Theorem dfrn6 37665

Description: Alternate definition of range. (Contributed by Peter Mazsa, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn6	⊢ ran 𝑅 = {𝑥 ∣ [𝑥]◡𝑅 ≠ ∅}

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Proof of Theorem dfrn6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5678	. 2 ⊢ ran 𝑅 = dom ◡𝑅
2		dfdm6 37664	. 2 ⊢ dom ◡𝑅 = {𝑥 ∣ [𝑥]◡𝑅 ≠ ∅}
3	1, 2	eqtri 2752	1 ⊢ ran 𝑅 = {𝑥 ∣ [𝑥]◡𝑅 ≠ ∅}

Syntax hints:   = wceq 1533  {cab 2701   ≠ wne 2932  ∅c0 4315  ^◡ccnv 5666  dom cdm 5667  ran crn 5668  [cec 8698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pr 5418

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-br 5140  df-opab 5202  df-xp 5673  df-cnv 5675  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-ec 8702

This theorem is referenced by:  rnxrn  37762