Theorem dmressnsn 5933

Description: The domain of a restriction to a singleton is a singleton. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dmressnsn	⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐹 → dom (𝐹 ↾ {𝐴}) = {𝐴})

Proof of Theorem dmressnsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmres 5913	. 2 ⊢ dom (𝐹 ↾ {𝐴}) = ({𝐴} ∩ dom 𝐹)
2		snssi 4741	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐹 → {𝐴} ⊆ dom 𝐹)
3		df-ss 3904	. . 3 ⊢ ({𝐴} ⊆ dom 𝐹 ↔ ({𝐴} ∩ dom 𝐹) = {𝐴})
4	2, 3	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐹 → ({𝐴} ∩ dom 𝐹) = {𝐴})
5	1, 4	eqtrid 2790	1 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐹 → dom (𝐹 ↾ {𝐴}) = {𝐴})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  {csn 4561  dom cdm 5589   ↾ cres 5591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-br 5075  df-opab 5137  df-xp 5595  df-dm 5599  df-res 5601

This theorem is referenced by:  eldmressnsn  5934  funcoressn  44536  funressnfv  44537