Mathbox for Jonathan Ben-Naim < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bnj983 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bnj983 32345
 Description: Technical lemma for bnj69 32404. This lemma may no longer be used or have become an indirect lemma of the theorem in question (i.e. a lemma of a lemma... of the theorem). (Contributed by Jonathan Ben-Naim, 3-Jun-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
bnj983.1 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
bnj983.2 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
bnj983.3 𝐷 = (ω ∖ {∅})
bnj983.4 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
bnj983.5 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
Assertion
Ref Expression
bnj983 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝐷,𝑖   𝑅,𝑓,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑋,𝑖,𝑛,𝑦   𝑓,𝑍,𝑖,𝑛   𝜑,𝑖
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑓,𝑛)   𝜓(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝜒(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐵(𝑦,𝑓,𝑖,𝑛)   𝐷(𝑦,𝑓,𝑛)   𝑍(𝑦)

Proof of Theorem bnj983
StepHypRef Expression
1 bnj983.1 . . . . . . . 8 (𝜑 ↔ (𝑓‘∅) = pred(𝑋, 𝐴, 𝑅))
2 bnj983.2 . . . . . . . 8 (𝜓 ↔ ∀𝑖 ∈ ω (suc 𝑖𝑛 → (𝑓‘suc 𝑖) = 𝑦 ∈ (𝑓𝑖) pred(𝑦, 𝐴, 𝑅)))
3 bnj983.3 . . . . . . . 8 𝐷 = (ω ∖ {∅})
4 bnj983.4 . . . . . . . 8 𝐵 = {𝑓 ∣ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)}
51, 2, 3, 4bnj882 32320 . . . . . . 7 trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) = 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖)
65eleq2i 2881 . . . . . 6 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ 𝑍 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖))
7 eliun 4885 . . . . . . 7 (𝑍 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓𝐵 𝑍 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖))
8 eliun 4885 . . . . . . . 8 (𝑍 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖))
98rexbii 3210 . . . . . . 7 (∃𝑓𝐵 𝑍 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖))
107, 9bitri 278 . . . . . 6 (𝑍 𝑓𝐵 𝑖 ∈ dom 𝑓(𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖))
11 df-rex 3112 . . . . . . 7 (∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓(𝑓𝐵 ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
124abeq2i 2925 . . . . . . . . 9 (𝑓𝐵 ↔ ∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
1312anbi1i 626 . . . . . . . 8 ((𝑓𝐵 ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
1413exbii 1849 . . . . . . 7 (∃𝑓(𝑓𝐵 ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
1511, 14bitri 278 . . . . . 6 (∃𝑓𝐵𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
166, 10, 153bitri 300 . . . . 5 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
17 bnj983.5 . . . . . . . . 9 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓))
18 bnj252 32095 . . . . . . . . 9 ((𝑛𝐷𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ↔ (𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
1917, 18bitri 278 . . . . . . . 8 (𝜒 ↔ (𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
2019exbii 1849 . . . . . . 7 (∃𝑛𝜒 ↔ ∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
2120anbi1i 626 . . . . . 6 ((∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
22 df-rex 3112 . . . . . . 7 (∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ↔ ∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)))
23 df-rex 3112 . . . . . . 7 (∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖) ↔ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
2422, 23anbi12i 629 . . . . . 6 ((∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (∃𝑛(𝑛𝐷 ∧ (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓)) ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
2521, 24bitr4i 281 . . . . 5 ((∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (∃𝑛𝐷 (𝑓 Fn 𝑛𝜑𝜓) ∧ ∃𝑖 ∈ dom 𝑓 𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
2616, 25bnj133 32119 . . . 4 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓(∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
27 19.41v 1950 . . . 4 (∃𝑛(𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (∃𝑛𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
2826, 27bnj133 32119 . . 3 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛(𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
292bnj1095 32175 . . . . . . 7 (𝜓 → ∀𝑖𝜓)
3029, 17bnj1096 32176 . . . . . 6 (𝜒 → ∀𝑖𝜒)
3130nf5i 2147 . . . . 5 𝑖𝜒
323119.42 2236 . . . 4 (∃𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ (𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
33322exbii 1850 . . 3 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))) ↔ ∃𝑓𝑛(𝜒 ∧ ∃𝑖(𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
3428, 33bitr4i 281 . 2 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
35 3anass 1092 . . 3 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
36353exbii 1851 . 2 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒 ∧ (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
37 fndm 6425 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝑛 → dom 𝑓 = 𝑛)
3817, 37bnj770 32156 . . . . . . 7 (𝜒 → dom 𝑓 = 𝑛)
39 eleq2 2878 . . . . . . . 8 (dom 𝑓 = 𝑛 → (𝑖 ∈ dom 𝑓𝑖𝑛))
40393anbi2d 1438 . . . . . . 7 (dom 𝑓 = 𝑛 → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
4138, 40syl 17 . . . . . 6 (𝜒 → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
42413ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
4342ibi 270 . . . 4 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
44413ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖))))
4544ibir 271 . . . 4 ((𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) → (𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
4643, 45impbii 212 . . 3 ((𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ (𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
47463exbii 1851 . 2 (∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖 ∈ dom 𝑓𝑍 ∈ (𝑓𝑖)) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
4834, 36, 473bitr2i 302 1 (𝑍 ∈ trCl(𝑋, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑓𝑛𝑖(𝜒𝑖𝑛𝑍 ∈ (𝑓𝑖)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∖ cdif 3878  ∅c0 4243  {csn 4525  ∪ ciun 4881  dom cdm 5519  suc csuc 6161   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324  ωcom 7562   ∧ w-bnj17 32078   predc-bnj14 32080   trClc-bnj18 32086 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-iun 4883  df-fn 6327  df-bnj17 32079  df-bnj18 32087 This theorem is referenced by:  bnj1033  32363
 Copyright terms: Public domain W3C validator