Theorem dfrn6 38284

Description: Alternate definition of range. (Contributed by Peter Mazsa, 1-Aug-2018.)

Assertion

Ref	Expression
dfrn6	⊢ ran 𝑅 = {𝑥 ∣ [𝑥]◡𝑅 ≠ ∅}

Distinct variable group:   𝑥,𝑅

Proof of Theorem dfrn6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5700	. 2 ⊢ ran 𝑅 = dom ◡𝑅
2		dfdm6 38283	. 2 ⊢ dom ◡𝑅 = {𝑥 ∣ [𝑥]◡𝑅 ≠ ∅}
3	1, 2	eqtri 2763	1 ⊢ ran 𝑅 = {𝑥 ∣ [𝑥]◡𝑅 ≠ ∅}

Syntax hints:   = wceq 1537  {cab 2712   ≠ wne 2938  ∅c0 4339  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  [cec 8742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-cnv 5697  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ec 8746

This theorem is referenced by:  rnxrn  38380