1955 . . . . . . . . 9 (∃𝑛((𝜃𝜏) ∧ ∃𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ((𝜃𝜏) ∧ ∃𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
1410exbii 1849 . . . . . . . . 9 (∃𝑛(𝜃𝜏 ∧ ∃𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑛((𝜃𝜏) ∧ ∃𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
15 df-3an 1086 . . . . . . . . 9 ((𝜃𝜏 ∧ ∃𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ((𝜃𝜏) ∧ ∃𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
1613, 14, 153bitr4i 306 . . . . . . . 8 (∃𝑛(𝜃𝜏 ∧ ∃𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (𝜃𝜏 ∧ ∃𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
1712, 16bitri 278 . . . . . . 7 (∃𝑛𝑖(𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (𝜃𝜏 ∧ ∃𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
1817exbii 1849 . . . . . 6 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑓(𝜃𝜏 ∧ ∃𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
19 19.42v 1955 . . . . . . 7 (∃𝑓((𝜃𝜏) ∧ ∃𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ((𝜃𝜏) ∧ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
2015exbii 1849 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝜃𝜏 ∧ ∃𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑓((𝜃𝜏) ∧ ∃𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
21 df-3an 1086 . . . . . . 7 ((𝜃𝜏 ∧ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ((𝜃𝜏) ∧ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
2219, 20, 213bitr4i 306 . . . . . 6 (∃𝑓(𝜃𝜏 ∧ ∃𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (𝜃𝜏 ∧ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
2318, 22bitri 278 . . . . 5 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (𝜃𝜏 ∧ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
24 bnj255 32000 . . . . . . . 8 ((𝜃𝜏𝜒𝜁) ↔ (𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝜁)))
25 bnj1033.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜁 ↔ (𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖)))
2625anbi2i 625 . . . . . . . . . 10 ((𝜒𝜁) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
27 3anass 1092 . . . . . . . . . 10 ((𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
2826, 27bitr4i 281 . . . . . . . . 9 ((𝜒𝜁) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖)))
29283anbi3i 1156 . . . . . . . 8 ((𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝜁)) ↔ (𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
3024, 29bitri 278 . . . . . . 7 ((𝜃𝜏𝜒𝜁) ↔ (𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
31303exbii 1851 . . . . . 6 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜃𝜏𝜒𝜁) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))))
32 bnj1033.10 . . . . . 6 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜃𝜏𝜒𝜁) → 𝑧𝐵)
3331, 32sylbir 238 . . . . 5 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜃𝜏 ∧ (𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) → 𝑧𝐵)
3423, 33sylbir 238 . . . 4 ((𝜃𝜏 ∧ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑧 ∈ (𝑓𝑖))) → 𝑧𝐵)
356, 34syl3an3b 1402 . . 3 ((𝜃𝜏𝑧 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅)) → 𝑧𝐵)
36353expia 1118 . 2 ((𝜃𝜏) → (𝑧 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) → 𝑧𝐵))
3736ssrdv 3958 1 ((𝜃𝜏) → trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ⊆ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2115  {cab 2802  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  Vcvv 3480   ∖ cdif 3916   ⊆ wss 3919  ∅c0 4275  {csn 4549  ∪ ciun 4905  suc csuc 6180   Fn wfn 6338  ‘cfv 6343  ωcom 7570   ∧ w-bnj17 31981   predc-bnj14 31983   FrSe w-bnj15 31987   trClc-bnj18 31989   TrFow-bnj19 31991 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ral 3138  df-rex 3139  df-v 3482  df-in 3926  df-ss 3936  df-iun 4907  df-fn 6346  df-bnj17 31982  df-bnj18 31990 This theorem is referenced by:  bnj1034  32267
 Copyright terms: Public domain W3C validator