Theorem submcld 19015

Description: Submonoids are closed under the monoid operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
submcld.1	⊢ + = (+g‘𝑀)
submcld.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))
submcld.3	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
submcld.4	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
submcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem submcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))
2		submcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
3		submcld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
4		submcld.1	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑀)
5	4	submcl 19014	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)
6	1, 2, 3, 5	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  +_gcplusg 17435  SubMndcsubmnd 18984

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fv 6549  df-ov 7425  df-submnd 18986

This theorem is used by:  ssdifidlprm  21649  gsumwun  33685  rloccring  33880  rlocisunit  33885