Theorem dffr4 6278

Description: Alternate definition of well-founded relation. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dffr4	⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem dffr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffr3 6058	. 2 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
2		df-pred 6259	. . . . . 6 ⊢ Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦}))
3	2	eqeq1i 2745	. . . . 5 ⊢ (Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅)
4	3	rexbii 3087	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅)
5	4	imbi2i 337	. . 3 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅) ↔ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
6	5	albii 1826	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
7	1, 6	bitr4i 279	1 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396  ∀wal 1545   = wceq 1547   ≠ wne 2935  ∃wrex 3064   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  {csn 4562   Fr wfr 5575  ^◡ccnv 5624   “ cima 5628  Predcpred 6258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-br 5080  df-opab 5142  df-fr 5578  df-xp 5631  df-cnv 5633  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259

This theorem is referenced by:  frmin  9671