Theorem dffr4 6311

Description: Alternate definition of well-founded relation. (Contributed by Scott Fenton, 2-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dffr4	⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝑅,𝑦

Proof of Theorem dffr4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffr3 6092	. 2 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
2		df-pred 6292	. . . . . 6 ⊢ Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦}))
3	2	eqeq1i 2770	. . . . 5 ⊢ (Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅ ↔ (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅)
4	3	rexbii 3112	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅)
5	4	imbi2i 339	. . 3 ⊢ (((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅) ↔ ((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
6	5	albii 1842	. 2 ⊢ (∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅) ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 (𝑥 ∩ (◡𝑅 “ {𝑦})) = ∅))
7	1, 6	bitr4i 281	1 ⊢ (𝑅 Fr 𝐴 ↔ ∀𝑥((𝑥 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑥 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑥 Pred(𝑅, 𝑥, 𝑦) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1561   = wceq 1563   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ∩ cin 3906   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288  {csn 4585   Fr wfr 5602  ^◡ccnv 5651   “ cima 5655  Predcpred 6291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-br 5106  df-opab 5168  df-fr 5605  df-xp 5658  df-cnv 5660  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292

This theorem is referenced by:  frmin  9709