Theorem dffr4 6145

Description: Alternate definition of well-founded relation. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dffr4	⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem dffr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffr3 5943	. 2 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
2		df-pred 6129	. . . . . 6 ⊢ Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦}))
3	2	eqeq1i 2825	. . . . 5 ⊢ (Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅)
4	3	rexbii 3242	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅)
5	4	imbi2i 338	. . 3 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅) ↔ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
6	5	albii 1820	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
7	1, 6	bitr4i 280	1 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398  ∀wal 1535   = wceq 1537   ≠ wne 3011  ∃wrex 3134   ∩ cin 3918   ⊆ wss 3919  ∅c0 4274  {csn 4548   Fr wfr 5492  ^◡ccnv 5535   “ cima 5539  Predcpred 6128

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pr 5311

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ral 3138  df-rex 3139  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3759  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-br 5048  df-opab 5110  df-fr 5495  df-xp 5542  df-cnv 5544  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129

This theorem is referenced by:  frmin  33086