Theorem frmin 33079

Description: Every (possibly proper) subclass of a class 𝐴 with a founded, set-like relation 𝑅 has a minimal element. Lemma 4.3 of Don Monk's notes for Advanced Set Theory, which can be found at http://euclid.colorado.edu/~monkd/settheory. This is a very strong generalization of tz6.26 6174 and tz7.5 6207. (Contributed by Scott Fenton, 4-Feb-2011.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
frmin	⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐵   𝑦,𝑅

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑦)

Proof of Theorem frmin

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frss 5517	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Fr 𝐴 → 𝑅 Fr 𝐵))
2		sess2 5519	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝑅 Se 𝐴 → 𝑅 Se 𝐵))
3	1, 2	anim12d 610	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 → ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵)))
4		n0 4310	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵)
5		predeq3 6147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
6	5	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑏 → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅))
7	6	rspcev 3623	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
8	7	ex 415	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐵 → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
9	8	adantl 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
10		setlikespec 6164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V)
11		trpredpred 33062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
12		ssn0 4354	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)
13	12	ex 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
14	11, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
15		trpredss 33063	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
16	14, 15	jctild 528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
17	10, 16	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
18	17	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
19		trpredex 33071	. . . . . . . . . . 11 ⊢ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ∈ V
20		sseq1 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (𝑐 ⊆ 𝐵 ↔ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵))
21		neeq1 3078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (𝑐 ≠ ∅ ↔ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅))
22	20, 21	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → ((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) ↔ (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅)))
23		predeq2 6146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
24	23	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
25	24	rexeqbi1dv 3405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅ ↔ ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
26	22, 25	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → (((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅) ↔ ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅)))
27	26	imbi2d 343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑐 = TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → ((𝑅 Fr 𝐵 → ((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅)) ↔ (𝑅 Fr 𝐵 → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))))
28		dffr4 6159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 Fr 𝐵 ↔ ∀𝑐((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
29		sp 2177	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑐((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅) → ((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
30	28, 29	sylbi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 Fr 𝐵 → ((𝑐 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑐 ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝑐 Pred(𝑅, 𝑐, 𝑦) = ∅))
31	19, 27, 30	vtocl 3560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 Fr 𝐵 → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
32	10, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
33	32	adantr 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵)
34		trpredtr 33064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)))
35	34	imp 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏))
36		sspred 6151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) ⊆ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
37	33, 35, 36	syl2anc 586	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦))
38	37	eqeq1d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ ↔ Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅))
39	38	biimprd 250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏)) → (Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
40	39	reximdva 3274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → ∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
41		ssrexv 4034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
42	32, 40, 41	sylsyld 61	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑦 ∈ TrPred (𝑅, 𝐵, 𝑏)Pred(𝑅, TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏), 𝑦) = ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
43	31, 42	sylan9r 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → ((TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ⊆ 𝐵 ∧ TrPred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
44	18, 43	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑅 Fr 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
45	44	an31s 652	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (Pred(𝑅, 𝐵, 𝑏) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
46	9, 45	pm2.61dne 3103	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)
47	46	ex 415	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (𝑏 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
48	47	exlimdv 1930	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (∃𝑏 𝑏 ∈ 𝐵 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
49	4, 48	syl5bi 244	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐵 ∧ 𝑅 Se 𝐵) → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅))
50	3, 49	syl6com 37	. 2 ⊢ ((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)))
51	50	imp32 421	1 ⊢ (((𝑅 Fr 𝐴 ∧ 𝑅 Se 𝐴) ∧ (𝐵 ⊆ 𝐴 ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 Pred(𝑅, 𝐵, 𝑦) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398  ∀wal 1531   = wceq 1533  ∃wex 1776   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∃wrex 3139  Vcvv 3495   ⊆ wss 3936  ∅c0 4291   Fr wfr 5506   Se wse 5507  Predcpred 6142  TrPredctrpred 33051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-inf2 9098

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-trpred 33052

This theorem is referenced by:  frind  33080  frr1  33139