MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dffr4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dffr4 6273
Description: Alternate definition of well-founded relation. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2011.)
Assertion
Ref Expression
dffr4 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem dffr4
StepHypRef Expression
1 dffr3 6051 . 2 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
2 df-pred 6253 . . . . . 6 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦}))
32eqeq1i 2741 . . . . 5 (Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦})) = ∅)
43rexbii 3097 . . . 4 (∃𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦𝑥 (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦})) = ∅)
54imbi2i 335 . . 3 (((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅) ↔ ((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
65albii 1821 . 2 (∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 (𝑥 ∩ (𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
71, 6bitr4i 277 1 (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥𝐴𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wne 2943  wrex 3073  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   Fr wfr 5585  ccnv 5632  cima 5636  Predcpred 6252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-br 5106  df-opab 5168  df-fr 5588  df-xp 5639  df-cnv 5641  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253
This theorem is referenced by:  frmin  9684
  Copyright terms: Public domain W3C validator